5.3.1.2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（知識(shí)梳理+例題+變式+練習(xí)）（解析版）

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(shù)等價(jià)于f′(x)＝2a－3x2≥0對(duì)x∈(0,1]恒成立．即a≥eq\f(3,2)x2對(duì)x∈(0,1]恒成立，只需a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x2))max即可．由x∈(0,1]得eq\f(3,2)x2∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，從而a≥eq\f(3,2).所以a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).題型三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題探究1比較大小【例3】(1)若函數(shù)f(x)＝cosx＋2xf′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))的大小關(guān)系是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))D．不確定【答案】(1)C【解析】(1)f′(x)＝－sinx＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－sineq\f(π,6)＋2f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)∴f′(x)＝－sinx＋1≥0∴f(x)＝cosx＋x是R上的增函數(shù)又－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，故選C.(2)已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x<0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0.若a＝eq\f(fe,e)，b＝eq\f(fln2,ln2)，c＝eq\f(f3,3)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．b<a<cB．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<cD．c<a<b【答案】(2)D【解析】(2)設(shè)g(x)＝eq\f(fx,x)，則g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)，又當(dāng)x<0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，所以g′(x)<0.即函數(shù)g(x)在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)閒(x)為R上的偶函數(shù)，且2<e<3，可得g(3)<g(e)<g(ln2)，即c<a<b，故選D.探究2解不等式【例4】(1)已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，則不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0的解集為()A．(－∞，－4)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－1,4)D．(－4,1)【答案】(1)C【解析】(1)由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域是R.因?yàn)閒′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．因?yàn)閒(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．因?yàn)椴坏仁絝(1－x2)＋f(3x＋3)>0可轉(zhuǎn)化為f(1－x2)>－f(3x＋3)＝f[－(3x＋3)]，所以1－x2>－(3x＋3)，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，即不等式的解集為(－1,4)，故選C.(2)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為________．【答案】(2)(－∞，－3)∪(0,3)【解析】(2)令F(x)＝f(x)g(x)∵f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)∴F(x)＝f(x)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)又∵當(dāng)x<0時(shí)F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0成立∴F(x)在區(qū)間(－∞，0)上是增函數(shù)，可得它在區(qū)間(0，＋∞)上也是增函數(shù)．∵g(－3)＝0，可得F(－3)＝0,∴F(3)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)＝f(x)g(x)<0，即F(x)<F(3)，∴0<x<3當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)＝f(x)g(x)<0故不等式f(x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．【方法歸納】(1)含有“f′(x)”的不等關(guān)系，其隱含條件是挖掘某函數(shù)的單調(diào)性，通過對(duì)不等關(guān)系變形，發(fā)現(xiàn)函數(shù)．(2)常見的構(gòu)造函數(shù)思路①已知f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)型；聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)．②已知“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”型：聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,gx).③已知“f(x)＋f′(x)”型：聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)F(x)＝exf(x)．④已知“f′(x)lnx＋eq\f(fx,x)”型：聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)lnx．【跟蹤訓(xùn)練3】(1)若定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f′(x)>f(x)，則當(dāng)a>0時(shí)，f(a)與eaf(0)的大小關(guān)系為()A．f(a)<eaf(0)B．f(a)>eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)D．不能確定【答案】(1)B【解析】(1)令F(x)＝eq\f(fx,ex)，則F′(x)＝eq\f(f′x－fx,ex)∵f′(x)>f(x)，∴F′(x)>0，∴F(x)在R上單調(diào)遞增．∴當(dāng)a>0時(shí)，則有F(a)>F(0)，即eq\f(fa,ea)>eq\f(f0,e0)即f(a)>eaf(0)，故選B.(2)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f′(x)>f(x)，則不等式ex－1f(x)<f(2x－1)的解集為________．【答案】(2)(1，＋∞)【解析】(2)設(shè)F(x)＝eq\f(fx,ex)，則F′(x)＝eq\f(f′x－fx,ex)∵f′(x)>f(x)，∴F′(x)>0，∴函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞增．∵ex－1f(x)<f(2x－1)，∴eq\f(fx,ex)<eq\f(f2x－1,e2x－1)即F(x)<F(2x－1)∴x<2x－1，即x>1故不等式ex－1f(x)<f(2x－1)的解集為(1，＋∞)．【易錯(cuò)辨析】對(duì)函數(shù)單調(diào)遞增(減)的充要條件理解不透致錯(cuò)【例5】已知函數(shù)f(x)＝2ax3＋4x2＋3x－1在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________【答案】[eq\f(8,9)，＋∞)【解析】f′(x)＝6ax2＋8x＋3.∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即6ax2＋8x＋3≥0在R上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64－72a≤0，,a>0，))解得a≥eq\f(8,9).