精-品解析：廣東省深圳市南山區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁南山區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)試題2024.1注意事項(xiàng)：1.本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.3.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑.4.非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.5.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域得到，再根據(jù)交集含義即可.【詳解】由題得，解得，則，則，故選：D.2.下列所給的等式中正確的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)弧度制與角度值的換算公式易得A項(xiàng)錯誤；根據(jù)三角誘導(dǎo)公式可判斷D項(xiàng)錯誤，B項(xiàng)顯然錯誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，因，故A項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)B，因，故B項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C，，故C正確；對于選項(xiàng)D，因，故D項(xiàng)錯誤.故選：C.3.已知命題：“”，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以的否定為.故選：A.4.設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理即可得解.【詳解】由題意函數(shù)與函數(shù)均單調(diào)遞增，所以函數(shù)也單調(diào)遞增，且，所以由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)的零點(diǎn).故選：B.5.要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度【答案】D【解析】【分析】將整理成，然后利用平移變換即可求解.【詳解】由于函數(shù)，故只需將函數(shù)的圖象向右平移可得函數(shù)的圖象.故選：D．6.已知函數(shù)，若，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，將各個(gè)選項(xiàng)入求出的值，再判斷是否滿足，即可求出結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A，，所以選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B，，所以選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，，所以選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)D，，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.7.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)奇偶性，舍去B,D，再根據(jù)函數(shù)值正負(fù)確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，排除B,D，因?yàn)?所以選C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象識別，考查基本分析判斷能力，屬基本題.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過放縮，再利用平方關(guān)系及輔助角公式得到，利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得出，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得到，利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得到，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，且，故，又，，而函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，所以又，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故，所以，故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)為冪函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.為偶函數(shù)C.為單調(diào)遞增函數(shù) D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由冪函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由為冪函數(shù)可得，解得，所以，故A正確，C正確；由于，故為奇函數(shù)，故B錯誤；的值域?yàn)?，D錯誤，故選：AC.10.已知是的三個(gè)內(nèi)角，下列條件是“”的一個(gè)充分不必要條件的為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意要逐一判斷由選項(xiàng)能否推出，推出為鈍角三角形，其中A,C項(xiàng)都無從推出鈍角，B項(xiàng)可以利用誘導(dǎo)公式判斷是鈍角，D項(xiàng)利用兩角差的余弦公式可推得，從而得出鈍角.【詳解】對于A選項(xiàng)，由可得，則可以是銳角或者鈍角，無法判斷的符號，故A項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，由可得，因，故是鈍角，都是銳角，即有；反過來，由可得中必有一個(gè)鈍角，當(dāng)時(shí),，故B項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如果取,則，此時(shí)，不合題意，故C項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，由可得,即，因,,則，即中必有一個(gè)是鈍角，從而是銳角，即必成立，反過來，由可得中必有一個(gè)鈍角，當(dāng)時(shí),，故D項(xiàng)正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論可能成立的為（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】在同一直角坐標(biāo)系畫出與的圖象，根據(jù)分類討論，判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意在同一直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，此時(shí),即，故，故A正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，故，故B正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，故，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①，其中函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)；②若，則，則下列結(jié)論正確的為（）A.若，則B.若點(diǎn)在曲線上，則C.存點(diǎn)，使得曲線與關(guān)于點(diǎn)對稱D.方程恰有9個(gè)相異實(shí)數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】由題意易得，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易判斷A項(xiàng)；由點(diǎn)坐標(biāo)判斷其在單位圓上，根據(jù)兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)特征，由角的范圍即可判斷；充分利用題設(shè)條件分析判斷值的唯一性，再利用函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的解析式，比較即得；對于D項(xiàng)，利用C項(xiàng)結(jié)論，根據(jù)方程解的情況，通過取對數(shù)將其轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)情況作圖即得.