2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古興安盟科爾沁右翼前旗高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古興安盟科爾沁右翼前旗高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知軸截面為正三角形的圓錐的體積為，則圓錐的高為（

）A． B． C． D．33．已知，，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．7．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3個小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．已知，，則下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．10．設(shè)l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯誤的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D．若l，m是異面直線，，，且，，則11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分。12．已知為等差數(shù)列的前項和，且，則.13．曲線在點處的切線方程為.14．已知某種科技產(chǎn)品的利潤率為，預(yù)計5年內(nèi)與時間月滿足函數(shù)關(guān)系式其中為非零常數(shù).若經(jīng)過12個月，利潤率為，經(jīng)過24個月，利潤率為，那么當(dāng)利潤率達到以上，至少需要經(jīng)過個月用整數(shù)作答，參考數(shù)據(jù)：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在平面直角坐標(biāo)系中，點在角α的終邊上．(1)求的值；(2)求的值．16．（15分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的圖象在點處的切線方程；(2)若，時，求實數(shù)a的取值范圍.17．（15分）已知數(shù)列滿足：，.(1)若，求證：為等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.18．（17分）已知中，，，設(shè)，記；(1)若，求的值；(2)求函數(shù)的最大值，及相應(yīng)的值.19．（17分）已知定義：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，如果一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間I上的二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的凹函數(shù);二階導(dǎo)函數(shù)，則稱為I上的凸函數(shù).若是區(qū)間I上的凹函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對任意的，有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.已知函數(shù)，.(1)試判斷在為凹函數(shù)還是凸函數(shù)?(2)設(shè)，，，，且，求的最大值;(3)已知，且當(dāng)，都有恒成立，求實數(shù)a的所有可能取值.答案：題號12345678910答案DAABBACABCDABC題號11答案AC一．單選題1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算可得答案.【詳解】若復(fù)數(shù)滿足，則.故選：D.2．A【分析】找到圓錐高和底面半徑的關(guān)系，建立方程求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高為，因為圓錐的體積為，所以，解得，故圓錐的高為，故A正確.故選：A3．A【分析】利用二倍角的余弦公式以及兩角和的正切公式即可得答案.【詳解】.故選：A4．B【分析】根據(jù)給定條件，由向量共線及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】向量，，，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．B【分析】解指數(shù)不等式，得到，由補集和交集的概念得到答案.【詳解】，故，解得，故，故選：B6．A【分析】利用排除法，根據(jù)函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值的符號分析判斷.【詳解】因為的定義域為，且，可知為奇函數(shù)，排除CD；又因為，排除B；故選：A.7．C【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.【詳解】對于A：為奇函數(shù)，但是在上不具有單調(diào)性，故A錯誤；對于B：的定義域為，且，即且，所以為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C：的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，又與在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D：函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C8．A【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算法則逐項判斷即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；又對兩邊求導(dǎo)，得，即，所以是偶函數(shù)，故D錯誤；由，可得，由，可得，所以，即，即得，所以是周期為4的函數(shù)，則，兩邊求導(dǎo)，得，所以是奇函數(shù)，故A正確；由，可得，即，又由，可得，所以，即為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故C錯誤.故選：A.關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是對函數(shù)對稱性及兩邊求導(dǎo)的應(yīng)用.二．多選題9．BCD【分析】采用作差法依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，，，，，，，即，，A錯誤；對于B，，，，，即，，B正確；對于C，，，，，，，即，，C正確；對于D，，，，，，即，，D正確.故選：BCD.10．ABC【分析】ABC可舉出反例；D選項，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進而得到面面平行.【詳解】對于A，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，A錯誤．對于B，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，B錯誤．對于C，沒有說m，n是相交直線，所以不能得到，C錯誤．對于D，因為，設(shè)平面平面，，所以，因為l，m是異面直線，，所以l，a相交，因為，，，所以，因為，，l，a相交，所以，D正確．故選：ABC11．AC【分析】利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化為，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得.【詳解】，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，不可能取到，故B錯誤；由的圖象向左平移個單位長度，得，故C正確；因為，而函數(shù)在上不單調(diào)，故在區(qū)間上不單調(diào)，故D錯誤.故選：AC.三．填空題12．2【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項和公式以及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列的前項和可得，，則，所以.故13．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，代入點斜式方程即可求解.【詳解】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率，所以切線方程為，化簡得.故答案為.14．40【分析】由題意建立方程組，根據(jù)對數(shù)運算，可得答案.【詳解】由題意可得，兩式作比可得，解得，可得，令，解得.故答案為.四．解答題15．（13分）(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正確答案.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.【詳解】（1）由于點在角α的終邊上，所以.（2）.16．（15分）(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得f′x，然后分與討論，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），，，，所以的圖象在點1,f1處的切線方程為，即.（2），則，當(dāng)時，f′x>0，即在0,+當(dāng)時，，與題意不符.當(dāng)時，，f′x>0，在上單調(diào)遞增；，f′x<0，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，取得最大值，且為.由題意可得，解得.即實數(shù)的取值范圍為.17．（15分）(1)證明見解析(2)【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得證；（2）由（1）可得，從而得到，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）因為，所以，即，，又，所以是以為首項，為公比的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，則，所以，所以.18．（17分）(1)(2)當(dāng)時取得最大值，且【分析】（1）依題意可得，再利用正弦定理計算可得；（2）利用正弦定理表示出、，再由數(shù)量積的定義及三角恒等變換公式化簡，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）因為，則，由正弦定理，即，所以，又，所以，所以，所以；（2）由正弦定理有所以，所以，，因為，所以，所以當(dāng)，即時取得最大值，且.19．（17分）(1)凸函數(shù)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)凹凸函數(shù)的定義判斷即可；（2）由（1）知在為凸函數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意即可求解；（3）令，，則問題轉(zhuǎn)化為?x>0在上恒成立，對分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1），，所以，f″x，因為，所以f″x，所以在為凸函數(shù).（2）由（1）知在內(nèi)為凸函數(shù)，又，且（，，，），所以所以（3）令，，則?x>0在上恒成立，則，且，當(dāng)，，不合題意舍去;當(dāng)，則，故，令，則，令，，則，所以在上遞增，所以，所以，即在上遞增，又，則?′x>0，所以?x又，即?x>0，，符合題意;當(dāng)，令，則，，所以，不合題