第23章解直角三角形 學(xué)情評(píng)估卷滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第23章學(xué)情評(píng)估一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，則下列三角函數(shù)表示正確的是()A．sinA＝eq\f(12,5)B．cosA＝eq\f(5,13)C．tanA＝eq\f(12,13)D．tanB＝eq\f(12,5)(第1題)(第4題)(第6題)2．在Rt△ABC中，cosA＝eq\f(1,2)，那么sinA的值是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)3．某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米，此時(shí)他與水平地面的垂直距離為5米，則這個(gè)坡面的坡度為()A．1：2 B．1：eq\r(3) C．30° D．60°4．如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長是3米．若梯子與地面的夾角為α，則梯子頂端到地面的距離BC為()A．3sinα米 B．3cosα米C.eq\f(3,sinα)米 D.eq\f(3,cosα)米5．在△ABC中，tanA＝1，cosB＝eq\f(\r(2),2)，則對(duì)△ABC的形狀描述最準(zhǔn)確的是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．銳角三角形6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)∠ACD＝α，則cosα的值為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,4) C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,5)7．如圖，P是銳角α的邊OA上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，4)，則sinα等于()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)(第7題)(第8題)(第9題)8．某公路在BC路段限速60km/h(即最高行駛速度不能超過60km/h)，管理部門在距離公路100m處設(shè)置了一個(gè)速度監(jiān)測(cè)點(diǎn)A，假設(shè)公路是筆直的，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－100)，則限速路段BC等于()A．300m B．(100eq\r(3)＋100)mC．200eq\r(3)m D．100(eq\r(3)＋eq\r(2))m9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F.若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(4,5) D.eq\f(2\r(5),5)10．如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(2),3)(第10題)(第12題)(第13題)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2cos30°，則∠A＝______．12．如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB，BC＝6米，坡角β＝45°，AD的坡角α＝30°，則AD長為________米(結(jié)果保留根號(hào))．13．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，O都在格點(diǎn)上，則tan∠AOB＝________．14．如圖，把n個(gè)邊長為1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝eq\f(1,3)，tan∠BA3C＝eq\f(1,7).(1)計(jì)算tan∠BA4C＝________；(2)按此規(guī)律，寫出tan∠BAnC＝________．(用含n的代數(shù)式表示)(第14題)三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．計(jì)算：(π－2023)0－3tan30°＋|1－eq\r(3)|＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2).16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，a＝2eq\r(3)，b＝6，解這個(gè)直角三角形．(第16題)四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為45°，看這棟樓底部C的俯角β為60°，熱氣球與樓的水平距離為100m，求這棟樓的高度(結(jié)果保留根號(hào))．(第17題)18．在△ABC中，AB＝6，∠B為銳角且cosB＝eq\f(1,2)，tanC＝3eq\r(3).(第18題)(1)求∠B的度數(shù)；(2)求BC的長；(3)求△ABC的面積．五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．越來越多太陽能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MBC＝33°，在與點(diǎn)A相距3.5米的測(cè)點(diǎn)D處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MEC＝45°(點(diǎn)A，D與N在一條直線上)，求電池板離地面的高度MN的長(結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)．(第19題)20．如圖，一個(gè)人騎自行車由A地到C地途經(jīng)B地，當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的北偏東45°方向有一電視塔P.他由A地向正北方向騎行了3eq\r(2)km到達(dá)B地，發(fā)現(xiàn)電視塔P在他北偏東75°方向，然后他由B地向北偏東15°方向騎行了6km到達(dá)C地．(第20題)(1)求A地與電視塔P的距離；(2)求C地與電視塔P的距離．六、(本題滿分12分)21．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE∥BC，過點(diǎn)D作DE∥AB，DE與AC，AE分別交于點(diǎn)O，E，連接EC.(1)求證：四邊形ADCE是菱形；(2)若AB＝AO，求tan∠OAD的值．(第21題)七、(本題滿分12分)22．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動(dòng)，準(zhǔn)備測(cè)量一棟大樓BC的高度．如圖所示，其中觀景平臺(tái)斜坡DE的長是20米，坡角為37°，斜坡DE的底部D與大樓底端C的距離CD為74米，與地面CD垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂B測(cè)得路燈AE頂端A處的俯角是42.6°.試求大樓BC的高度．(結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42.6°≈0.68，cos42.6°≈0.74，tan42.6°≈0.92)(第22題)八、(本題滿分14分)23．(1)觀察與猜想：已知當(dāng)0°<α<60°時(shí)，下列關(guān)系式有且只有一個(gè)正確，正確的是________(填序號(hào))；①2sin(30°＋α)＝sinα＋eq\r(3)；②2sin(30°＋α)＝2sinα＋eq\r(3)；③2sin(30°＋α)＝eq\r(3)sinα＋cosα.(2)探究與證明：如圖①，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝30°，AC＝1，請(qǐng)利用圖①證明(1)中你猜想的結(jié)論；(3)應(yīng)用新知識(shí)解決問題：兩塊分別含有45°角和30°角的直角三角板如圖②方式擺放在同一平面內(nèi)，BD＝8eq\r(2)，則S△ABC＝________．(第23題)

