2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量初步6.1平面向量及其線性運算6.1.1向量的概念學案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE6.1.1向量的概念學習目標1.通過對位移、速度等物理量的分析,了解向量概念產生的實際背景.2.理解向量、相等向量、共線向量、零向量的概念及向量的表示,體會數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).3.理解向量的幾何意義.自主預習1.(蜘蛛吃蚊子)蜘蛛織了一張邊長為20cm的正六邊形網,蜘蛛位于正六邊形的中心,蚊子恰好被網在了頂點A處,請思索以下3個問題.(1)蜘蛛按怎樣的路途行走能吃到蚊子?(2)蜘蛛要想吃到蚊子至少要爬行多少厘米?(3)是不是蜘蛛只要爬行20cm就肯定能吃到蚊子?2.依據(jù)我們前面學習集合學問的思路:集合的概念→集合的表示→特別集合→特別關系,讀課本本節(jié)課內容,然后理一下這節(jié)課要講解的學問點之間的關系.課堂探究探究點一:向量的概念和向量的模1.向量的概念依據(jù)自主預習和課本“情境與問題”圖片中給出的內容探討回答以下幾個問題:問題1.物理中位移和距離一樣嗎?有什么區(qū)分?問題2.位移是怎么定義的?問題3.你能不能舉出一些和位移一樣既有大小又有方向的量?問題4.你還能舉出一些只有大小沒有方向的量嗎?問題5.請說出向量的概念.練習:推斷下列各量哪些是向量?哪些是標量?浮力、密度、質量、力、速度、位移、溫度、加速度、重力、路程、體積、面積、電流強度.2.向量的模請你類比位移,然后給出向量模的定義.探究點二:向量的表示1.向量的幾何表示法問題1.思索并表示課本“情境與問題”圖片中從A到B和從B到A的位移.問題2.我們學習一個數(shù)學概念之后,通常要用圖形、符號等表示它,向量也是如此.類比位移,你認為應當怎樣表示從點A到點B的向量呢?2.向量的字母表示法問題3.向量還有其他表示方法嗎?練習:假設下圖每個格子是邊長為1cm,請寫出下列各向量的模.|AB|=,

|CD|=,

|EF|=,

|GH|=.

探究點三:特別向量1.零向量和單位向量問題1:數(shù)量中有“0”“1”,那么向量中有沒有類似的量呢?教材例1.找出下圖中的單位向量.練習:推斷下列命題的真假.(1)零向量是沒有方向的;(2)零向量是有方向的;(3)零向量的方向是隨意的;(4)零向量是沒有長度的;(5)零向量的長度為0.2.相等向量和平行向量問題2:有沒有大小和方向比較特別的向量呢?練習:(1)平行向量是否肯定方向相同?()(2)不相等的向量是否肯定不平行?()(3)與零向量相等的向量必定是什么向量?()(4)與隨意向量都平行的向量是什么向量?()(5)若兩個向量在同始終線上,則這兩個向量肯定是什么向量?()(6)共線向量肯定在同始終線上嗎?()嘗試與發(fā)覺:找出圖中的相等向量:教材例4.找出下圖中共線的向量,并寫出共線向量模之間的關系.核心素養(yǎng)專練1.給出以下5個條件:①a=b;②|a|=|b|;③a與b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a與b都是單位向量.其中能使a∥b成立的是.(填序號)

2.下列各命題中,不正確的命題為()A.兩個有共同起點且共線的向量,其終點必相同B.模為0的向量與任一向量平行C.向量就是有向線段D.|a|=|b|?a=b3.如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,M,N分別為AB和CD的中點,在以A,B,C,D,M,N為始點和終點的全部向量中,回答下列問題:(1)與向量AD相等的向量有哪些?向量AD的相反向量有哪些?(2)與向量AM相等的向量有哪些?向量AM的相反向量有哪些?(3)在模為2的向量中,相等的向量有幾對?參考答案自主預習略課堂探究探究點一:向量的概念和向量的模1.向量的概念問題1.不一樣.位移有方向,距離沒有方向.問題2.位移表示的是質點的位置改變,由初位置到末位置的有向線段.其大小與路徑無關.問題3.力、速度、加速度等.問題4.時間、面積、長度、體積等.問題5.像位移這樣既有大小又有方向的量稱為向量(也稱為矢量).練習:向量:浮力、力、速度、位移、加速度、重力.標量:密度、質量、溫度、路程、體積、面積、電流強度.2.向量的模向量的長度表示向量的模.探究點二:向量的表示問題1.AB,BA問題2.向量的字母表示法問題3.向量還可以用帶箭頭的小寫字母來表示,如向量a→,向量b→,向量c→等,印刷時常用加粗的斜體小寫字母a,b,練習:463250探究點三:特別向量1.單位向量和零向量問題1:有教材例1.ABaCDb練習:(1)假命題(2)真命題(3)真命題(4)假命題(5)真命題2.相等向量和平行向量問題2:有練習:(1)不肯定(2)不肯定(3)零向量(4)零向量(5)平行向量(6)不肯定嘗試與發(fā)覺:a=EFAB=CDb=c教材例4.解:a∥c且a=1b∥d且b=1e∥f且e=5核心素養(yǎng)專練1.①③④2.ACD3.(1)相等:MNBC相反:CBNMDA(2)相等:DNMBNC相反:MABMCNND(3)2對學習目標1.理解向量、零向量、單位向量、向量模的意義.2.駕馭向量的幾何表示,會用字母表示向量,用向量表示點的位置.3.了解平行向量、共線向量和相等向量的意義,并會推斷向量間共線(平行)、相等的關系.自主預習1.向量的有關概念(1)向量:既有又有的量稱為向量(也稱為矢量),向量的大小稱為向量的(或).

