2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)（浙江卷）真題含答案

絕密★考試結(jié)束前2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)（理科）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共5頁(yè)，選擇題部分1至2頁(yè)，非選擇題部分3至5頁(yè)。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。選擇題部分（共50分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。參考公式：如果事件互斥，那么棱柱的體積公式如果事件相互獨(dú)立，那么其中表示棱柱的底面積，表示棱柱的高棱錐的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率其中表示棱錐的底面積，表示棱錐的高棱臺(tái)的體積公式球的表面積公式其中S1、S2分別表示棱臺(tái)的上、下底面積，球的體積公式h表示棱臺(tái)的高其中表示球的半徑一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)，，，則()A．B．C．D．答案：B【解析】對(duì)于，因此．2．已知是實(shí)數(shù)，則“且”是“且”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：C【解析】對(duì)于“且”可以推出“且”，反之也是成立的3．設(shè)（是虛數(shù)單位），則()A．B．C．D．答案：D【解析】對(duì)于4．在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是()A．B．C．D．答案：B【解析】對(duì)于，對(duì)于，則的項(xiàng)的系數(shù)是5．在三棱柱中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)掕垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是()A．B．C．D．答案：C【解析】取BC的中點(diǎn)E，則面，，因此與平面所成角即為，設(shè)，則，，即有．6．某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是()A．B．C．D．答案：A【解析】對(duì)于，而對(duì)于，則，后面是，不符合條件時(shí)輸出的．7．設(shè)向量，滿足：，，．以，，的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()A．B．C．D．答案：C【解析】對(duì)于半徑為1的圓有一個(gè)位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況，但5個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)．8．已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是()答案：D【解析】對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．9．過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若，則雙曲線的離心率是()A．B．C．D．答案：C【解析】對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，，則有，因．10．對(duì)于正實(shí)數(shù)，記為滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：且，有．下列結(jié)論中正確的是()A．若，，則B．若，，且，則C．若，，則D．若，，且，則答案：C【解析】對(duì)于，即有，令，有，不妨設(shè)，，即有，因此有，因此有．非選擇題部分（共100分）注意事項(xiàng)：1．用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。2．在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑。二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則．答案：15【解析】對(duì)于12．若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是．答案：18【解析】該幾何體是由二個(gè)長(zhǎng)方體組成，下面體積為，上面的長(zhǎng)方體體積為，因此其幾何體的體積為1813．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是．答案：4【解析】通過畫出其線性規(guī)劃，可知直線過點(diǎn)時(shí)，14．某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)．該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：高峰時(shí)間段用電價(jià)格表低谷時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量（單位：千瓦時(shí)）高峰電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）低谷月用電量（單位：千瓦時(shí)）低谷電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超過50至200的部分0.598超過50至200的部分0.318超過200的部分0.668超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為元（用數(shù)字作答）．答案：【解析】對(duì)于應(yīng)付的電費(fèi)應(yīng)分二部分構(gòu)成，高峰部分為；對(duì)于低峰部分為，二部分之和為15．觀察下列等式：，，，，………由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于，．答案：【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于，16．甲、乙、丙人站到共有級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（用數(shù)字作答）．答案：336【解析】對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，則有種；若有一個(gè)臺(tái)階有2人，另一個(gè)是1人，則共有種，因此共有不同的站法種數(shù)是336種．17．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過點(diǎn)作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是．答案：【解析】此題的破解可采用二個(gè)極端位置法，即對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)，，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，因平面，即有，對(duì)于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。2009042318．（本題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，20090423．（I）求的面積；（II）若，求的值．解析：（I）因?yàn)椋?，又由，得，（II）對(duì)于，又，或，由余弦定理得，2009042319．（本題滿分14分）在這個(gè)自然數(shù)中，任取個(gè)數(shù)．20090423（I）求這個(gè)數(shù)中恰有個(gè)是偶數(shù)的概率；（II）設(shè)為這個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為，則有兩組相鄰的數(shù)和，此時(shí)的值是）．求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．解析：（I）記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，則；（II）隨機(jī)變量的取值為的分布列為012P所以的數(shù)學(xué)期望為2009042320．（本題滿分15分）如圖，平面平面，20090423是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，，的中點(diǎn)，，．（I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面；（II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離．證明：（I）如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系O，則，由題意得，因，因此平面BOE的法向量為，得，又直線不在平面內(nèi)，因此有平面（II）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫鍮OE，所以有，因此有，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到，的距離為．2009042321．（本題滿分15分）已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．20090423（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為，（II）不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本€MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．2009042322．（本題滿分14分）已知函數(shù)，，20090423其中．（I）設(shè)函數(shù)．若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（II）設(shè)函數(shù)是否存在，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在惟一的非零實(shí)數(shù)（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：（I）因，，因在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實(shí)數(shù)解，且無重根，由得，令有，記則