第十四章-三角形（能力提升） 帶解析

第十四章三角形（能力提升）考試時間：90分鐘注意事項：本試卷滿分100分，考試時間90分鐘，試題共25題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題（共6小題）1.如圖，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何輔助線的前提下，要使△ABC≌△ABD，只需再添加的一個條件不可以是（）A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠CBE＝∠DBE【答案】B【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到兩三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到兩三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到兩三角形全等．【解答】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到兩三角形全等，不符合題意；B、添加BC＝BD，不能判定兩三角形全等，符合題意；C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到兩三角形全等，不符合題意；D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到兩三角形全等，不符合題意；故選：B．【知識點】全等三角形的判定2.如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，若AC＝6，BD＝8，則AB的長可能是（）A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可得出AB的取值范圍，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的長可能為6．故選：D．【知識點】平行四邊形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系3.如圖，AB＝CD，AB∥CD，E，F(xiàn)是BD上兩點且BE＝DF，則圖中全等的三角形有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【分析】根據(jù)平行線求出∠ABE＝∠CDF，根據(jù)SAS推出△ABE≌△CDF，根據(jù)全等得出AE＝CF，根據(jù)SSS推出△ABD≌△CDB，根據(jù)全等求出AD＝BC，求出BF＝DE，根據(jù)SSS推出△ADE≌△CBF即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴AD＝BC，∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，∴BF＝DE，在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（SSS），即3對全等三角形，故選：C．【知識點】全等三角形的判定4.如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC．下列結(jié)論中，①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO．其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，求出∠DAC＝∠BAE，根據(jù)SAS證△DAC≌△BAE，推出BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝60°，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ADB＝∠AEC＝60°，但∠ADC≠∠AEB，根據(jù)以上推出的結(jié)論即可得出答案．【解答】解：∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，∴∠BOD＝60°，∴①正確；②正確；∵△ABD與△AEC都是等邊三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根據(jù)已知不能推出∠ADC＝∠AEB，∴③錯誤；故選：C．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)5.小聰在用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，具體過程是這樣的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；（3）以點C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點D′；（4）過點D'畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．小聰作法正確的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，進(jìn)而可證∠A′O′B′＝∠AOB D．由“等邊對等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【答案】A【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進(jìn)行判斷．【解答】解：由作圖得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，則根據(jù)“SSS”可判斷△C′O′D′≌△COD．故選：A．【知識點】作圖—基本作圖、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)6.如圖，方格中△ABC的三個頂點分別在正方形的頂點（格點上），這樣的三角形叫格點三角形，圖中可以畫出與△ABC全等的格點三角形共有（）個．（不含△ABC）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】D【分析】當(dāng)點B在下面時，根據(jù)平移，對稱，可得與△ABC全等的三角形有8個，包括△ABC，當(dāng)點B在其它3條邊上時，有3×8＝24（個）三角形與△ABC全等，由此即可判斷．【解答】解：當(dāng)點B在下面時，根據(jù)平移，對稱，可得與△ABC全等的三角形有8個，包括△ABC，當(dāng)點B在其它3條邊上時，有3×8＝24（個）三角形與△ABC全等，∴一共有：8+24﹣1＝31（個）三角形與△ABC全等，故選：D．【知識點】全等三角形的判定二、填空題（共12小題）7.如圖，△PBC的面積為4cm2，AP垂直∠B的平分線BP于點P，則△ABC的面積為cm2．【答案】8【分析】延長AP交BC于點Q，則由條件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，則陰影部分面積為△ABC的一半，可得出答案．【解答】解：如圖，延長AP交BC于點Q，∵AP垂直∠ABC的平分線BP于P，∴AP＝QP，∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，∴S△ABC＝2S陰影＝8（cm2），故答案為：8．【知識點】三角形的面積、等腰三角形的判定與性質(zhì)8.如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，垂足為D，交AC于E．若AB＝11cm，△BCE的周長為17cm，則BC＝cm．【答案】6【分析】先求出AC長，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AE＝BE，可得AE+BE＝AC＝AB，再根據(jù)△BCE的周長求出即可．【解答】解：∵AB＝11cm，∴AC＝AB＝11cm，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴AE+BE＝AC＝AB＝11cm，∵△BCE的周長為17cm，∴BC＝17﹣11＝6（cm）．故答案為：6．【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)9.如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，AB＝AD＝CD．