江西省吉安市遂川縣2023-2024學年九年級上學期期末數學試題

江西省吉安市遂川縣2023-2024學年九年級上學期期末數學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四五六總分評分一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）A．x(x?1)=0 B．ax2?ax=2 C．x2．若點A(m，n)在反比例函數A．m+n=6 B．m?n=6 C．mn=6 D．m3．如圖所示，由三個完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖是（）A． B． C． D．4．已知△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，且斜邊長分別2和4，則兩個三角形的面積比為（）A．1：2 B．1：2 C．5．同時拋擲三枚質地均勻的硬幣，至少有兩枚硬幣正面向上的概率是（）A．38 B．58 C．236．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC和AD邊上，BE=2，AF=6，AE∥CF，則△ABE的面積為（）A．6 B．8 C．12 D．16二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．已知ab=13，則8．一元二次方程x2﹣2x＝0的兩根分別為x1和x2，則x1x2為.9．若正方形ABCD的周長為8，則對角線AC的長為．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，則11．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，AC=2，AD⊥BC垂足為D，DE∥AC，則ED長為．12．如圖，菱形ABCD中，AD=4，∠A=45°，DE⊥AB，垂足為E，點P在菱形的邊上，若DE=DP，則CP的長為．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）解方程：x2（2）如果四條成比例線段線段的長分別為2，3，6，a，求a的值．14．新能源汽車越來越多地進入普通家庭，調查顯示，截止2023年中旬某市新能源汽車擁有量為18.9萬輛．已知2021年中旬該市新能源汽車擁有量約為2.15．如圖是4×6正方形網格，已知格點A，B，請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．（1）在圖1中，以AB為對角線，作一個正方形；（2）在圖2中，取格點C，作∠BAC，使sin∠CAB=216．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于點D，過點D作DE∥AC，交BC于點E．求證：BDAB17．在一個不透明的袋中裝有一個紅球和兩個2個綠球，這些球除顏色外都相同．（1）隨機摸一個球，摸到的是紅球的概率為，摸到的是黃球是事件；（2）小新從袋中隨機摸出一個球，放回后，又再摸出一個球，求摸到一個紅球和一個綠球的概率．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，D為AB的中點，DE⊥BC，垂足為E，DE=2，求EC的長．19．如圖，已知一次函數y=34x+m的圖象與x軸交于點A，與反比例函數y=24x(x>0（1）求m，n的值；（2）求AC的長．20．如圖1是某校操場上的一種漫步機，圖2是其側面結構示意圖，已知主支架AB長為120cm，且與水平地面基架BD的夾角為70°，前支架CD與AB所成的∠DCB=45°，扶手AE長為30cm，∠EAB=135°．（參考數據：cos70°≈0.342，sin70°≈0.940，tan70°≈1.222（1）求∠CDB的度數；（2）求漫步機的高度（點E到BD的距離）．五、（本大題2小題，每小題9分，共18分）21．九年級某班在學習了教材P23頁的數學活動后，某數學小組經討論組織了一次綜合與實踐活動，經歷了如下過程：將大小相同的標準小等邊三角形按如圖所示的方式進行擺放，根據圖形中的規(guī)律，解決如下問題：（1）問題提出在下列三個圖中，標準小等邊三角形的個數分別是：圖1中共有個，圖2中共有個，圖3中共有個；（2）操作發(fā)現按此規(guī)律擺放下去，猜想第四個圖形中，共有標準小等邊三角形的數為個；（3）數學思考按以上規(guī)律擺放下去，是否存在最后兩個圖形標準小等邊三角形的個數總數為265個的情況？如果存在，求最后這個圖形中標準小等邊三角形的個數；如果不存在，說明理由．22．如圖，△ABC中，AC=8，BC=10，CD是⊙O直徑，且平分∠ACB，BC交⊙O于點E，BD是⊙O的切線．（1）求BE的長；（2）求⊙O直徑CD和tan∠ACD的值．六、（本大題共12分）23．某數學小組在一次數學探究活動過程中，經歷了如下過程：問題提出，如圖，正方形ABCD中，P在CD邊上任意一點（不與點C重合），以P為旋轉中心，將PA逆時針旋轉90°，得到PM，連接AM，AM，PM分別交BC于點E，F．（1）操作發(fā)現，當∠DAP=35°時，∠BAE的度數為，∠EFM的度數為．（2）數學思考，連接BM，當P為CD中點時，求證：∠CBM=45°；（3）拓展應用，若AB=4，AF是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，說明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：

