清單05 一元一次方程（18個考點梳理+題型解讀+提升訓練）（原卷版）-25學年七年級數學上學期期末考點大串講（北師大版2024）

清單05一元一次方程（18個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】一元一次方程1.概念：只含一個未知數（元）且未知數的次數都是1的方程；標準式：ax+b=0（x是未知數，a、b是已知數，且a≠0）；方程的解：使方程等號左右兩邊相等的未知數的值

知識點2含參一元一次方程1、次數含參：主要考察一元一次方程定義2、常數項含參：求解一個常數項含參的一元一次方程，依然采用常規(guī)的五步法解題3、解已知或可求：將解代入參數方程，求出參數【清單02】等式的性質等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；【清單03】解一元一次方程解一元一次方程的步驟：去分母兩邊同乘最簡公分母2.去括號（1）先去小括號，再去中括號，最后去大括號（2）乘法分配律應滿足分配到每一項注意：特別是去掉括號，符合變化3.移項（1）定義：把含有未知數的項移到方程的一邊，不含有未知數的項移到另一邊；（2）注意：①移項要變符號；②一般把含有未知數的項移到左邊，其余項移到右邊．4.合并同類項（1）定義：把方程中的同類項分別合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同類項時，把同類項的系數相加，字母不變．5.系數化為1（1）定義：方程兩邊同除以未知數的系數a，得；（2）注意：分子、分母不能顛倒

【清單04】一元一次方程的實際應用1.距離=速度·時間2.工作量=工效×工時工程問題常用等量關系：先做的+后做的=完成量3.順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；順水逆水問題常用等量關系：順水路程=逆水路程4.售價=定價；利潤問題常用等量關系：售價-進價=利潤【考點題型一】識別方程和一元一次方程

【典例1】下列各式中，屬于方程的是（

）A．?12x?3 B．3x+1=4 C．x+1>1【變式1-1】下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x=0 B．1C．x+2y=3 D．x【變式1-2】下列各式中，是一元一次方程是（

）．A．x?1 B．2y=x+1 C．x=1 D．x【變式1-3】下列四個式子中，是方程的是（

）A．3+2=5 B．a+b C．x+1=2 D．2x?1<0

【考點題型二】根據一元一次方程的定義求參數

【典例2】已知關于x的方程(m?1)x|m|?2=3m是一元一次方程，則實數mA．1 B．?1 C．1或?1 D．0【變式2-1】已知關于x的方程k?2xk?1+5=3k是一元一次方程，則A．±2 B．2 C．?2 D．±1【變式2-2】若(m?2)x|m|?1?2=5是關于x的一元一次方程，則m【變式2-3】若m?3xm?2=5是關于x

【考點題型三】方程的解

【典例3】若x=1是關于x的方程2x?a=?1的解，則a的值是（

）A．?3 B．?2 C．2 D．3【變式3-1】已知x=a是關于x的方程3x?2=12x+3的解，則aA．?2 B．2 C．25 D．【變式3-2】已知x=?3是方程kx+4?2k?x=5的解，則k的值是（A．?2 B．2 C．3 D．5【變式3-3】關于x的方程5x?m=9的解為x=1，則m的值是．【考點題型四】等式的性質

【典例4】如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（

）A．ma+1=mb+1B．ma?3=mb?3 C．?12ma=?【變式4-1】將方程3x+y=6寫成用含x的代數式表示y為（

）A．y=6?3x B．y=3x?6 C．x=y3?2【變式4-2】如圖，從一個平衡的天平兩邊分別加上一個砝碼，天平仍平衡，下面與這一事實相符的是（）A．如果a=b，那么a+c=b+c B．如果a=b，那么a?c=b?cC．如果a=b，那么ac=bc D．如果a=b，那么a【變式4-3】下列選項中，利用等式的性質進行變形，不一定正確的是（）A．若2a=6，則a=3 B．若a?3=b?3，則a=bC．若a=b，則?2a=?2b D．若a=b，則a

