2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題22 最值之瓜豆原理含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題22最值之瓜豆原理

一、軌跡之直線

例：如圖，P是直線8C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)尸在BC上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？

【分析】當(dāng)尸點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是?條直線.

可以這樣理解：分別過(guò)人、Q向8C作垂線，垂足分別為M、M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

因?yàn)锳P=24Q,所以QV始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到AC的距離是定值，故。點(diǎn)

秋跡是一條直線.

典例精析

1.（2019?宿遷）如圖，正方形A3C。的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn),且AE=1,F為AB邊

上的?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

2.（2021?新泰市模擬）如圖，長(zhǎng)方形ABCZ）中，A8=3,BC=4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,

F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)石順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG

和CG,則CG的最小值為（）

5

c.2V2D.

2

3.（2021?無(wú)棣縣模擬）如圖，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為7,E為BC上一點(diǎn),且BE=M，F(xiàn)

為AA邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接防，以"'為邊向右側(cè)作等邊AEPG,連接CG,則CG的最

小值為.

4.（2020?東臺(tái)市一模）如圖，已知點(diǎn)A（-3,0）,8（0,3）,以-1,4）,動(dòng)點(diǎn)P在線段上，

點(diǎn)尸、C、M按逆時(shí)針順序排列，且NC尸M=90。，CP=MP,當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),

5.（2020?蘭溪市模擬）如圖，乙40笈=30。，">=4,當(dāng)點(diǎn)C在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰RuXCDE,

CD=DE,則O,石兩點(diǎn)間距離的最小值為一.

A

E

30=

DB

6.（2020?清江浦區(qū)一模）如圖，正方形A8C￡＞的邊長(zhǎng)為2,E為BC上一點(diǎn)、,且應(yīng)：=1,F

為4"邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接痔，以防為底向右側(cè)作等腰直角AEPG,連接CG,貝JCG

的最小值為一.

7.（202（）?市中區(qū)一模）如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)為8,石為8c的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)8的

位置），尸為3邊上的一人動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以叮為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則

CG的最小值為.

8.（2020?祁江區(qū)校級(jí)一模）如圖，菱形A6CD的邊長(zhǎng)為4,ZB=120°,E是4c的中點(diǎn)，

產(chǎn)是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接所，將線段所繞點(diǎn)「按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，G為點(diǎn)￡對(duì)應(yīng)

點(diǎn)，連接CG,則CG的最小值為.

二、軌跡之圓

例1：如圖，尸是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,。為4P中點(diǎn).

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓。有什么關(guān)系?

考慮到。點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接4。，取A。中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑

MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△4MQS2\AOP,QM.PO=AQ.AP=\:2.

【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、0三點(diǎn)共線,

由。為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO.

Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系;

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

典例精析

1.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=16,3c=12,點(diǎn)尸在以AB為直徑的半圓上

運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,連接CF,點(diǎn)/足8的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

2.如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的

圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,以4。為邊向AP右側(cè)作等邊三角形當(dāng)點(diǎn)夕在OO上運(yùn)

動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

3.如圖，O的半徑為2,O到定點(diǎn)A的距離為5,點(diǎn)B在O上，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn),

若8在?O上運(yùn)動(dòng)一周.

（1）點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓；

（2）AAAC始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫(xiě)出PC長(zhǎng)的取值范圍.

（1）思路引導(dǎo)

要證點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)圓，只要證點(diǎn)尸到

定點(diǎn)M的距離等于定長(zhǎng)r,由圖中的定點(diǎn)、定

長(zhǎng)

可以發(fā)現(xiàn)r.

4.如圖，線段為二O的直徑，點(diǎn)C在4?的延長(zhǎng)線上，AB=4,8C=2,點(diǎn)夕是2O上

一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以C尸為斜邊在尸。的上方作RlAPCD,且使NDCP=60°,連接0D,

則。D長(zhǎng)的最大值為.

D

OBL

5.已知：如圖，AA是O的直徑，。是O上一點(diǎn)，?！?gt;_14。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作QO的

切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接

（1）求證：AE與QO相切；

（2）連接班），若ED:DO=3:1,OA=9,求他的長(zhǎng)；

（3）若A3=10,4c=8,點(diǎn)尸是QO任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦A廠的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在QO上

運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

6.若AC=4,以點(diǎn)。為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)尸為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP.

（1）如圖1,取點(diǎn)3,使A48C為等腰直角三角形，ZMC=90°,將點(diǎn)尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到A產(chǎn).