A：x(x?1)=0，是一元二次方程，x2-x=0，符合題意

B：ax2?ax=2，a有可能等于0，則是一元一次方程，不符合題意

C：x2?故答案為：A

【分析】根據一元二次方程的定義及一般式ax2+bx+c=0（a≠0）進行判定即可。2．【答案】C【解析】【解答】解：根據題意

反比例函數y=6x的圖象上點的坐標特征是xy=6

點A(m，n)故答案為：C

【分析】根據反比例函數y=kx（k3．【答案】D【解析】【解答】解：從正面看，可以看到兩個正方形，后面的正方形在正面看不到，故畫兩條虛線表示它的存在。故答案為：D

【分析】通過一定的空間想象能力掌握簡單幾何體的三視圖。4．【答案】C【解析】【解答】解：根據題意

△ABC與△DEF都是等腰直角三角形

∴三個內角分別都是90°，45°，45°

∴△ABC~△DEF

∴相似比=故答案為：C

【分析】根據等腰直角三角形的性質可以判定兩三角形必然相似，面積比等于相似比的平方。5．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得，所有的可能性為：∴至少有兩枚硬幣正面向上的概率是：48=1故選D．【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，解題的關鍵是明確題意，寫出所有的可能性．根據題意，通過列樹狀圖的方法可以寫出所有可能性，從而可以得到至少有兩枚硬幣正面向上的概率．6．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示

∵ABCD是正方形

∴AD∥BC，AB=BC

∵AE∥CF

∴AECF是平行四邊形

∴EC=AF=6

∴BC=BE+EC=2+6=8

∴AB=BC=8

故答案為：B【分析】根據正方形的性質可得到判定平行四邊形的條件，由平行四邊形的性質可計算出正方形的邊長，三角形的底和高都已知則面積可求。7．【答案】4【解析】【解答】解：a+bb=ab+1

∵ba=13

∴ab+1=18．【答案】0【解析】【解答】x2－2x＝0a=1，b=-2，c=0，△=b2-4ac=（-2）2-4×1×0=4＞0，x1x2=ca故答案為0.【分析】根據根與系數的關系先證明方程有解，再計算x1x2即可.9．【答案】2【解析】【解答】解：根據題意

正方形的周長是8

則邊長為8÷4=2

對角線AC=故答案為：2

【分析】由正方形周長公式先求邊長，再根據勾股定理求出斜邊AC。10．【答案】10【解析】【解答】解：根據題意

∵sinA=故答案為：10

【分析】根據三角函數正弦函數的定義，正弦值等于對邊比斜邊，對邊已知，斜邊AB可求。11．【答案】3【解析】【解答】解：如圖所示

∵∠BAC=90°，AD⊥BC

∴△ADC~△BAC

∴ACCD=BCAC=42

∴CD=12AC=1故答案為：3

【分析】掌握相似三角形的性質定理并靈活應用求邊長；從已知條件入手，可知圖中的三個直角三角形都是相似的，可由相似三角形的性質定理對應邊成比例求出未知邊。12．【答案】22或4?22【解析】【解答】解：根據題意，菱形ABCD中，

AD=CD=4，∠A=∠C=45°，DE⊥AB

∴DE=AE=AD22=422=22

∴DP=DE=22

當P在CD上時

CP=DC-DP=4-22

當P在BC上時，過P作PH⊥CD于H

∵∠C=45°

設CH=x

∴CH=PH=x,CP=2x，DH=4-x

∴DP2=DH2+PH2即222=4-x2+故答案為：22或4?22

【分析】題中點P在菱形的邊上，并沒有指明哪邊，P點不唯一，故需要分別討論；當P在CD上時，可以根據圖示直接求得；當P在BC上時，根據給定的45°角想到等腰直角三角形的性質，想到求CP要把它放在直角三角形里面來求，故作輔助線得到等腰直角三角形，由勾股定理可求；當P在AB上，則P與E點重合，不符合題意；當P在AD上時，仍然作輔助線找到等腰直角三角形，借助勾股定理解三角形。13．【答案】（1）解：x(x?3∴x?3=0，x?1=0∴解得x1=1，（2）解：∵2，3，6，a成比例，∴23∴a=9．【解析】【分析】（1）掌握解一元二次方程的解法，觀察本題各項系數，可以用十字相乘法分解因式求解比較簡便；

（2）了解成比例線段的含義：同一單位下，四條線段長度為a、b、c、d，其關系為a：b=c：d（或ab14．【答案】解：設2021年底至2023年底該縣汽車擁有量的平均增長率為x，根據題意，得2.解得x1=?4（不符合題意，舍去），答：2021年中旬至2023年中旬該市汽車擁有量的平均增長率為200%．【解析】【分析】典型的一元二次方程解決增長率問題；期初數量×（1+x）n=期末數量，x是平均增長率，n是增長周期數，本題中n=2。15．【答案】（1）解：如圖1，正方形ACBD即為所求；（2）解：如圖2，格點C即為所求；【解析】【分析】（1）根據對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形的判定定理，先找AB的垂直平分線，再確定等長的格點，最后順次連接；

