2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.2.3空間中的垂直關系第1課時直線與平面垂直學案新人教B版必修2

PAGEPAGE1第1課時直線與平面垂直1．理解線線垂直、線面垂直的概念．2．駕馭直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)．3．能應用性質(zhì)定理證明空間位置關系．1．直線與直線的垂直兩條直線垂直的定義：假如兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線相互垂直．2．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義：假如一條直線和一個平面相交于點O，并且和這個平面內(nèi)過交點O的任何直線都垂直，則稱這條直線和這個平面相互垂直．這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足，垂線上隨意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到平面的距離．(2)直線和平面垂直的判定定理：假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線就垂直于這個平面．(簡而言之：線線垂直，則線面垂直)(3)推論：假如在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條也垂直于這個平面．3．直線與平面垂直的性質(zhì)(1)由直線和平面垂直的定義知，直線與平面內(nèi)的全部直線都垂直，除此以外還有性質(zhì)定理．(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行．垂直于同一條直線的兩個平面平行．1．下列命題正確的是()A．垂直于同一條直線的兩直線平行B．垂直于同一條直線的兩直線垂直C．垂直于同一個平面的兩直線平行D．垂直于同一條直線的一條直線和平面平行解析：選C．在空間中垂直于同始終線的兩條直線，可能平行，可能相交，也可能異面，所以A，B錯；垂直于同始終線的直線和平面的位置關系可以是直線在平面內(nèi)，也可以是直線和平面平行，所以D錯；留意分析清晰給定條件下直線和平面可能的位置關系，不要有遺漏．2．在三棱錐A-BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求證：AC⊥BD．證明：如圖取BD的中點E，連接AE，EC．因為AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因為CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC?平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？解：不肯定．平行、相交、異面都有可能．線面垂直的判定如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上隨意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB．【證明】(1)因為AB為⊙O的直徑，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN?平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一問知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB．又因為AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ?平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若條件不變，在四面體P-AMB的四個面中共有多少個直角三角形．解：由本例第一問的證明過程知，BM⊥平面PAM，又PM?平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四個面都是直角三角形．eq\a\vs4\al()證明線面垂直的方法(1)線線垂直證明線面垂直①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)；②判定定理法：要著力找尋平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時作協(xié)助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β．如圖所示，S為Rt△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC．點D為斜邊AC的中點．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若直角邊BA＝BC，求證：BD⊥平面ASC．證明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D為AC的中點，所以SD⊥AC，取AB的中點E，連接DE、SE．則ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因為D為AC中點，△ABC為直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因為BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因為SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．線面垂直的性質(zhì)的應用如圖，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB于點E，過E作EF⊥SC于點F．(1)求證：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于點G，求證：AG⊥SD．【證明】(1)因為SA⊥平面AC，BC?平面AC，所以SA⊥BC，因為四邊形ABCD為矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因為SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?面AEF，所以SC⊥AG，所以AG⊥平面SDC，所以AG⊥SD．eq\a\vs4\al()證明線線垂直的常用思路eq\x(線面垂直)eq\o(→,\s\up7(推出),\s\do5(定義))eq\x(線線垂直)eq\o(→,\s\up7(推出),\s\do5(判定定理))eq\x(線面垂直)eq\o(→,\s\up7(推出),\s\do5(定義))eq\x(線線垂直)．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC．求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點．證明：(1)因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D．又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．(2)如圖，連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．所以ONeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)CD．因為CDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AB，所以ON∥AM．又因為MN∥OA，所以四邊形AMNO為平行四邊形．所以ON＝AM．因為ON＝eq\f(1,2)CD，所以AM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,2)AB．所以M是AB的中點．線面垂直的綜合應用如圖所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．(1)求證：D1C⊥AC1；(2)設E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由．【解】(1)證明：連接C1D．因為DC＝DD1，所以四邊形DCC1D1是正方形，所以DC1⊥D1C．因為AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，所以AD⊥平面DCC1D1，D1C?平面DCC1D1，所以AD⊥D1C．又AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面ADC1．又AC1?平面ADC1，所以D1C⊥AC1．(2)如圖，當E是CD的中點時滿意條件，連接BE、D1E，因為ABeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)CD，所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD∥A1D1．所以四邊形BED1A1為平行四邊形，所以D1E∥A1B．又D1E?面A1BD，A1B?A1BD，所以D1E∥平面A1BD．綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E∥平面A1BD．eq\a\vs4\al()線面垂直與平行的相互轉(zhuǎn)化(1)空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、直線與直線平行可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直與平行的判定都是從某種垂直與平行起先轉(zhuǎn)化為另一種垂直與平行，最終達到目的的．(2)轉(zhuǎn)化關系：線線垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(定義))線面垂直eq\o(,\s\up7(性質(zhì)),\s\do5(判定定理推論))線線平行．