①點(diǎn)P'的軌跡是」L（填“線段”或者“圓”）：

②CP的最小值是一；

（2）如圖2,以AP為邊蚱等邊AAPQ（點(diǎn)A、P、。按照順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，在點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，求CQ的最大值.

（3）如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)M,連接尸則CM的最小值為.

圖1圖2圖3

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，)，軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋

物線.y=V+/U-+C?經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為8.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，AA8W的面積等于

AA4c面積的？，求此時(shí)點(diǎn)用的坐標(biāo)；

5

(3)如圖2,以8為圓心，2為半徑的8與x軸交于七、尸兩點(diǎn)(口在￡右側(cè))，若2點(diǎn)是

3上一動(dòng)點(diǎn)，連接八4,以04為腰作等腰RtAPAD,使/抬。=90。(2、A、。三點(diǎn)為逆

時(shí)針順序)，連接出).求FD長(zhǎng)度的取值范圍.

圖1圖2

專題22最值之瓜豆原理

一、軌跡之直線

例：如圖，P是直線8C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)尸在BC上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？

【分析】當(dāng)尸點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是?條直線.

可以這樣理解：分別過(guò)人、Q向8C作垂線，垂足分別為M、M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

因?yàn)锳P=24Q,所以QV始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到AC的距離是定值，故。點(diǎn)

秋跡是一條直線.

【例】如圖，MPQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90°^AP=AQ,當(dāng)點(diǎn)尸在直線BC

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

【分析】當(dāng)A尸與AQ夾角固定且為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.

當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q

點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段.

AO2

B

0

【模型總結(jié)】

必要條件：

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（N%Q是定直）；

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的電離之比是定量（4P:AQ是定道）.

結(jié)論：

尸、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于（當(dāng)N力維90。時(shí)，NFQ等于MN與

BC夾角）

P、。兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:4Q（由△ABCs^AMN,可得4P:AQ=8C:MN）

典例精析

1.（2019?宿遷）如圖，正方形A3C。的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn),且3E=1,F為AB邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接E",以所為邊向右側(cè)作等邊AEAG,連接CG,則CG的最小值為.

解：由題意可知，點(diǎn)廠是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線

軌跡上運(yùn)動(dòng)

將AEF8繞點(diǎn)石旋轉(zhuǎn)60°,使廝與EG重合，得到AEfB二AEHG

從而可知A/m〃為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上

作■CMIHN,則CM即為CG的最小值

作EPJ.CW,可知四邊形”￡尸例為矩形，

13S

貝JICM=MP+"=〃E+2EC=1+2=2

222

2.（2021?新泰市模擬）如圖，長(zhǎng)方形人中，AB=3,BC=4,E為BC上一點(diǎn)、，且BE=1,

廠為4?邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，.將EF繞著點(diǎn)、K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG

和CG,則CG的最小值為（）

5

C.26D.

2

解：如圖，將線段隨繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段ET,連接G7',連接?！杲籆G于

四邊形ABC。是矩形，

AB=CD=3fN8=N5C￡>=90。,

,；ZBET=/FEG=45。,

:.ZBEF=ZTEGt

在AE8/7和ATW中，

EB=ET

、/BEF=/TEG,

EF=EG

;.\EBF=NEG(SAS),

:.NB=NETG=90。,

.??點(diǎn)G的在射線7G上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)CGJ_7U時(shí)，CG的值最小，

.BC=4,BE=\rCD=3,

.,.CE=CD=3,

：./CED=ZBET=45。,

N7E/=90。=NETC="GT=90°,

四邊形EFGJ是矩形，

:.DE//GTtGJ=TE=BE=\,

..CJ±DEt

:.JE—JD，

13五

CJ=—DE=-----,

22

:.CG=CJ+GJ=\+—

29

.?.CG的最小值為1+迪，

2

故選：B.

3.(2021?無(wú)棣縣模擬)如圖，正方形A48的邊長(zhǎng)為7,E為BC上一息，且BE=6，F(xiàn)

為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接￡F,以所為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最

小值為

解：AEAG為等邊三角形，

:.EF=EG,

把小繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AE〃G,如圖，延長(zhǎng)"G交CD于M,過(guò)C點(diǎn)作

CQ1HM,過(guò)E點(diǎn)作“_LCQ,

."￡7/=60。，EB=EH=C,AEHG=/EBF=W,

即G點(diǎn)在過(guò)H點(diǎn)且垂直于EH的線段HM上，

易得四邊形為矩形，

:.PQ=EH=6ZH"=90°,

??/CEP=90°-ZBEH=30°,

,D7-6

22

...CQ=CP+PQ=ZZ^+G=g^.