(2)零向量:始點和終點相同的向量,其方向是的.

(3)單位向量:模等于的向量.

(4)平行向量:方向的兩個非零向量.兩個平行向量也稱為兩個向量.

(5)相等向量:大小、方向的向量.

2.向量的表示:(1)有向線段:.

(2)向量可以用表示,向量AB的大小,也就是向量AB的,記作.向量也可以用加粗的斜體小寫字母a,b,c等來表示,書寫時,寫為.也可以用有向線段始點和終點的字母表示,如AB等.

(3)的有向線段表示同一向量,或相等的向量.

合作探究:已知|a|>|b|,能說是a>b嗎?課堂探究例1.推斷下列命題是否正確,并說明理由.(1)若向量a與b同向,且|a|>|b|,則a>b;(2)若向量|a|=|b|,則a與b的長度相等且方向相同或相反;(3)對于隨意向量|a|=|b|,若a與b的方向相同,則a=b;(4)由于0方向不確定,故0不與隨意向量平行;(5)向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反.例2.已知O為正六邊形ABCDEF的中心,在圖中所標出的向量中:(1)試找出與向量FE共線的向量;(2)確定與向量FE相等的向量;(3)OA與BC相等嗎?若不相等,那么它們有什么關系?例3.在圖中的4×5方格紙中有一個向量AB,分別以圖中的格點為起點和終點作向量,(1)其中與AB相等的向量有多少個?(2)其中與AB長度相等的共線向量有多少個?合作探究:如圖,以1×1方格中的格點為起點和終點的全部向量中,可得到多少種不同的模?有多少種不同的向量?課堂小結:課堂練習如圖,四邊形ABCD為正方形,△BCE為等腰直角三角形.(1)圖中所標出的向量與AB共線的有;

(2)圖中所標出的向量與AB相等的有;

(3)圖中所標出的向量與AB模相等的有;

(4)圖中所標出的向量與EC相等的有.

核心素養(yǎng)專練1.(多選題)下列物理量中,能稱為向量的是()A.質量 B.速度 C.位移 D.力2.設O是正方形ABCD的中心,向量AO,OB,CO,OD是()A.平行向量 B.有相同終點的向量C.相等向量 D.模相等的向量3.下列命題中,正確的是()A.|a|=|b|?a=bB.|a|>|b|?a>bC.a=b?a與b共線D.|a|=0?a=04.在下列說法中,正確的是()A.兩個有公共起點且共線的向量,其終點必相同B.模為0的向量與任一非零向量平行C.向量就是有向線段D.若|a|=|b|,則a=b5.下列各說法中,其中錯誤的個數(shù)為()(1)向量AB的長度與向量BA的長度相等;(2)兩個非零向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反;(3)兩個有公共終點的向量肯定是共線向量;(4)共線向量是可以移動到同一條直線上的向量;(5)平行向量就是向量所在直線平行A.2個 B.3個 C.4個 D.5個6.給出下列說法:①平行向量肯定相等;②不相等的向量肯定不平行;③共線向量肯定相等;④相等向量肯定共線;⑤長度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一個向量的兩個向量是共線向量,錯誤的是.

7.如圖,O是正方形ABCD的對角線的交點,四邊形OAED,OCFB是正方形,在圖中所示的向量中,(1)與AO相等的向量有;

(2)與AO共線的向量有;

(3)與AO模相等的向量有;

(4)向量AO與CO是否相等?答:.

8.O是正六邊形ABCDEF的中心,且AO=a,OB=b,AB=c,在以A,B,C,D,E,F,O為端點的向量中:(1)與a相等的向量有;

(2)與b相等的向量有;

(3)與c相等的向量有.

9.下列說法中正確的是(寫序號)

①若a與b是平行向量,則a與b方向相同或相反;②若AB與CD共線,則點A,B,C,D共線;③四邊形ABCD為平行四邊形,則AB=CD;④若a=b,b=c,則a=c;⑤四邊形ABCD中,AB=DC且|AB|=|AD|,則四邊形ABCD為正方形;⑥a與b方向相同且|a|=|b|與a=b是一樣的.參考答案自主預習略課堂探究例1.(1)×向量不能比較大小(2)×模相等,方向不肯定相同(3)√(4)×零向量與隨意向量平行(5)√例2.(1)BCOA(2)BC(3)雖然OA∥BC,且|OA|=|BC|,但是它們的方向相反,所以它們是相反向量