如圖所示，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CE⊥AB1，D為AB的中點．求證：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED．證明：(1)由題意，得AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以CD⊥AA1．(2)因為D是AB的中點，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB．又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，所以CD⊥平面A1B1BA，因為AB1?平面A1B1BA，所以CD⊥AB1．又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，所以AB1⊥平面CED．1．直線與直線垂直假如兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線相互垂直．兩條直線垂直包括相交垂直和異面垂直．2．線面垂直、線線垂直的證明方法(1)線面垂直的證明方法：①定義法；②判定定理法；③判定定理的推論．(2)線線垂直的證明方法：①定義法；②線面垂直的性質(zhì)．(3)線線垂直與線面垂直可相互轉(zhuǎn)化．1．直線與平面垂直的定義，應留意：①定義中的“任何直線”這一條件，②直線與平面垂直是相交中的特別狀況，③利用定義可得直線和平面垂直則直線與平面內(nèi)的全部直線垂直．2．直線與平面垂直應留意兩點：①定理中的條件，是“平面內(nèi)的兩條相交直線”既不能說是“兩條直線”，也不能說“多數(shù)條直線”．②應用定理的關鍵是在平面內(nèi)，找到兩條相交直線與已知直線垂直．3．“垂直于同一條直線的兩條直線平行”要求涉及到的三條直線在同一個平面內(nèi)，否則不正確．這告知我們平面幾何中的一些結(jié)論推廣到空間時不肯定成立，須要多加留意．1．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不確定解析：選B．一條直線垂直于三角形的兩條邊，那么這條直線必垂直于這個三角形所在的平面，因而必與第三邊垂直．2．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面解析：選B．A答案還有異面或者相交的狀況，C、D不肯定．3．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四邊形ABCD肯定是．解析：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因為PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四邊形ABCD肯定是菱形．答案：菱形4．點P是等腰三角形ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則點P到BC的距離是．答案：4eq\r(5)[學生用書P97(單獨成冊)])[A基礎達標]1．已知直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的關系為()A．a(chǎn)⊥b，且a與b相交B．a(chǎn)⊥b，且a與b不相交C．a(chǎn)⊥bD．a(chǎn)與b不肯定垂直解析：選C．過b作平面β，β∩α＝b′，則b∥b′，因為a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥βB．α∥β，m?α，n?β?m∥nC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．m∥n，n⊥α?m⊥α解析：選D．由直線與平面垂直的判定定理的推論可知D正確．3．E、F分別是正方形ABCD中AB、BC的中點，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點重合于一點P，則有()A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：選A．如圖所示，A、B、C三點重合于點P，則PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如圖，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H．為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：選B．因為EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ．若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ．又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B．5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是()A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點與CC1中點連成的線段D．BC中點與B1C1中點連成的線段解析：選A．如圖，由于BD1⊥平面AB1C，故點P肯定位于B1C上．6．如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，AF＝2，CD＝3，則CE＝．解析：因為AF⊥平面ABCD，AF∥DE，所以DE⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以DE⊥CD，因為DE＝AF＝2，CD＝3，所以CE＝eq\r(22＋33)＝eq\r(13)．答案：eq\r(13)7．α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m∥n；②α∥β；③m⊥α；④n⊥β．以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：．答案：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,α∥β,m⊥α))?n⊥β8．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC邊上存在點Q，使得PQ⊥QD，則a的最小值為．解析：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD．若BC邊上存在一點Q，使得QD⊥PQ，則有QD⊥平面PAQ，從而QD⊥AQ．在矩形ABCD中，當AD＝a<2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點Q，使PQ⊥DQ．所以當a≥2時，才存在點Q，使得PQ⊥QD．所以a的最小值為2．答案：29．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF．證明：如圖所示，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，因為PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又因為F是PC的中點，所以EF⊥PC．又因為BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F(xiàn)是PC的中點，所以BF⊥PC．又因為BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF．10．側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A′B′C′滿意∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\f(1,2)AA′＝2，點M，N分別為A′B，B′C′的中點．(1)求證：MN∥平面A′ACC′；(2)求證：A′N⊥平面BCN；(3)求三棱錐C-MNB的體積．解：(1)證明：如圖，連接AB′，AC′，因為四邊形ABB′A′為矩形，M為A′B的中點，所以AB′與A′B交于點M，且M為AB′的中點，又點N為B′C′的中點，所以MN∥AC′，又MN?平面A′ACC′，且AC′?平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′．(2)證明：因為A′B′＝A′C′＝2，點N為B′C′的中點，所以A′N⊥B′C′．又BB′⊥平面A′B′C′，所以A′N⊥BB′，所以A′N⊥平面B′C′CB，所以A′N⊥平面BCN．(3)由圖可知VC-MNB＝VM-BCN，因為∠BAC＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝2eq\r(2)，S△BCN＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×4＝4eq\r(2)．由(2)及∠B′A′C′＝90°可得A′N＝eq\r(2)，因為M為A′B的中點，所以M到平面BCN的距離為eq\f(\r(2),2)，所以VC-MNB＝VM-BCN＝eq\f(1,3)×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4,3)．[B實力提升]11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：選B．如圖所示，連接AC，BD，因為BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因為BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因為CE?平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC上的正投影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正確結(jié)論的序號是