」.CG的最小值為上芭.

2

故答案為上好.

4.(2020?東臺(tái)市一模)如圖，已知點(diǎn)A(-3,0),8(0,3),C(-l,4),動(dòng)點(diǎn)尸在線段AB上，

點(diǎn)P、C、M按逆時(shí)針順序排列，且NCPM=90。，CP=MP,當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),

:.AB=3上，

vC（-l,4）,動(dòng)點(diǎn)P在線段A3上，ZCPA/=90°,CP=MP,

:.°、=——,尸為主動(dòng)點(diǎn)，M為從動(dòng)點(diǎn)，C為定點(diǎn)，

CM2

由“瓜豆原理”得P運(yùn)動(dòng)路徑（人功與M運(yùn)動(dòng)路徑之比等于巖，

二點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為3尬+包=6,

2

故答案為：6.

5.（2020?蘭溪市模擬）如圖，ZAOB=30°,8=4,當(dāng)點(diǎn)C在。4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰RtACDE,

CD=DE,則O,E■兩點(diǎn)間距離的最小值為.

解：?.ZAO8=30°,8=4,點(diǎn)。在。4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD=DE,CDVDE,

.?.C為主動(dòng)點(diǎn)，E為從動(dòng)點(diǎn)，。為定點(diǎn)，

由“瓜豆原理”，C在04上運(yùn)動(dòng)，則E在垂直04的直線上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)"J_OA時(shí)，如答圖：

c

答圖

過(guò)石作EM_LQ4于M,交08于N,則直線MN即為E的運(yùn)動(dòng)軌跡，OM的長(zhǎng)為O,E兩

點(diǎn)間距離的最小值,

\ZAOB=30°,O￡)=4,DC±OAf

:.CD=2,

CD=DE,

：.DE=2t

/OCD=/CDE=W,

：.DE//OAt

而

:.NDEN=90。，NEDN=3/，

.?.在ADEN中可得ON=%,

3

。=4+竽,

△0”可中可得。/”=爭(zhēng)（4+竽）=2+26,

故答案為：2+2G.

6.（2020?清江浦區(qū)一模）如圖，正方形A8CO的邊長(zhǎng)為2,E為BC上一點(diǎn)、,且跳：=1,F

為45邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以所為底向右側(cè)作等腰直角AEFG,連接CG,貝JCG

的最小值為.

D

解：如圖1,過(guò)點(diǎn)G作GPJ■回于點(diǎn)2，GQ_L4c于點(diǎn)Q,連接班）,

圖1

根據(jù)題意知，NABC=90°,ZPGO=90°.

:./PGF+乙FGQ=ZQGE+/FGQ=90°.

4PGF=/QGE.

又用6是等腰直角三角形，且NFGE=90。，

:.GF=GE.

在△G/Y'與AGQE中，

CGPF=CGQE=900

NPGF=NQGE

GF=GE

;.AGPF^AGQE(AAS).

；.GP=GQ,NGBP=/GBE=L/ABC.

2

.??點(diǎn)G在“。所在的直線上運(yùn)動(dòng).

尸為M邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖2,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)3重合時(shí)，點(diǎn)G的位置如圖所示.

當(dāng)點(diǎn)?與點(diǎn)A重合時(shí)，記點(diǎn)G的位置為G〃.

點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段GG”.

過(guò)點(diǎn)C作CG1BD于點(diǎn)G'.

.?1CG1*CG=；BD?

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,

BD=2叵.

??|CGL,=V2.

故答案是：血.

7.（2020?市中區(qū)一模）如圖，正方形44a）的邊長(zhǎng)為8,E為4c的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)笈的

位置），尸為8邊上的一人動(dòng)點(diǎn)，連接EF,以所為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則

CG的最小值為.

解：由題意可知，點(diǎn)尸是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線

軌跡上運(yùn)動(dòng)

將AEF8繞點(diǎn)石旋轉(zhuǎn)60°,使斯與￡G重合，得到AE/歸二

從而可知AEAH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于〃E的直線"N上

作CMA.HN,則CW即為CG的最小值

作EP_LCM,可知四邊形〃出加為矩形，

則CM=MP+CP"+嚴(yán)=2+3=5,

故答案為：5.

8.（2020?祁江區(qū)校級(jí)一模）如圖，菱形A3C￡＞的邊長(zhǎng)為4,N5=120。，E是4c的中點(diǎn)，

廠是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接環(huán)，將線段所繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，G為點(diǎn)E對(duì)應(yīng)

點(diǎn)，連接CG，則CG的最小值為.