答案一、1.B2.B3.B4.A5.C6.A7.B8.B9．A【點(diǎn)撥】如圖，連接BF.(第9題)∵CE是斜邊AB上的中線，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分線，∴S△AEF＝S△BEF＝5，BF＝AF，∴S△AFB＝10＝eq\f(1,2)AF·BC，∠FBA＝∠A.∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，∴在Rt△BCF中，CF＝eq\r(BF2－BC2)＝eq\r(52－42)＝3.∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的中線，∴CE＝AE＝BE＝eq\f(1,2)AB.∴∠A＝∠ABF＝∠ACE.又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°－∠BFC＝90°－2∠A，∠CEF＝90°－∠BEC＝90°－2∠A，∴∠CEF＝∠CBF，∴sin∠CEF＝sin∠CBF＝eq\f(CF,BF)＝eq\f(3,5).10．A二、11.60°12.6eq\r(2)13.eq\f(1,3)14．(1)eq\f(1,13)(2)eq\f(1,n2－n＋1)三、15.解：(π－2023)0－3tan30°＋|1－eq\r(3)|＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2)＝1－3×eq\f(\r(3),3)＋eq\r(3)－1＋4＝1－eq\r(3)＋eq\r(3)－1＋4＝4.16．解：∵a＝2eq\r(3)，b＝6，∠C＝90°，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(12＋36)＝eq\r(48)＝4eq\r(3).∵tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.四、17.解：在Rt△ADB中，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝100m.在Rt△ADC中，CD＝AD×tan∠DAC＝100eq\r(3)m，∴BC＝BD＋CD＝(100＋100eq\r(3))m.答：這棟樓的高度為(100＋100eq\r(3))m.18．解：(1)∵∠B為銳角且cosB＝eq\f(1,2)，∴∠B＝60°.(2)如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.∵cosB＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BH,AB)＝eq\f(1,2).∵AB＝6，∴BH＝3.在Rt△ABH中，AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).∵tanC＝3eq\r(3)，∴eq\f(AH,CH)＝3eq\r(3)，即eq\f(3\r(3),CH)＝3eq\r(3)，∴CH＝1，∴BC＝BH＋CH＝3＋1＝4.(3)S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AH＝eq\f(1,2)×4×3eq\r(3)＝6eq\r(3).(第18題)五、19.解：如圖，延長BC交MN于點(diǎn)H，AD＝BE＝3.5米．設(shè)MH＝x米．(第19題)∵∠MEC＝45°，∴EH＝x米．在Rt△MHB中，tan∠MBH＝eq\f(MH,HE＋EB)＝eq\f(x,x＋3.5)≈0.65，解得x＝6.5.∴MN＝1.6＋6.5＝8.1≈8(米)．答：電池板離地面的高度MN的長約為8米．20．解：(1)如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AP于點(diǎn)D.(第20題)依題意，得∠BAD＝45°，則∠ABD＝45°.在Rt△ABD中，AD＝BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×3eq\r(2)＝3(km)．∵∠PBN＝75°，∴∠APB＝∠PBN－∠PAB＝30°，∴PD＝eq\f(BD,tan30°)＝3eq\r(3)km，PB＝2BD＝6km，∴AP＝AD＋PD＝(3＋3eq\r(3))km，∴A地與電視塔P的距離為(3＋3eq\r(3))km.(2)如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BP于點(diǎn)E.∵∠PBN＝75°，∠CBN＝15°，∴∠CBE＝60°.∵BC＝PB＝6km，∴△BCP是等邊三角形，∴PC＝BC＝PB＝6km，∴C地與電視塔P的距離為6km.六、21.(1)證明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BD且AE＝BD.又∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形．又∵∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的中線，∴AD＝BD＝CD.又∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形．(2)解：∵四邊形ADCE是菱形，∴AO＝CO，∠AOD＝90°.又∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝AO，∴OD＝eq\f(1,2)AO，∴在Rt△OAD中，tan∠OAD＝eq\f(OD,OA)＝eq\f(1,2).七、22.解：延長AE交CD的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，則四邊形AMCN是矩形，∴NC＝AM，AN＝MC.在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，∵sin∠EDM＝eq\f(EM,ED)，cos∠EDM＝eq\f(DM,ED)，∴EM＝ED×sin37°≈20×0.6＝12(米)，DM＝ED×cos37°≈20×0.8＝16(米)，∴AN＝MC＝CD＋DM≈74＋16＝90(米)．在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，∵tan∠BAN＝eq\f(BN,AN)，∴BN＝AN×tan42.6°≈90×0.92＝82.8(米)，∴BC＝BN＋AE＋EM≈82.8＋3＋12≈98(米)．答：大樓BC的高度約為98米．八、23.(1)③(2)證明：如圖①，過點(diǎn)A作AM⊥BM，交BC的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.(第23題)∵∠AMB＝90°，∠B＝30°，∴AM＝eq\f(1,2)AB，即AB＝2AM.∵∠ACM為△ABC的外角，∴∠ACM＝∠B＋∠BAC＝30°＋α.在Rt△AC