【考點題型五】解一元一次方程

【典例5】解方程：(1)2x?1=?3x+8；(2)【變式5-1】解方程(1)8x=2(x+4)；(2)3x?12【變式5-2】解方程：(1)4?x2?2x+13=4【變式5-3】解方程．(1)5x?23?2x=?3【考點題型六】一元一次方程的同解問題

【典例6】關于x的方程?2x+a=1的解與方程2x=6的解相同，則a的值是（）A．7 B．5 C．4 D．3【變式6-1】已知關于x的一元一次方程4x+2m=3x+1和3x+2m=6x+1的解相同，則m的值為（

）A．12 B．1 C．?12【變式6-2】已知關于x的方程3x?7=2x+a的解與方程4x+2=7?x的解相同，則a的值為．

【考點題型七】一元一次方程的錯解問題

【典例7】小玲在解方程2x?13=a?x2?1

【變式7-1】某同學解方程3x?6=()x時，把（

）處的數字看錯，得錯解x=?1A．3 B．6 C．9 D．12【變式7-2】小明是七（2）班的學生，他在對方程x+23=x?a2?1去分母時由于粗心，方程右邊的?1【變式7-3】小明是七年級（2）班的學生，他在對方程2x?13=x+a2?1去分母時由于粗心，方程右邊的?1沒有乘6而得到錯解【考點題型八】根據一元一次方程的關系解方程

【典例8】當k為何值時，關于x的方程34+8x=7k+6x的解比關于x的方程【變式8-1】若關于x的方程2x3?3x6=1的解是關于x的方程x+【變式8-2】當k為何值時，關于x的方程7k+6x=2的解比關于x的方程2x?8【變式8-3】已知關于x的方程5x?2m=4x?1+1的解比關于x的方程2x+1?m=x?2m?2【考點題型九】一元一次方程應用-工程問題

【典例9】涑水河，黃河中游支流，流域位于山西省南部的運城市境內，發(fā)源于絳縣中條山區(qū)陳村峪，向西南流經聞喜縣、夏縣、運城市鹽湖區(qū)、臨猗縣、永濟市，于永濟市韓陽鎮(zhèn)長旺村匯入黃河，為把涑水河打造成集人文自然、創(chuàng)意休閑、文化傳承于一體的沿河旅游風景區(qū)，現將一段長為225米的河道綜合整治任務交由甲、乙兩個工程隊先后接力完成，甲工程隊每天整治15米，乙工程隊每天整治10米，共用時20天，甲、乙兩工程隊分別整治河道多少米？【變式9=-1】甲、乙兩工程隊承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程隊每天的挖掘長度是乙工程隊每天挖掘長度的1.5倍，若甲、乙兩工程隊一起挖掘200米長度的隧道時，共用時間4天．(1)求甲、乙兩個工程隊每天分別可挖掘隧道多少米？(2)已知該段隧道挖掘工程為600米，甲工程隊每天的挖掘費用為6萬元，乙工程隊每天的挖掘費用為3萬元．若安排甲工程隊先單獨挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程隊單獨完成，總費用剛好102萬元，求甲工程隊應先單獨挖掘多少天？【變式9-2】列方程解應用題：甲、乙兩個工程隊共同承包了一項總長度為5400米的修路工程，原計劃由甲、乙兩個工程隊分別從兩端同時開始施工，恰好9天完成整個工程，已知乙隊平均每天比甲隊多施工120米．(1)求甲、乙兩個工程隊原計劃平均每天分別施工多少米？(2)若甲、乙兩個工程隊共同施工6天后，因另有緊急任務，乙工程隊被調離該工程，剩余部分由甲工程隊單獨完成．為盡量減少延誤工期，甲工程隊提高工作效率后繼續(xù)施工，結果比原計劃延遲2天完成整個工程．求甲工程隊提高工作效率后平均每天施工多少米？【變式9-3】整理一批圖書，由一個人做要40小時完成，現在計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起做8小時，完成這項工作，假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作4小時？【考點題型十】一元一次方程應用-行程問題