若∠BAD＝40°，則∠C的大小為度．【答案】35【分析】在△ABD中利用等邊對等角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB的度數(shù)，然后利用∠ADB是三角形ADC的一個外角即可求得答案．【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝40°，∴∠B＝∠ADC＝（180°﹣40°）＝70°，∵在三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，∴∠BDA＝∠DAC+∠C，又∵AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝×70°＝35°，故答案為：35．【知識點】等腰三角形的性質(zhì)10.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足為E．若AD＝DE且∠C＝50°，則∠ABD＝°．【答案】20【分析】由“HL”可證Rt△ABD≌Rt△EBD，可得∠ABD＝∠DBE，即可求解．【解答】解：∵∠C＝50°，∠A＝90°，∴∠ABC＝40°，∵DE⊥BC，∴∠A＝∠BED＝90°，在Rt△ABD和Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴∠ABD＝∠DBE，∴∠ABD＝∠ABC＝20°，故答案為：20．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)11.如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的長為cm．【答案】5【分析】只要證明△BDF和△CEF為等腰三角形，即可解決問題．【解答】證明：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∴△BDF和△CEF為等腰三角形；∵DF＝BD，CE＝EF，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5（cm），故答案為：5．【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)12.如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分別是線段BC、AC上的一點，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】∠1=2∠2【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，進(jìn)而得出∠BAD＝2∠CDE．【解答】解：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．故答案為：∠1＝2∠2．【知識點】等腰三角形的性質(zhì)13.如圖，直線a，b過等邊三角形ABC頂點A和C，且a∥b，∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為．【答案】102°【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝60°，再由平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠1+∠BAC，即可得出答案．【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1+∠BAC＝42°+60°＝102°；故答案為：102°．【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)14.如圖，CE平分∠ACD，交AB于點E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，則∠BEC的度數(shù)為．【答案】57°【分析】延長CD交AB于F，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義計算即可．【解答】解：延長CD交AB于F，∵∠BDC是△BFD的一個外角，∴∠BFD＝∠BDC﹣∠B＝104°﹣30°＝74°，∵∠BFD是△AFC的一個外角，∴∠ACF＝∠BFD﹣∠A＝74°﹣40°＝34°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠FCE＝∠ACF＝17°，∵∠BEC是△AEC的一個外角，∴∠BEC＝∠ACE+∠A＝17°+40°＝57°，故答案為：57°．【知識點】三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)15.在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，已知∠ACB＝50°，∠EAD＝10°，則∠ABC的度數(shù)為．【答案】70°或30°【分析】分點E在線段CD上及點E在線段BD上兩種情況考慮，當(dāng)點E在線段CD上時，利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠AEC的度數(shù)，在△ACE中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CAE的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求出∠BAC的度數(shù)，再在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠ABC的度數(shù)；當(dāng)點E在線段BD上時，在△ACD中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠CAD的度數(shù)，進(jìn)而可求出∠CAE的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求出∠BAC的度數(shù)，再在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠ABC的度數(shù)．【解答】解：當(dāng)點E在線段CD上時，如圖1所示，∵∠AEC為△ADE的外角，∴∠AEC＝∠ADE+∠EAD＝100°，∴∠CAE＝180°﹣∠ACB﹣∠AEC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝2×30°＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°；當(dāng)點E在線段BD上時，如圖2所示，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACB＝50°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∴∠CAE＝∠CAD+∠EAD＝40°+10°＝50°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAE＝2×50°＝100°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．故答案為：70°或30°．【知識點】三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)16.一副分別含有30°和45°的直角三角板，拼成如圖，則∠BFD的度數(shù)是．【答案】15°【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CDF的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠CDF＝60°，∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．故答案為：15°．【知識點】三角形的外角性質(zhì)17.如圖所示，在△ABC中，∠A＝80°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于A1點，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于A2點，依此類推，∠A4BC與∠A4CD的平分線相交于A5點，則∠A5的度數(shù)是．【答案】2.5°【分析】由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此推出∠A＝25∠A5，而∠A＝96°，即可求出∠A5．