解：如圖取8的中點(diǎn)K,連接EK,KG,EK,延長(zhǎng)KG交6C于J,作C〃_L/K于

四邊形A8CD是菱形，

:.ZFCE=NFCK,CB=CD,AB//CDt

/.ZZXB+Z^=180°,

???NB=120°,

..Z7X^=6O°,

.BE=EC,CK=KD,

：.CK=CE,

「.AECK是等邊三角形，

CF=CF,4FCK=4FCE,CK=CE,

M'CK=bFCE(SAS),

/.FK=kE,

FG=FEt

:.FE=FG=FK,

NEKG=L/EFG=15。,

2

NC依=60°,

ZCK/=45°,

二點(diǎn)G在直線K/上運(yùn)動(dòng),

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)G與“重合時(shí)，CG的值最小,

在RtACKH中，ZCKH=450tNC”K=90。，CK="D=2,

.\CH=KH=y/2,

.??CG的最小值為夜,

故答案為&.

三、軌跡之圓

例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP,Q為AP中點(diǎn).

考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓。有什么關(guān)系?

考慮到Q點(diǎn)始終為4P中點(diǎn)，連接AO,取AO中點(diǎn)M,則M點(diǎn)即為。點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑

MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQS/\4OP,QM.PO=AQ:AP=\:2.

【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、。始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線,

由Q為八P中點(diǎn)可得：AM=l/2人0.

Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放.

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系;

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

例2：如圖，尸是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接4尸，作AQ_LAP且AQ=4P.

考慮；當(dāng)點(diǎn)〃在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。點(diǎn)軌跡是？

【分析】。點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得AQ,故Q點(diǎn)軌跡與P

點(diǎn)軌跡都是圓.接下來(lái)確定圓心與半徑.

考慮人P_LAQ,可得。點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM_L4O；

考慮4P=AQ,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=40,且可得半徑MQ=PO.

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有^AP。也△AQM.

例3：如圖，ZkAP。是直角三角形，/以。=90。且AP=2AQ,當(dāng)P在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡

是？

Q

【分析】考慮人P_LAQ,可得。點(diǎn)軌跡圓圓心”滿足

考慮AP:AQ=2-.1,可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1.

即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APOSAAQM,且相似比為2.

【模型總結(jié)】

為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q,可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)

此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（/%。是定道）;

主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的近離之比是定量（AP：AQ是定道）.

【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角:

/以。=NOAM；

（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：

4P:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.

按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與夕的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

典例精析

I.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,47=16,8C=12,點(diǎn)?在以AB為直徑的半圓上

運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,連接CP,點(diǎn)M是。＞的中點(diǎn)，則點(diǎn)A/經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.

解：vZACB=90°,AC=I6,BC=12,

/.AB=>JAC2+BC2=Vl62+122=20,

連接”，BP,

AB是直徑，

/.ZAPB=90°,

即AP_L8P,

取3C,AC的中點(diǎn)E和廣，連接ME,MF,EFt

在ABPC中，

M,E為PC、3C的中點(diǎn)，

:.MEIIBP,ME=-BP,

2

在AAPC中，

.,點(diǎn)M、F為PC、AC的中點(diǎn),

:.MF//AP,MF=LAP,

2

:.ME上MF,

即Z￡A/F=9C)0,

.??點(diǎn)M在以EQ為直徑的半圓上，

:.EF=-AB=\Ot

2

/.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為'x2;rx5=5萬(wàn)，

2

故答案為：54.

2.如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的

圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,以AP為邊向4P右側(cè)作等邊三角形"8.當(dāng)點(diǎn)?在0。上運(yùn)

動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

解：如圖，連接AO、OP,將△AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得線段人O',連接。4、。。,

AO=A(7fNOW?'=600,

\OAO'為正三角形，

AA尸4為正三角形，

/.ZE4B=60°,PA=BA,

/.ZMB-ZOAB=ZOAO-ZOAB,

：.ZPAO=ZBAOt

在AAPO與AA8O中，

AO=AO'

</PAO=ZBAO,

PA=BA

：0PO三WHO,

:.OP=CfB=2、

：.O即為動(dòng)點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)的路徑，

.??當(dāng)點(diǎn)P在O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是4不，

3.如圖，。的半徑為2,O到定點(diǎn)4的距離為5,點(diǎn)內(nèi)在。上,點(diǎn)戶是線段43的中點(diǎn),

若B在O上運(yùn)動(dòng)一周.

(1)點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓；

(2)AA8C始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫(xiě)出PC長(zhǎng)的取值范圍.