【典例10】甲地到乙地的高鐵開通后，運行時間由原來的3.5h縮短至1h，運行里程比原來縮短了40km【變式10-1】一艘快艇從A碼頭到B碼頭順流行駛，同時一艘游船從B碼頭出發(fā)順流而下．已知，A、B兩碼頭相距140千米，快艇在靜水中的平均速度為67千米/小時，游船在靜水中的平均速度為27千米/小時，水流速度為3千米/小時．(1)請計算兩船出發(fā)航行30分鐘時相距多少千米？(2)如果快艇到達B碼頭后立即返回，試求兩船在航行過程中需航行多少時間恰好相距100千米？【變式10-2】隨著人們生活水平的提高，人工智能掃地機器人成為上班族或現代家庭的常用家電用品．為了測試兩款機器人的清掃速度，現安排甲、乙兩個不同的掃地機器人從A，B兩地同時出發(fā)，沿同一條路線相向勻速行駛清掃（路途中沒有障礙物遮擋），已知出發(fā)后經3分鐘兩個機器人相遇，相遇后再經2分鐘乙到達A地，A，B相距45米．(1)甲、乙兩個機器人的速度分別是多少？(2)從A，B兩地同時出發(fā)后，經過多少時間后兩個機器人相距6米？【變式10-3】元旦假期小李去歌樂山爬山，上山每小時走4km，下山時按原路返回，下山每小時走5km，結果上山比下山多花16小時，設下山所用時間為xA．4x?16=5x B．4x+1【考點題型十一】一元一次方程應用-比賽積分問題

【典例11】某次籃球聯賽部分積分如下：根據表格提供的信息解答下列問題：隊名比賽場次勝場負場積分A1410424B147721C1441018(1)求出勝一場、負一場各積多少分？(2)某隊的勝場總積分能等于負場總積分嗎？若能，試求出勝場數和負場數：若不能，請說明理由．

【變式11-1】第十九屆亞洲運動會開幕式于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重舉行．某球賽的比賽記分方法為：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，一支球隊一共進行了9場比賽，輸了3場，得16分．設該球隊勝了x場，則下列所列方程正確的是（

）A．3x+9?x=16 C．x+39?x=16 【變式11-2】某中學組織足球比賽，比賽規(guī)定：勝一場得2分，平一場得1分，負一場得0分．勇士隊共參加8場比賽，在保持不敗的情況下，共得13分．問此次比賽中勇士隊勝了幾場？【變式11-3】2023年5月，貴州省榕江縣足球超級聯賽在該縣城北新區(qū)體育館開幕，現場觀眾最多時達到5萬人，平均每場比賽超5000萬人次在線圍觀，全網流量突破300億次……．這場“村超”的火爆“出圈”提升了貴州鄉(xiāng)村人民對自己文化、生活的自豪和自信．下表呈現的是各村足球隊中部分參賽隊根據積分規(guī)則得到的不完整積分表．參賽隊局次勝和負積分朗洞鎮(zhèn)平地村962120小瑞村952217三江四格隊90090平永村隊9114觀察表格，解決下列問題：(1)本次比賽：“勝”一局得______分，“和”一局得______分，“負”一局得_____分；(2)請在表格中將“平永村隊”的積分補充完整；(3)在積分規(guī)則不變的前提下，若此系列賽每個隊共對弈21局，“美鄉(xiāng)村隊”最終勝的局數是負的局數的2倍，你認為“美鄉(xiāng)村隊”的最終得分可以是40分嗎？請說明理由．【考點題型十二】一元一次方程應用-經濟問題