【解答】解：∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，∴∠A＝25∠A5，∵∠A＝80°，∴∠A5＝80°÷32＝2.5°．故答案為：2.5°．【知識點】三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)18.已知在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC于點D，點E在AB上，點F在CA的延長線上，且∠EDF＝45°，若FG＝ED，BD＝3，S△DBE＝3，則AG的長為．【答案】2【分析】過E作EH⊥BC，垂足為H，則∠DHE＝90°，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)證明△FAG≌△DHE，可得AG＝EH，利用BD＝3，S△DBE＝3，可求解EH的長，進(jìn)而可求解AG的長．【解答】解：過E作EH⊥BC，垂足為H，則∠DHE＝90°，∵在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠FAG＝90°，∴∠FAG＝∠DHE，∵AD⊥BC于點D，∴∠ADB＝90°，∠CAD＝45°，∵∠EDF＝45°，∴∠EDH+∠ADF＝45°，∵∠F+∠ADF＝∠CAD＝45°，∴∠F＝∠EDH，∵FG＝ED，∴△FAG≌△DHE（AAS），∴AG＝EH，∵S△DBE＝BD?EH＝3，∴×3?EH＝3，解得EH＝2，∴AG＝2．故答案為2．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形三、解答題（共7小題）19.如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB＝DE，F(xiàn)B＝CE，AB∥ED．求證：AC∥FD．【分析】由“SAS”可證△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得結(jié)論．【解答】證明：AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥FD．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)20.已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點O，且OB＝OC．（1）求證：BE＝CD；（2）判斷點O是否在∠BAC的角平分線上，并說明理由．【分析】（1）由“AAS”可證△BOE≌△COD，可得結(jié)論；（2）由“SSS”可證△AOB≌△AOC，可得∠BAO＝∠CAO，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS），∴BE＝CD；（2）點O在∠BAC的角平分線上．理由：連接AO，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS）．∴∠BAO＝∠CAO，∴點O在∠BAC的角平分線上．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)21.（1）如圖（1），已知CE與AB交于點E，AC＝BC，∠1＝∠2．求證：△ACE≌△BCE．（2）如圖（2），已知CD的延長線與AB交于點E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)SAS可得出答案；（2）在CE上截取CF＝DE，證明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，則可得出BE＝BF．結(jié)論得證．【解答】（1）證明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)22.如圖1，四邊形ABCD中，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，AF＝CE，AB＝CD．（1）求證：BE＝DF；（2）如圖2，連接DE、BF，在添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對平行且相等的線段．【分析】（1）由“HL”可證Rt△ABE和Rt△CDF，可得BE＝DF；（2）由平行四邊形的判定可證四邊形ABCD，四邊形BEDF是平行四邊形，即可求解．【解答】證明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，BE∥DF，∵AF＝CE，∴AE＝CF，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝DF；（2）∵BE∥DF，BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DE∥BF，DE＝BF；∵Rt△ABE≌Rt△CDF，∴∠BAC＝∠ACD，AB＝CD，∴AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)23.已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，點A、D、E在同一直線上，AE與BC相交于點F，連接BE．（1）如圖1，當(dāng)α＝60時，①請直接寫出△ABC和△DEC的形狀；②求證：AD＝BE；③請求出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時，請直接寫出：①∠AEB的度數(shù)；②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，線段AF的長．【分析】（1）①由等邊三角形的判定可求解；②由“SAS”可證△CDA≌△CEB，可得AD＝BE；③由全等三角形的性質(zhì)可得∠CEB＝∠CDA＝120°，由平角的性質(zhì)可求解；（2）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC＝135°，可得結(jié)論；②由全等三角形的性質(zhì)可得AD＝BE＝2，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求AD＝CD＝DF＝2，即可求解．【解答】解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△ABC和△DEC是等邊三角形；②∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，，∴△CDA≌△CEB（SAS），∴AD＝BE，③∵△CDA≌△CEB，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，又∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；（2）①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∠CDE＝45°＝∠CED，∴∠ADC＝135°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC＝135°，∴∠AEB＝90°，②∵△ACD≌△BCE，∴BE＝AD＝2，∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，∴AD＝CD＝2，∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，∴∠DCF＝∠AFC，∴DC＝DF＝2，∴AF＝AD+DF＝4．【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)24.如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點E從D點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C→B→C作勻速移動，點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當(dāng)有一個點到達(dá)終點時，其余兩點也隨之停止運動．（1）試證明：AD∥BC．（2）在移動過程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點G的運動速度取某個值時，有△DEG與△BFG全等的情