(1)思路引導(dǎo)

要證點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)圓，只要證點(diǎn)戶到

定點(diǎn)M的距離等于定長(zhǎng)r,由圖中的定點(diǎn)、定

長(zhǎng)

可以發(fā)現(xiàn)M,r.

(1)解：連接。4、OB,取。4的中點(diǎn)〃，連接如圖1所示:

則利是AA3O的中位線,

:.HP=-OB=\

2t

.?.夕點(diǎn)到月點(diǎn)的距離固定為1,

在。上運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)的路徑是以點(diǎn)，為圓心，半徑為1的一個(gè)圓;

(2)解：連接47并延長(zhǎng)40交二。于點(diǎn)例、N,如圖2所示：

AA3C是等邊三角形，點(diǎn)尸是線段4?的中點(diǎn)，

：.PCLABPA=PB=-AB=-BC

f22t

PC=&A=BAB,

2

當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)用位置時(shí)，點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P'位置，PC最短，

AM=OA-OM=5-2=3f

13

/.Ar=-AM=-,

22

，心理

2

當(dāng)點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)產(chǎn)位置,PC最長(zhǎng)，

AN=OA+ON=5+2=7,

|7

/.AP"=-AN=-

22f

，心鳴

2

.?.PC長(zhǎng)的取值范圍是」一領(lǐng)PC—.

圖2

B

圖1

4.如圖，線段AB為GO的直徑，點(diǎn)。在AB的延長(zhǎng)線上，AB=4,8c=2,點(diǎn)尸是0。上

一動(dòng)點(diǎn),連接CP,以。尸為斜邊在PC的上方作RtAPCD,且使NDCP=60°,連接。。，

則OD長(zhǎng)的最大值為.

解：如圖，作△（%>￡>,使得NCEO=90。，NECO=60。，貝UCO=2CE,OE=20

NOCP=NECD,

NC￡>P=90°,ZDCP=60°,

:.CP=2CD,

COCP

CE~~CD

:MOgkCED,

OPCP

EDCD

即EO=-OP=1（定長(zhǎng)）,

2

點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng),

.??點(diǎn)。在半徑為1的二七上,

?/OD?OE+DE=2>/3+\f

.?.8的最大值為26+1，

故答案為26+1.

5.已知：如圖，是CO的直徑，。是0。上一點(diǎn)，8_LAC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作QO的

切線，交QD的延長(zhǎng)線下點(diǎn)E,連接AE.

(1)求證：AE與OO相切；

(2)連接若ED:")=3:1,04=9,求AE的長(zhǎng)；

(3)若43=10,AC=8,點(diǎn)廠是0。任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦Ab的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在QO上

運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)例運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

(1)證明：如圖I中，連接OC.

圖1

.—AC,

AD=DC,

:.EA=ECt

在△QEC和AOE4中,

OE=OE

，OC=OAt

EA=EC

:.AOEC^M)EAf

/.4OAE=NOCE,

用?是O切線，

:.EC±OCf

NOCE=90。，

:.ZOAE=ZOCE=90°f

：.OA±AE,

.?.AE是O的切線.

(2)如圖1中，設(shè)。。=〃，則0E=3〃，

\ZAOD=ZAOEt")D\=4OAE,

:.AOAD^AOEA,

OAOD

~OE=~OAf

.?.4/=81,

6/>0,

9

/.Cl=-9

2

/.OE=18,

在RrAACR中，AE=^OF：2-OA2=\/182-92;96

(3)如圖2中，連接。M,取OA的中點(diǎn)O,連接

圖2

AM=MF,

：.OMlAFt

AO^OO>OA=OB=5f

.?.<7M=，OA=定長(zhǎng)=3,

22

.??當(dāng)點(diǎn)/在O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)的路徑是以。，為圓心之為半徑的圓，

2

???點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為27?2=5".

2

故答案為54.

6.若AC=4,以點(diǎn)。為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)尸為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接

（1）如圖1,取點(diǎn)3,使443。為等腰直角三角形，ZMC=90°,將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到同產(chǎn).

①點(diǎn)P'的軌跡是圓（填“線段”或者“圓”）;

②C戶的最小值是；

（2）如圖2,以AP為邊蚱等邊A4PQ（點(diǎn)A、P、。按照順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，求CQ的最大值.

（3）如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)連接尸M,則CM的最小值為_(kāi)__.