【詳解】對于A項(xiàng)，由函數(shù)是函數(shù)反函數(shù)可知，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，點(diǎn)顯然在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，因?yàn)榍€與單位圓在第二象限內(nèi)有交點(diǎn)，此時(shí)則故選項(xiàng)B錯誤；對于C項(xiàng)，因若，則則若，則常數(shù)的值唯一，又，，即，由可知，易得是上述方程的根，顯然函數(shù)單調(diào)遞增，故方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，曲線與關(guān)于原點(diǎn)對稱，即取點(diǎn)為原點(diǎn)即可，故選項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，由項(xiàng)可得：方程即，即，兩邊取對數(shù)，得.如圖，作出函數(shù)與的圖象，易知它們恰有9個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是了解反函數(shù)定義，以及理解把握函數(shù)的零點(diǎn)與對應(yīng)方程的根、對應(yīng)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)的互相轉(zhuǎn)化思想.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知扇形的圓心角為，且弧長為，則該扇形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】先求得半徑，再根據(jù)扇形面積公式即可得解.【詳解】由題意設(shè)圓心角、弧長、半徑分別為，則，解得，所以該扇形的面積為.故答案為：.14.已知函數(shù)，若，則__________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)易得函數(shù)的對稱軸，再結(jié)合二次函數(shù)圖像對稱軸對比即得.【詳解】因，函數(shù)的對稱軸為直線，而由可知其對稱軸為直線，故，解得.故答案為：.15.已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，其中為常數(shù)，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)過定點(diǎn)求出；再根據(jù)分式不等式的解法即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒過定點(diǎn)，所以.則不等式為，等價(jià)于，解得：.所以不等式的解集為.故答案為：16.已知實(shí)數(shù)，且.記，則__________，的最小值為__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】先將題設(shè)不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式推理得到，從而求得的值；對于函數(shù)，利用前面的結(jié)論消去，運(yùn)用二倍角公式將其整理成二次函數(shù)型，換元后利用圖像分析即得.【詳解】，且，化簡得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，易求得：.故，因時(shí)，，設(shè)則，,故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：2；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程和演算步驟.17.計(jì)算下列各式值.（1）；（2）.【答案】（1）3（2）1【解析】【分析】（1）.由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可得出答案；（2）由指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)化簡即可得出答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.已知集合（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解指數(shù)不等式得集合，根據(jù)補(bǔ)集定義即得；（2）由題設(shè)得，對于含參的集合需要分是空集和非空集情況討論再求并集即得.【小問1詳解】若，則，由，解得，.【小問2詳解】由可知，，①若，則，解得，②若，則有，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.（1）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，且，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由任意角三角函數(shù)的定義求出，再由誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案；（2）由兩角和的正切公式化簡已知式可得，再由二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】解：（1）由正切函數(shù)的定義可知，，又，由余弦函數(shù)的定義可知，，.（2），，.20.已知某產(chǎn)品在過去的32天內(nèi)的日銷售量（單位：萬件）與第天之間的函數(shù)關(guān)系為①；②這兩種函數(shù)模型中的一個(gè)，且部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（天）241020（萬件）121110.410.2（1）請確定的解析式，并說明理由；（2）若第天的每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格均為（單位：元），且，求該產(chǎn)品在過去32天內(nèi)的第天的銷售額（單位：萬元）的解析式及的最小值.【答案】（1），理由見解析（2），最小值為484萬元.【解析】【分析】（1）若，則它不滿足單調(diào)遞減，所以只能由待定系數(shù)法代入即可得解.（2）結(jié)合銷售額、銷量以及銷售單價(jià)之間的關(guān)系即可求得表達(dá)式（分段函數(shù)），當(dāng)時(shí)，可結(jié)合基本不等式求最小值，注意取等條件是否滿足，當(dāng)時(shí)，直接由表達(dá)式得函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得其最小值，結(jié)合以上兩方面即可得解.【小問1詳解】選擇模型②，理由如下：由題表可知，隨著增大時(shí)，銷售量逐漸減少，若，則當(dāng)時(shí)，非單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意.對于，根據(jù)題意，將點(diǎn)代入可得解得，此時(shí)，易知點(diǎn)均在的圖象上，.【小問2詳解】，由（1）知，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，的最小值為，綜上可知，的最小值為484萬元.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為，求的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的部分圖象求出和的值，即可求出的解析式；（2）先求出在的單調(diào)性，分類討論和，求出在區(qū)間上的最大值，即可得出答案.【小問1詳解】由圖可知，，最小正周期為，，，又點(diǎn)在的圖象上，，即，，即，又，且，.【小問2詳解】（方法一）令，則，的圖象的對稱軸方程為，在區(qū)間內(nèi)，圖象有兩條對稱軸，其方程為，和（方法二）的最小正周期為，在區(qū)間內(nèi)，的圖象有兩條對稱軸，其方程為，和，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，的圖象關(guān)于直線對稱，①若，則在區(qū)間上的最大值為，②若，則在區(qū)間上的最大值為，③若，則在區(qū)間上的最大值為，綜上所述，22.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）（i）證明：為單調(diào)遞增函數(shù)；（ii），若不等式恒成立，求非零實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）方法一：通過奇函數(shù)的性質(zhì)求出再驗(yàn)證其為奇函數(shù)即可；方法二：利用奇函數(shù)的定義求出即可；（2）（i）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可；（ii）方法一：將原不等式進(jìn)行換元與化簡，轉(zhuǎn)化為對恒成立，結(jié)合一元二次不等式恒成立的求解方法進(jìn)行計(jì)算即可；方法二：將原不等式進(jìn)行換元與化簡，轉(zhuǎn)化為對恒成立，進(jìn)而參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題即可.【小問1詳解】方法一：為定義在上的奇函數(shù)，，即，，，顯然有為奇函數(shù)符合題意，實(shí)數(shù)的值為1.方法二：為定義在上的奇函數(shù)，，，此時(shí)為奇函數(shù)，符合題設(shè)【小問2詳解】（i）任