2024-2025學(xué)年廣東省茂名市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省茂名市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合M={x2?2x<0}，N={x|x≤1}，則M∩N=A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(0,1]2.下列函數(shù)圖象是一個(gè)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系中的圖象，其中一定錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．3.已知cosθ=23，則cos(θ?A.7215 B.?7215 4.“x>2”是“2x?42A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)f(x)=x+4x，g(x)=2x+a，若?x1∈[2,3]，?A.(?∞,?113] B.(?∞,0] C.(?∞,6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a2=1，A.341 B.340 C.61 D.607.若函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)2,2成中心對(duì)稱，且f(x+1)是偶函數(shù)，則f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2023)=(

)A.2023 B.?2023 C.4048 D.?40488.一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字.事件A={2,4,6,8}，事件B={5,6,7,8}，若事件C滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，P(BC)≠P(B)P(C)，則滿足條件的事件C的個(gè)數(shù)為(

)A.4 B.8 C.16 D.24二、多選題：本題共3小題，共18分。每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.復(fù)數(shù)z=3i?2i2的虛部為?2

B.方程x2?4x+5=0的復(fù)數(shù)根為2±i

C.若z=(1+i)210.已知點(diǎn)P是△ABC的中線BD上一點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，且AP=xAB+yACA.x+2y=1 B.xy的最大值為19

C.x2+y2的最小值為111.已知函數(shù)f(x)=ex?x，g(x)=x?lnA.g(ex)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

B.?x>1，不等式f(ax)≥f(lnx2)恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為2e

C.若f(x)=t有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=x2?2ax+5,x≤1ax,x>1是13.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)，并且f(x)?g(x)=x2?x，則f(x)14.已知平面向量a，b，c滿足a=1，b=2，a,b=π3，且(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

體育鍛煉不僅能促進(jìn)身體健康，提高心理素質(zhì)，還能增強(qiáng)學(xué)習(xí)能力，對(duì)中學(xué)生的全面發(fā)展有著重要的積極作用.某市為了了解中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間情況，從該市隨機(jī)抽取了若干學(xué)生調(diào)查了他們每天體育鍛煉時(shí)間(單位：分鐘)，整理得到頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)求a的值，并估計(jì)所抽查的學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)；

(2)從所抽查的每天體育鍛煉時(shí)間在[10,20)，[60,70)內(nèi)的學(xué)生中，采用樣本量按比例分配的分層抽樣選取6人，再?gòu)倪@6人中任選2人，求所選216.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sinA+sinBc(1)求A;(2)若BC=3BD，AB?AD=0，|AD|=2，將△ABC沿AD折成直二角17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax(a∈R)(1)求a的值;(2)若過(guò)點(diǎn)(3,m)可作曲線y=f(x)的三條不同的切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18.(本小題17分)在數(shù)列{an}中，a1=1，?k∈N?都有a(1)求a2，a3，a(2)求數(shù)列{an(3)是否存在x，使得?k∈N?，a2k+x，a2k+1+x，a2k+2+x19.(本小題17分)已知實(shí)數(shù)集X={x1,x2,?,xn}，定義：X?X={(1)若X={1,2,3,6}，請(qǐng)直接給出X?X和|X?X|;(2)若x1，x2，?，xn均為正數(shù)，且|X?X|=300，求(3)若|X|=11，求證：|X?X|≥17．答案和解析1.【正確答案】D

M={x|0<x<2}；∴M∩N=(0,1]．2.【正確答案】C

對(duì)于A，由圖得，開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸大于0，故對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)為減函數(shù)，且與軸的交點(diǎn)在軸的上方，即A符合；對(duì)于B，原函數(shù)的圖象是先增，后減再增，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)先正后負(fù)再正，故B符合．對(duì)于C，不論把哪條曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)當(dāng)成是原函數(shù)，均于函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系相矛盾，故C不符合；