B

圖1圖2圖3

解：（1）①連接CQ、BP,如圖1所示：

AABC是等腰直角三角形，Z^4C=90°,

f

:.AC=ABt由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=APtNRW=90L

ZPAC=ZP'ABf

AP'=AP

在AAB嚴(yán)和AACP中，^P'AB=APAC,

AB=AC

...AABQ'NAAC尸（SAS）,

：.BP=CP=2,即點(diǎn)P'到點(diǎn)8的距離等于定長(zhǎng)，

.??點(diǎn)P'的軌跡是以3為圓心，2為半徑的圓;

故答案為：圓；

②A4AC是等腰直角三角形，入C=4,

8C=V5AC=4拉，

當(dāng)點(diǎn)P'在線段上時(shí)，C尸最小=4C-B/=4夜一2；

故答案為：4\/2-2；

(2)以AC為邊長(zhǎng)作等邊AAC。，連接。。、CP,如圖2所示:

AAPQ和AACD是等邊三角形，

：.AP=AQfAC=AD=CD=4tNE4Q=NG4。=60。，

ND4Q=NC4尸，

AD=AC

在A4￡>g和A4C。中，?ZDAQ=^CAPt

AQ=AP

：.SAD(2^SACP(SAS)t

DQ=CP=2t

當(dāng)C、D、Q三點(diǎn)共線時(shí)，CQ有最大值=CO+OQ=4+2=6；

(3)如圖3所示：M點(diǎn)的軌跡是以W為直徑的一個(gè)圓O,

f

貝lj尸M=E4=2,PM=PA=4+2=6f

則CO'是梯形PMMP的中位線，

...C*；(2+6)=4,

連接MMJ

則NMMW90。，

;.FME=PM=2,MM*=Py=4,

.-.MMW=6-2=4=A^WW,

.?.△MMVT是等腰直角三角形，.?.““=也

MM"=4叵,

:.O'M"=2①,

:.CM=CO'-O'M”=4S；

故答案為：4-2>/2.

圖1

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線)，=-5%+5與x軸，)，軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋

物線y=f+/u，+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為3.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點(diǎn)M為工軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，的面積等于

AA8C面積的-，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

5

（3）如圖2,以8為圓心，2為半徑的B與x軸交于￡、尸兩點(diǎn)（尸在七右側(cè)），若P點(diǎn)是

C8上一動(dòng)點(diǎn)，連接附,以Q4為腰作等腰RtAPAD,使/以力=90。（。、A、。三點(diǎn)為逆

時(shí)針順序），連接FQ.求。長(zhǎng)度的取值范圍.

解：(1)令4=0,則y=5,

/.C(0,5),

令y=0,貝b=l,

4(1,0),

將點(diǎn)A(l,0),C(0,5)代入y=x'+hx+c,

但H+b+c=0

得＜u，

b=-6

《9

c=5

二.y=x2-6x+5；

(2)設(shè)-6〃?+5],

令y=0,貝吐3+5=0,

解得x=5或x=l，

:.8(5,0),

：.AB=4t

?-5M?c=2X4x5=10,

MBM的面積等于MBC面積的

5

/.S：SMB=6=gx4x(〃?2-6m+5),

解得/〃=2或m=4,

.?.欣2,-3)或欣4,-3)；

(3)將點(diǎn)8繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到夕，連接48',PB,夕。,

々'AD+Za4O=90°,ZPAB+^BAD=90°t

:“AD=/PAB,

,AB=AfffPA=ADf

.?.AAOB'MAAP8'(S4S),

:.RP=R'D,

PB=2,

,

BD=2t

.?.O在以8'為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

7B(5,0),A(l,0),

二.成1,-4),

?BF=2,

：.尸(7,0),

/.B'F=2x/13,

.?.。/的最大值為2/百+2,的最小值為2J萬(wàn)-2,

2N/13-2WF2V13+2.

專題23最值之費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題

一、方法突破

皮耶?德?費(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不

夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué).費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢

獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、"費(fèi)馬大定理”等.

今天的問(wèn)題不是費(fèi)馬提出來(lái)的，是他解決的，故而叫費(fèi)馬點(diǎn).

問(wèn)題：在△A8C內(nèi)找一點(diǎn)P,使得%+P8+PC最小.

【分析】在之前的最值問(wèn)題中，我們解決的依據(jù)有：兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線

的連線中垂線段最短、作對(duì)稱化折線段為直線段、確定動(dòng)點(diǎn)就跡求最值等.

其實(shí)理論還是上面的理論，本題難點(diǎn)在于有3條線段，我們需要對(duì)這三條線段作一

些位置上的變化，如果能變換成在一條直線上，問(wèn)題就能解決了！

若點(diǎn)P滿足=NCB4=120。，則以+PB+尸C值最小，P點(diǎn)稱為該三角

形的費(fèi)馬點(diǎn).