【典例12】某社區(qū)超市用520元錢從批發(fā)商處購進了甲、乙兩種商品共100千克，已知甲、乙商品的批發(fā)價與零售價如下表所示：商品名甲乙批發(fā)價（元/千克）46零售價（元/千克）1012(1)該社區(qū)超市這天批發(fā)甲商品和乙商品各多少千克；(2)甲商品和乙商品按零售價售出相同的重量后，剩下的商品都按零售價打八折售出，最終當天甲乙商品全部賣完，共獲得464元利潤，求打折后賣出的甲、乙商品的重量分別為多少？【變式12-1】（1）小明騎自行車從家到學校，若每小時行駛10千米，則晚到4分鐘；若每小時行駛15千米，則早到4分鐘．求小明家到學校的路程．（2）某水果店第一次用795元從水果批發(fā)市場購進甲、乙兩種不同品種的蘋果，其中甲種蘋果的質量比乙種蘋果質量的2倍多15千克，甲、乙兩種蘋果的進價和售價如下表：甲乙進價（元/千克）58售價（元/千克）1015（?。┰撍甑谝淮钨忂M甲、乙兩種蘋果各多少千克？（ⅱ）該水果店第二次又購進甲、乙兩種蘋果，其中甲種蘋果的質量不變，且按原價銷售；乙種蘋果的質量是第一次的3倍，并打折銷售．第二次甲、乙兩種蘋果都售完后獲得的總利潤為595元，則第二次乙種蘋果按原價打幾折銷售？【變式12-2】小王自主創(chuàng)業(yè)開了一家服裝店，經營一段時間后，小王發(fā)現每件進價為200元的A種服裝，按標價的八折出售時的利潤率為20%(1)求A種服裝的標價為多少元？(2)已知B種服裝的進價為300元，小王售完兩種服裝后，又以原來的價格購進A，B兩種服裝共110件，所用資金為28000元．①求購進的A，B兩種服裝各多少件？②由于小王對市場需求了解不清楚，換季時，A種服裝雖已全部售出，但B種服裝按標價400元只售出了10件，為了盡快回籠資金，小王決定對剩余的B種服裝打折處理，在B種服裝恰好保本的情況下，剩余的B種服裝打幾折處理？【變式12-3】2023年12月第六屆遵義羊肉粉美食文化旅游節(jié)在遵義鳳凰山文化廣場舉行，某袋裝羊肉銷售鋪從廠家購進了甲、乙兩種袋裝羊肉，甲種袋裝羊肉的每袋進價比乙種袋裝羊肉的每件進價少15元．若購進甲種袋裝羊肉7袋，乙種袋裝羊肉5袋，需要795元．(1)求甲、乙兩種袋裝羊肉的每袋進價分別是多少元？(2)該袋裝羊肉銷售鋪從廠家購進了甲、乙兩種袋裝羊肉各45袋．在銷售時，甲種袋裝羊肉的每袋售價為75元，乙種袋裝羊肉的每袋售價為100元，在實際銷售過程中，商店按售價將購進的全部甲種袋裝羊肉和部分乙種袋裝羊肉售出后，決定將剩下的乙種袋裝羊肉打九折銷售，兩種袋裝羊肉全部銷售完后，共獲利1580元，求乙種袋裝羊肉打折之前銷售了多少袋？