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝eq\f(8,9)時(shí)，只有個(gè)別點(diǎn)使f′(x)＝0，符合題意．∴當(dāng)a≥eq\f(8,9)時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增．一、單選題1．已知函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，在R上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由在R上恒成立，整理成二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次三項(xiàng)式，則其對(duì)恒成立，分離參數(shù)后，求出關(guān)于的函數(shù)的最小值，即得的范圍．【解析】由題意在R上恒成立，其中，整理得對(duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，，令，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，所以的最小值是16，所以．故選：D．2．已知數(shù)列滿足：.則對(duì)于任意正整數(shù)n>100，有（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，可知，即可排除B、D,對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)進(jìn)行放縮，即可判斷正誤，對(duì)于C選項(xiàng)，由得，，轉(zhuǎn)化為，再證，即可判斷正確.【解析】解：易知，下證的單調(diào)性:（令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減，則也單調(diào)遞減，故，于是B、D不成立.對(duì)于A,，故A錯(cuò).對(duì)于C，要證：，由，只需證.由知，只需證得證.下證，令當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即恒成立，當(dāng)取等號(hào).又，故.故選：C.3．已知，則下列函數(shù)中在R上單調(diào)增的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)于選項(xiàng)ABD：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)即可求解；對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過分類討論自變量的取值范圍，來確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而即可出答案.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，從而在R上有變號(hào)零點(diǎn)，從而在上不是單調(diào)遞增的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由題意可知，，因?yàn)?，，所以必有變?hào)零點(diǎn)，從而在上不是單調(diào)遞增的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意，，由，故對(duì)自變量分類討論：①當(dāng)時(shí)，，故；②當(dāng)時(shí)，，即，從而；③當(dāng)時(shí)，，從而；④當(dāng)時(shí)，，，，所以，⑤當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，從而，綜上所述，對(duì)于，，從而在R上單調(diào)增；故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意，，因?yàn)?，，所以在R上有變號(hào)零點(diǎn)，從而在上不是單調(diào)遞增的，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．已知函數(shù)實(shí)數(shù)a，b滿足不等式，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè),則,研究的對(duì)稱性和單調(diào)性即可.【解析】設(shè)，則.即.因?yàn)?即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.所以是增函數(shù),因?yàn)?所以.則,得故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:根據(jù)條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.5．已知數(shù)列滿足（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且對(duì)任意的都存在，使得成立，則數(shù)列的首項(xiàng)須滿足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷數(shù)列的單調(diào)性，再根據(jù)選項(xiàng)作取舍.【解析】設(shè)，令，得到.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.即.要使對(duì)任意的都存在，使得成立，顯然時(shí)，，一定能滿足題意；當(dāng)時(shí)，，如圖此時(shí)不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，如圖此時(shí)滿足題意；綜上，.故選：C6．已知，若，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，令，可得是單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由，得，令，則，且，恒有，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，故符合；當(dāng)時(shí)，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得，故綜上，，故選：A.7．關(guān)于函數(shù)，，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)C．若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則D．對(duì)任意，恒成立【答案】D【分析】分別在和得到，由此可知A正確；在平面直角坐標(biāo)系中作出與圖象，由圖象可確定B正確；將問題轉(zhuǎn)化為在上恰有一個(gè)解，令，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性并得到其圖象，數(shù)形結(jié)合可確定，C正確；令，由B中結(jié)論可確定D錯(cuò)誤.【解析】對(duì)于A，，則，當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減；綜上所述：在上單調(diào)遞減，A正確；對(duì)于B，，令，得：；在平面直角坐標(biāo)系中，作出與的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，由得：，若在上恰有一個(gè)極值，則在上恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在上恰有一個(gè)解，令，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，可得大致圖象如下，若在上恰有一個(gè)解，則，此時(shí)函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由B選項(xiàng)可知，，使得，當(dāng)時(shí)，，即，D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)和極值的問題；根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)值的常用方法是通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)或兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式來解決.8．已知函數(shù)，設(shè)為方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則成立，即在上恒成立求得a的范圍，然后為方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根求解.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以成立，即在上恒成立，∵g（0）=-1<0，結(jié)合二次函數(shù)y=g（x）的圖象，只需，解得：，方程有兩個(gè)非零實(shí)根，則，且，，故選：B二、多選題9．