為什么P點(diǎn)滿足/必4=/牝0=/。陽(yáng)=120。，%+PB+PC值就會(huì)最小呢？

考慮到NAP8=120。，JZAPE=60°,則可以AP為邊，在PE邊取點(diǎn)Q使得PQ=AP,則&4PQ

是等邊三角形.

△APQ、△4CE均為等邊三角形，且共頂點(diǎn)A,故△APCg/XAQE,PC=QE.

以上兩步分別轉(zhuǎn)化辦二PQ，PC=QE,PA+PB+PC=PB^-PQ+QE=BE.

沒(méi)有對(duì)比就沒(méi)有差別，我們換個(gè)夕點(diǎn)位置，如下右圖,司樣可以構(gòu)造等邊△A。。，

同樣有△APC經(jīng)ZXAQ石，轉(zhuǎn)化辦=PQ,PC=QE,

顯然，必+PB+PC=PB+PQ+QE>BE.

二、典例精析

1.在43c中，若其內(nèi)部的點(diǎn)夕滿足NAP8=N8尸C=/CE4=120°,則稱P為AABC的費(fèi)

馬點(diǎn).如圖所示，在AABC中，已知N8AC=45。，設(shè)尸為AA8C的費(fèi)馬點(diǎn)，且滿足

ZPa4=45°,PA=4,則APAC的面積為.

A

2.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形A3CD中，點(diǎn)M,N分別為AB、8C上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保

特BM=CN.連接MV,以A/N為斜邊在矩形內(nèi)作等腰RtAMNQ,若在正方形內(nèi)還存在一

點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為一.

B

3.如果點(diǎn)P是A43C內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則尸點(diǎn)叫AA5C的

費(fèi)馬點(diǎn).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120。的AA4C中，當(dāng)NA依=NAPC=NBPC=120。時(shí),

?就是AAAC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)夕是腰長(zhǎng)為血的等腰直角三角形小尸的費(fèi)馬點(diǎn)，則

PD+PE+PF=

4.如圖(1),尸為AAAC所在平面上一點(diǎn)，且NAPB=NAPC=NCE4=120°,則點(diǎn)夕叫做

AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P為銳角A4FC的葫馬點(diǎn)，HZ4/?C=60°.

①求證：;

②若9=3,PC=4,貝！必=.

(2)已知銳角AA3C,分別以A3、AC為邊向外作正AA8E和正AACD,CE和相交

于P點(diǎn).如圖(2)

①求NCPD的度數(shù)；

②求證：0點(diǎn)為AA8C的費(fèi)馬點(diǎn).

5.已知點(diǎn)尸是AA8C內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則尸點(diǎn)叫A46C的

費(fèi)馬點(diǎn)(Fem3PH川).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的MBC中，當(dāng)

NAQ4=NAPC=N8PC=l20°時(shí)，戶就是AA4C的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)尸是腰長(zhǎng)為血的等腰直角

三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)、，則PD+PE+PF=.

三、真題演練

1.如圖（1）,尸為AA8C所在平面上一點(diǎn)，且NAP8=NBPC=NCR4=120°,則點(diǎn)。叫做

AA3。的費(fèi)馬點(diǎn).

（1）若點(diǎn)尸是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P—1填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

（2）如果點(diǎn)。為銳角AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，l.ZABC=60°.求證：MBP^MCP；

（3）己知銳角A48C,分別以/3、AC1為邊向外作正ZV1BE和正A46，CE和臺(tái)￡＞相交

于尸點(diǎn).如圖（2）

①求NCPD的度數(shù)；

②求證：尸點(diǎn)為AA8C的費(fèi)馬點(diǎn).

2.閱讀下列材料，完成后面相應(yīng)的任務(wù):

費(fèi)馬1601年8月17日-1665年I月12日），生于法國(guó)南部圖盧茲（7b〃〃，依e）附

近的波蒙?德?羅曼，被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王.1643年，費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問(wèn)題:

給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位

置.另一位數(shù)學(xué)家托里拆利成功地解決了這個(gè)問(wèn)題：如圖1，AABC（三個(gè)內(nèi)角均小于120。）

的三條邊的張角都等于120。，即滿足〃依=/4也=/4。。=120°的點(diǎn)~,就是到點(diǎn)A,

A,。的距離之和最小的點(diǎn)，后來(lái)人們把這個(gè)點(diǎn)戶稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

下面是“費(fèi)馬點(diǎn)”的證明過(guò)程：如圖2,將A4PA繞著點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△4產(chǎn)3,

使得A戶落在MBC外，則△AAB為等邊三角形，;.PB=PB=PP,于是

PA+PB+PC=PA+PP+PC..AC.....