【考點題型十三】一元一次方程應用-方案問題

【典例13】中國移動全球通有兩種通話計費方法（接聽全免，接聽時間不計入通話時間）：計費方法A是每月收月租費48元，通話時間不超過50分鐘的部分免費，超過50分鐘的按每分鐘0.25元加收通話費；計費方法B是每月收取月租費88元，通話時間不超過200分鐘的部分免費，超過200分鐘的按每分鐘0.19元加收通話費．(1)某使用計費方法A的用戶一個月通話時間為100分鐘，應付費用多少元？(2)用計費方法B的用戶某個月累計費用107元，通話時間是多少分鐘？(3)用計費方法B的用戶某個月累計費用126元，若改用計費方法A的方式，費用是增加還是減少？相差多少？【變式13-1】某校為紀念“一二·九運動”八十七周年，豐富校園文化生活，增強學生的身體素質，培養(yǎng)同學們的集體榮譽感和團結協(xié)作精神，特舉辦一場文體活動，全校各班都積極參與本次活動，為表彰在本次活動中表現出色的班級，學校將購買一些乒乓球和乒乓球拍作為活動獎勵，經向兩家商店進行價格咨詢，了解情況如下：若該校需購買乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒）(1)當購買乒乓球多少盒時，甲、乙兩家商店收費金額一樣多？(2)當購買30盒乒乓球時，從節(jié)約角度考慮，學校應該去哪家商店購買？為什么？【變式13-2】2023年9月23日－10月8日，第十九屆亞洲運動會在中國杭州舉行，其吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”倍受廣大群眾喜愛．新年將至，學校計劃訂購一批吉祥物的掛件和徽章．經調查發(fā)現，同一款式的掛件和徽章在甲、乙兩家商店標價均相同，其中掛件每個標價40元，徽章每個標價20元．同時，兩家商店分別開展不同的新年促銷活動優(yōu)惠方式如下：甲商店：買一個掛件送一個徽章；乙商店：掛件和徽章都按8折（標價的80％）出售．如果學校計劃訂購掛件30個，徽章若干（多于30個），(1)當訂購35個徽章時，如果在甲商店訂購，費用需__________元；(2)當訂購多少個徽章時，在甲、乙兩家商店分別訂購的費用相同；(3)當訂購100個徽章時，如果甲、乙兩家商店可以自由選擇，請設計一種最省錢的訂購方案，并說明理由．【變式13-3】某市兩超市在元旦節(jié)期間分別推出如下促銷方式：甲超市：全場均按八八折優(yōu)惠；乙超市：購物不超過200元，不給予優(yōu)惠；超過了200元而不超過500元一律打九折；超過500元時，其中的500元優(yōu)惠10%，超過500元的部分打八折；已知兩家超市相同商品的標價都一樣．(1)當一次性購物總額是400元時，甲、乙兩家超市實付款分別是多少？(2)當購物總額是多少時，甲、乙兩家超市實付款相同？(3)若某顧客購物總額相同，其在乙超市實付款482元，問其在甲超市需實付款多少元？

【考點題型十四】一元一次方程應用-數字問題

【典例14】有兩個數，第一個數比第二個數的2倍多1，第二個數比第一個數的3倍少4，問這兩個數是多少？設第二個數為x，根據題意可列方程（

）A．2(3x?4)+1=x B．3(2x+1)?4=xC．13x?4=1【變式14-1】將1?9這9個數填入3×3的方格中，使其任意一行、任意一列及兩條對角線上的數之和都相等，這樣便構成了一個“九宮格”，它源于我國古代的“洛書”（如圖①），是世界上最早的幻方，僅可以看到部分數值的“九宮格”（如圖②），其中x=．【變式14-2】無限循環(huán)小數可化成分數，如設0.7=x，由0.7=0.7777…可知，10x=7.7777…=7+0.7，所以10x=7+x，解得x=79【變式14-3】觀察下表三行數的規(guī)律，回答下列問題：第1列第2列第3列第4列第5列第6列…第1行?24?8a?3264…第2行06?618?3066…第3行?12?48?16b…(1)a=________，b=________．(2)第1行某一列的數為c，則第2行與它同一列的數為________．(3)已知第n列的三個數的和為642，若設第1行第n列的數為x，試求x的值．

【考點題型十五】一元一次方程應用-日歷問題

【典例15】將從1到900的正整數按一定規(guī)律排列如下表：對如圖十字形框中的5個數進行探究：(1)設這5個數中間的數為a，則最小的數為，最大的數為；(2)若這5個數的和是240，求出這5個數中間的數：(3)這5個數的和可能是2025嗎，若能，求出這5個數中間的數，若不能，請說明理由．(4)若在（1）中十字形框中框住的五個數的和記為“S”，則S的最大值與最小值的差等于