對(duì)于D，因?yàn)樵瘮?shù)的圖象是先減后增，故其導(dǎo)函數(shù)的圖象是先負(fù)后正，即D符合要求．

3.【正確答案】D

由cosθ=23，得sin2θ=1?cos2θ=4.【正確答案】C

設(shè)t=2x>0，則不等式2x?42x>3化為t2?3t?4>0，解得t>4或t<?1(5.【正確答案】A

因?yàn)閒(x)=x+4x在[2,3]上單調(diào)遞增，故f(x)max=f(3)=133，

因?yàn)間(x)=2x+a在[2,3]上單調(diào)遞增，所以g(x)max=g(2)=8+a，若?x1∈[2,3]，?x2∈[2,3]，使得f(x1)?g(x2)，則f(x1)max?g(x2)max，即133≥8+a，所以a≤?113．

6.【正確答案】A

因?yàn)閍n=an?1+2an?2(n≥3)，所以an7.【正確答案】C

由fx+1是偶函數(shù)知，fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，f2?x=fx①，又fx的圖象關(guān)于2,2中心對(duì)稱，所以f4?x=?fx+4②則f(2)=2，f(1)+f(3)=4，f(4)=f(0)=f(2)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，則f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2023)=2+505×8+6=4048．8.【正確答案】C

由題意可得，P(A)=P(B)=12，因?yàn)锳∩B={6,8}，若A∩B∩C={6,8}，則P(ABC)=14，此時(shí)由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)可得，P(C)=1，即C={1,2,3,4,5,6,7,8}，此時(shí)P(BC)=P(B)，與題意不符，所以A∩B∩C≠{6,8}，若A∩B∩C={6}，則C中元素不含8，且P(ABC)=18=P(A)P(B)P(C)=14P(C)，即P(C)=12，C中有4個(gè)元素，又因?yàn)镻(B)P(C)=14=28，則B∩C的元素不能是2個(gè)，所以C中元素要么只含6或含5，6，7，

含6時(shí)，有C43=4種，含5，6，7時(shí)，9.【正確答案】BD

對(duì)于A，z=3i?2i2=2+3i，虛部為3，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，x2?4x+5=0，則(x?2)2=?1，解得x=2±i，故B正確；對(duì)于C，z=(1+i)2=2i，則z?=?2i，復(fù)平面內(nèi)z10.【正確答案】ACD

因?yàn)锳P=xAB+yAC，所以AP=xAB+2yAD，

又B，P，D三點(diǎn)共線，所以x+2y=1，選項(xiàng)A正確；且x，y>0，1=x+2y≥22xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=１2，y=１4時(shí)，等號(hào)成立，∴xy≤18，當(dāng)且僅當(dāng)x=１２，y=１４11.【正確答案】ABD

f(x)=ex?x，則f′x=ex?1，可知函數(shù)fx在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，對(duì)于A，g(ex)=ex?x=fx，由fx在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，可知g(ex)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)x>1時(shí)，lnx2>0，

又a為正實(shí)數(shù)，所以ax>0，則不等式f(ax)?f(lnx2)即為ax?lnx2，即a?2ln?xx對(duì)?x>1恒成立，令φ(x)=2lnxx，知φ′(x)=2?2lnxx2，所以φ(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，所以φ(x)max=φ(e)=2e，則a?2e，所以B正確；對(duì)于C，fx在?∞,0上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，f(x)min=f(0)=1，所以t>1，不妨設(shè)x1<x2，則有x1<0<x2，

令F(x)=f(x)?f(?x)，x∈(?∞,0)，則F′(x)=f′(x)+f′(?x)=ex+e?x?2>0，

即F(x)12.【正確答案】[1,2]

根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=x2?2ax+5,x≤1ax,x>1是R上的減函數(shù)，

則a≥1a>013.【正確答案】f(x)=?x

f(x)?g(x)=x2?x

①，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以，f(?x)?g(?x)=?f(x)?g(x)=x2+x