任務(wù)：（1）材料中，判定△AAA為等邊三角形的依據(jù)是.

（2）請(qǐng)你完成剩余的部分.

（3）如圖，A4BC為銳角三角形，以AC為一邊作等邊AAC。，C。是AACD的外接圓，連

接BD交1O于點(diǎn)、M,求證：M是AA8C的費(fèi)馬點(diǎn).

3.（1）知識(shí)儲(chǔ)備

①如圖1,己知點(diǎn)。為等邊A4AC外接圓的上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=PA.

②定義：在AA8C所在平面上存在一點(diǎn)?，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)?

為MBC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)+PC的值為AABC的費(fèi)馬距離.

（2）知識(shí)遷移

①我們有如下探尋AABC（其中NA,ZB,NC均小于120。）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：

如圖2,在的外部以4c為邊長(zhǎng)作等邊及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線

段—的長(zhǎng)度即為A4AC的費(fèi)馬距離.

②在圖3中，用不同于圖2的方法作出A4BC的費(fèi)馬點(diǎn)P（要求尺規(guī)作圖）.

（3）知識(shí)應(yīng)用

①判斷題（正確的打4,錯(cuò)誤的打x）：

i.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)—；

ii.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部—.

②已知正方形A3C￡）,尸是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且+的最小值為耐+&,求正

方形A8CZ）的

邊長(zhǎng).

A

D

4.皮埃爾?德?費(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王1638年

勒?笛卡兒邀請(qǐng)費(fèi)馬思考關(guān)于三個(gè)頂點(diǎn)距離為定值的函數(shù)問(wèn)題，費(fèi)馬經(jīng)過(guò)思考并由此提出費(fèi)

馬點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論.

定義：若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)，可使該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊

的張角均為120。，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).例如，如圖1,點(diǎn)夕是AABC的費(fèi)馬

點(diǎn).

請(qǐng)結(jié)合閱讀材料，解決卜列問(wèn)題：

己知：如圖2,銳角ADEF.

（1）尺規(guī)作圖，并標(biāo)明字母.

①在ADE/外，以"'為一邊作等邊AD尸G.

②作ADEG的外接圓O.

③連接即交O于點(diǎn)M.

（2）求證：（1）中的點(diǎn)M是AM戶的費(fèi)馬點(diǎn).

如圖1,在ZU8C中，NA=120。，AB=AC,BC=56,貝JA48c的夕卜接圓的半徑值為

【問(wèn)題解決】

如圖2,點(diǎn)P為正方形45co內(nèi)一點(diǎn)，fiZBPC=90°,若AB=4,求"的最小值.

【問(wèn)題解決】

如圖3,正方形A3CZ）是一個(gè)邊長(zhǎng)為的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門，點(diǎn)石在邊3。上,

C￡=>/5a〃，點(diǎn)P是正方形A4c。內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到4、E的張角為120。，即

NBPE=120。，點(diǎn)A、。為另兩個(gè)固定崗哨.現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q,

使得Q到A、D、。三個(gè)崗哨的距離和最小，試求QA+QO+QP的最小值.(保留根號(hào)或

結(jié)果精確到1?！?，參考數(shù)據(jù)1.7,10.52=110.25).

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)。在x軸的正半軸上，

2ODB=3G,OE為的中線，過(guò)6、E兩點(diǎn)的拋物線y=o?十立八十。與大軸相交于

6

A、尸兩點(diǎn)(A在尸的左側(cè)).

(1)求拋物線的解析式；

(2)等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)尸為AA8O內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)〃7=Q4+P3+PO,請(qǐng)直接寫(xiě)出/〃的最小值，以及加

取得最小值時(shí)，線段4P的長(zhǎng).

7.已知拋物線丁=-；/+反1+4的對(duì)稱軸為x=l,與y交于點(diǎn)A,與X軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,

作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到平行四邊形A8OC.

(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形A8O。重疊普分△OCO的周長(zhǎng)；

(3)若點(diǎn)尸為A4OC內(nèi)一點(diǎn)，直接寫(xiě)出Q4+PC+尸。的最小值(結(jié)果可以不化簡(jiǎn))以及直

線CP的解析式.

8.如圖。是AA3c所在平面上一點(diǎn).如果/4依=//吐=/。4=120°,則點(diǎn)尸就叫做費(fèi)

馬點(diǎn).