【變式15-1】如圖，是2024年1月的月歷，任意選取“十”字型中的五個數（比如圖中陰影部分），若移動“十”字型后所得五個數之和為115，那么該“十”字型中正中間的號數為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【變式15-2】在如圖的月歷表中，任意框出表中豎列上三個相鄰的數，這三個數的和可能是（）A．54 B．62 C．65 D．75【變式15-3】如圖，表中給出的是某月的日歷，任意選取“Z”型框中的7個數（如陰影部分所示），請你運用所學的數學知識來研究，發(fā)現此月這7個數的和可能的是（

）A．49 B．60 C．84 D．105【考點題型十六】一元一次方程應用-古代問題

【典例16】《孫子算經》中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？該題意思是：今有若干人乘車，每3人乘一車，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？若設有x輛車，則可列方程（）A．3x+2=2x?9 C．x3+2=x?9【變式16-1】程大位《算法統(tǒng)宗》：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾?。馑际牵河?00個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分一個，正好分完．試問大、小和尚各多少人？設大和尚有x人，依題意列方程得（）A．3x?100?x3=100C．3x+100?x3=100【變式16-2】《九章算術》記載了這樣一道題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺，問繩長井深各幾何？”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺：如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺．問繩長和井深各多少尺？假設井深為x尺，則符合題意的方程應為（

）A．13x?4=1C．13x+4=1【變式16-3】我國古代數學名著《張邱建算經》中記載：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？意思是：現在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設清酒x斗，那么可列方程為（）A．10x+35?x=30 C．x10+30?x

【考點題型十七】一元一次方程應用-幾何問題

【典例17】生活處處有數學，就看你是否有數學的眼光．同學們都見過機械手表吧，讓我們一起去探索其中隱含的數學知識．一塊手表如圖①所示，把它抽象成數學模型，如圖②，表帶的兩端用點A和點D表示，表盤與線段AD交于點B，C，O為表盤圓心．(1)若BC為3cm，CD:AB=2:1，B是AC的中點，則手表全長AD=cm(2)表盤上的點B對應數字“12”，點C對應數字“6”，OE為時針，ON為分針，8:30時表盤指針狀態(tài)如圖③所示，分針ON與OC重合．①∠EON=°；②作射線OF，使∠EOF=20°，求此時∠BOF的度數．(3)如圖④，自8:30之后，OM始終是∠EON的平分線（分針還是ON），在一小時內，經過________分鐘，∠EOM的度數是25°．【變式17-1】如圖，是由8個形狀、大小都相同的小長方形無縫拼接而成的大長方形，如果大長方形ABCD的周長是20，那么每個小長方形的周長是．

【變式17-2】已知點A在數軸上對應的數為a，點B在數軸上對應的數為b，且|a+3|+(b?4)2=0，點C(1)請根據題意將圖形補充完整，直接寫出線段AB是線段OC的倍數；(2)動點M、P、Q在線段AB上，點M從原點O出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿O?B?O運動，到達點O停止；點P從OB的中點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CA向左運動，到達A點停止．點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BO向左運動，到達點O停止．已知點M、P、Q同時出發(fā)，設運動的時間為t秒(t≥0)．①是否存在t值，使得AP=127PQ②在點P的整個運動過程中，求點M可能落在線段PQ上的總時長．【變式17-3】好朋友給小亮過生日，如圖，現有底面直徑為16cm，高為30cm的圓柱形容器，里面裝滿了果汁，小亮要把果汁分裝到底面直徑為8cm【考點題型十八】一元一次方程應用-水費和電費問題

【典例18】某地天然氣收費方案如下：階梯年用氣量價格補充說明第一階梯0～400m3元/m當家庭