②．由14.【正確答案】3+52

解：設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，因?yàn)閨a|=1，b=2，a,b=π3，

由(c?a)·(c?b)=0可得，CA⊥CB，即C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，b?c=bccos<b,c>=2ccos<b,c>，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，可作下圖：

當(dāng)CD//OB，C位于上圖位置時(shí)，15.【正確答案】解：(1)根據(jù)題意可得(a+a+0.03+0.03+0.015+0.01+a)×10=1，∴a=0.005，∴估計(jì)所抽查的學(xué)生每天體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為：

15×0.05+25×0.05+35×0.3+45×0.3+55×0.15+65×0.1+75×0.05=44.5；.....5分

(2)∵每天體育鍛煉時(shí)間在[10,20)，[60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比為0.005：0.01=1：2，...6分

∴所抽查的每天體育鍛煉時(shí)間在[10,20)，[60,70)內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣選取的6人分別為：

[10,20)內(nèi)選2人，設(shè)其為a，b；[60,70)內(nèi)選4人，設(shè)其為1，2，3，4，.....8分

再?gòu)倪@6人中任選2人所得樣本空間為：Ω={(a,b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共15個(gè)樣本點(diǎn)，.10分

設(shè)A=“所選2人不在同一組“，.....11分

A={(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)}，含8個(gè)樣本點(diǎn)，..12分∴P(A)=815【正確答案】解：(1)∵sinA+sinBc=sinB+sinCa?b由正弦定理得a+bc=b+ca?b，.....1分

化簡(jiǎn)得b2+c2?a2=?bc，....2分

由余弦定理得，cosA=b2+c2?a22bc=?12，故A.....=2π3;4分

(2)設(shè)BD=x，CD=2x，在△ACD中，由CDsin∠DAC=ADsinC得2xsinπ6=2sinC，.....6分

解得sinC=12x?①，....7分

在△ABD中，sinB=ADBD=2x=sin(π3?C)?②，.....8分

由?①、?②得sinB=277，x=7，∴BD=7，CD=27，從而AB=3，.....9分

∵二面角B′?AD?C為直二面角，【正確答案】解：f(x)=x3+ax(a∈R)，則f′(x)=3x2+a，.....1分

由題意可得f′(1)=3+a=0，即a=?3，.....2分

故f(x)=x3?3x，f′(x)=3x2?3=3(x+1)(x?1)，

故f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞增，在(?1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

故f(x)在x=1處取得極小值，在x=?1處取得極大值，符合題意，.....4分

故a=?3．.....5分設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，(x0≠3)則f′(x0)=y0?mx0?3=x03?3令g(x)=2x3?9x2+9+m，故g′(x)=6x(x?3)，.....10分

則g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)．

當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增;.....11分

當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減;.....12分

當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，.....13分

g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于g(0)>0,g(3)<0,，解得?9<m<18，.....14分

故18.【正確答案】解：(1)由題意，a1，a2，a3成等差數(shù)列，公差為2；

a3，a4，a5成等差數(shù)列，公差為4，

則a2=a1+2=3，a3=a2+2=5，.....1分

a4=a3+4=9，a5=a4+4=13；....2分

(2)由題意，a2k+1?a2k?1=4k，

當(dāng)n=2k?1，k≥2時(shí)，an=a2k?1.....4分

=a1+(a3?a1)+(a5?a3)+?+(a2k?1?a2k?3)

=1+4+8+?+4(k?1)=1+[4+4(k?1)](k?1)2

=2k2?2k+1=(2k?1)2+12=n2+12，.....6分

且a1=1滿足上式，.....7分

所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=n2+12，.....8分

當(dāng)n=2k19.【正確答案】解：(1)X?X={1,2,3,4,6,9,12,18,36}，|X?X|=9．.....3分

(2)一方面，積xi?xi有n個(gè)，

另一方面，積xi?xj(xi≠xj)