（多選）已知函數(shù)，則（）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．的極小值點(diǎn)為 D．【答案】AD【分析】的定義域?yàn)?，求判斷單調(diào)性，求得極值可判斷A，C；根據(jù)單調(diào)性以及可判斷B、D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【解析】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋煽傻?，令，解得：?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞堿．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為，無極小值，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C不正確；因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)無零點(diǎn)．綜上所述：有一個(gè)零點(diǎn)，故B不正確；因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：AD．10．函數(shù)，，下列命題中正確的是（）A．若直線與曲線相切，則B．當(dāng)時(shí)，有C．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)D．若時(shí)，總有恒成立，則【答案】BD【分析】對(duì)于A，通過求曲線過原點(diǎn)的切線方程，可以直接求出.對(duì)于B，首先當(dāng)時(shí)，將不等式變形為.再通過求導(dǎo)，判斷在單調(diào)性即可證得.對(duì)于C，令，方程的解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).對(duì)于D，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性.【解析】對(duì)于A，由題意得，設(shè)過原點(diǎn)的直線與曲線的切點(diǎn)為，則，又所以切線斜率為，又因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以切線斜率還可以表示為，所以，解得，，所以，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，首先當(dāng)時(shí)，將不等式變形為，再由可得，進(jìn)一步化簡(jiǎn)不等式可得.所以將問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，.又，令解得，所以在單調(diào)遞增，所以時(shí)，成立，故B正確.對(duì)于C，由題意得，令，則，解得，只有一個(gè)解，所以函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若時(shí)，總有恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，對(duì)任意的恒成立，故在單調(diào)遞增，則，恒成立，也即在區(qū)間恒成立，即，故D正確.故選：BD.11．若實(shí)數(shù)，則下列不等式成立的是（）A．若，則B．C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到A正確，取得到B錯(cuò)誤，構(gòu)造得到函數(shù)單調(diào)遞增得到C正確，構(gòu)造函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)遞減得到D正確，得到答案.【解析】，A正確；取，則，B錯(cuò)誤；要使，即，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，故C正確；設(shè)，則，二次函數(shù)對(duì)稱軸為，，，故在上恒成立.故函數(shù)單調(diào)遞減，故，即，D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知實(shí)數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】畫出的圖象，根據(jù)圖象特點(diǎn)，要想方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，需要令，這樣有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且，，才會(huì)有四個(gè)交點(diǎn).【解析】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在時(shí)，取得最小值，畫出的圖象如圖所示：令，則方程為，要想方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合的圖象可知需要滿足：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且，，令，則，解得：的取值范圍故答案為：【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．13．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②和是函數(shù)的極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，則；④函數(shù)的零點(diǎn)至少有個(gè)，至多有個(gè)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】②③④【分析】作出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)圖象即可判斷出①②③，對(duì)于④，的零點(diǎn)，等價(jià)于方程和方程的根的個(gè)數(shù)，對(duì)a分類討論，利用數(shù)形結(jié)合法即可判斷出正誤.【解析】解：當(dāng)時(shí)，，則，令，得或3，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，作出函數(shù)的大致圖象，如下圖所示：對(duì)于①，由圖象得，在上先減后增，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由圖象得，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，令得，所以若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，則故③正確；對(duì)于④，由，得函數(shù)g(x)的零點(diǎn)，等價(jià)于方程f(x)=1和方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)，即等價(jià)于y=1和y=a，與函數(shù)y=f(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象得y=1與函數(shù)f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a<1時(shí)，y=a與函數(shù)f(x)的圖象沒有交點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)a=1時(shí)，y=a與函數(shù)f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)1<a<5時(shí)，y=a與函數(shù)f(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)有6個(gè)；當(dāng)a=5時(shí)，y=a與函數(shù)f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)有5個(gè)；當(dāng)a>5時(shí)，y=a與函數(shù)f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)有4個(gè)；所以函數(shù)g(x)=[f(x)]2-(a+1)f(x)+a的零點(diǎn)至少有2個(gè)，至多有6個(gè)，故④正確.故答案為：②③④.14．已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，且關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________【答案】【分析】令，將可得，解得，即可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性作出的圖象以及的圖象，結(jié)合圖象可得即可求解.【解析】因?yàn)槎x在的單調(diào)函數(shù)滿足，所以必存在唯一的正實(shí)數(shù)，滿足，①，令，可得②，由①②得：即，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以方程有唯一解，所以，解得：．故，由方程在區(qū)間上有兩