（2）記住特殊角的三角函數值，可知∠CAB=45°，根據正方形對角線的性質，過AB中點O作AB的垂線，垂線上任意一點連接A和O都可以構成直角三角形，再確定與OA等長的OC找到格點C。16．【答案】證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∵DE∥AC，∴∠EDC=∠ACD=∠BCD，△BDE∽△BAC∴BDAB=DE∴BDAB【解析】【分析】從問題入手，看到成比例線段想到先看線段所在的三角形是否相似；已知DE∥AC可直接判定△BDE∽△BAC，根據相似三角形的性質對應邊成比例BDAB=DE17．【答案】（1）13（2）解：列出表格如下：第一次第二次紅綠1綠2紅（紅，紅）（紅，綠1）（紅，綠2）綠1（綠1，紅）（綠1，綠1）（綠1，綠2）綠2（綠2，紅）（綠2，綠1）（綠2，綠2）由表可知，一共有9種情況，摸到一個紅球和一個綠球的有4種情況，∴摸到一個紅球和一個綠球的概率=4【解析】【解答】解：根據題意

隨機摸一個，全部可能的結果是3種

隨機摸一個，摸到紅球的結果是1種

隨摸到的是紅球的概率為1÷3=13

故第一空填：13

只能摸到紅色或者綠色球，不可能摸到黃球

摸到的是黃球是不可能事件

故第二空填：不可能

18．【答案】解：∵∠B=30°，DE=2，DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，BD=2DE=4，DEBE∴BE=23∵D為AB的中點，∴AB=2BD=8．∴cosB=AB即BC=16∴EC=BC?BE=16【解析】【分析】從已知條件入手，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由DE可求BD，根據中點可知AB，則直角三角形ABC的三邊都可知，根據余弦函數可求BE，如圖所示BC-BE即可求出EC的長。19．【答案】（1）解：∵點B(4，n)在函數∴n=6，點B的坐標為(4，∵點B(4，6)在∴m=3（2）解：∵BC⊥x軸，垂足為C，∴OC=4，點C的坐標為(4，當y=34x+3=0∴A點的坐標為(?4，∴AC=4?(?4)=8．【解析】【分析】（1）根據反比例函數圖象上點的坐標特征可求n，將B點坐標代入一次函數解析式可求出m；

（2）如圖可知C點坐標（4，0），當一次函數值為0時對應的x值即A點的橫坐標，同在x軸上，求C與A點橫坐標的差，就得到AC的長。20．【答案】（1）解：在△CDB中，∵∠CBD=70°，∠DCB=45°，∴∠CDB=180°?∠CBD?∠DCB=65°；（2）解：過點A作BD的平行線AF，∵∠ABD=70°，∴∠FAB=110°，∵∠EAB=135°，∴∠EAF=∠EAB?∠FAB=25°，分別過點A，E作AM⊥BD于M，EN⊥AF于N，∵∠EAF=25°，AE=30cm，AB=120cm，∠ABD=70°，∴EN=sin∠EAN?AE=sin25°×30=0.AM=AB?sin70°=120×0.∴漫步機的高度為EN+AM=1.【解析】【分析】（1）將已知條件在圖上標示出來，易由三角形內角和公式求得∠CDB的度數；

（2）漫步機的高度是點E到BD的距離，故先做輔助線表示出高度，可見高分兩段：點E到過A的水平線的距離，可以先求出EA與水平方向的夾角，再由正弦值乘以AE來求；點A到底面BD的距離，可以用70°角的正弦值乘以AB來求，將兩段高相加即可求出漫步機的高度。21．【答案】（1）4；9；16（2）25（3）解：∵圖1中共有4=(1+1)圖2中共有9=(2+1)圖3中共有16=(3+1)圖4中共有25=(4+1)……∴圖n中共有(n+1)2依題意得，(n+1)2∵11∴n+1=11，∴存在，最后這個圖形中標準小等邊三角形的個數為12【解析】【解答】解：（1）如圖所示

圖1中共有標準小等邊三角形4個，4=22

圖2中共有標準小等邊三角形9個.9=32

圖3中共有標準小等邊三角形16個，16=42

故第一空填：4，第二空填：9，第三空填：16

（2）按此規(guī)律猜想第四個圖形中有標準小等邊三角，52=25個，

故第一空填：25

【分析】（1）按照要求數出小等邊三角形的個數，然后看圖找規(guī)律；

（2）按照圖形的規(guī)律預測下一圖有25個，推測小等邊三角形個數與每個圖序數的對應關系；

（3）在前兩問的基礎上，設圖序數為n，推測出小等邊三角形個數是（n+1）2，依據題意可以計算出小等邊三角形的個數總數為265個時對應的n值，進而可求最后這個圖形中標準小等邊三角形的個數。22．【答案】（1）解：連接DE，AD，∵CD是直徑，∴∠DAC=∠DEC=90∵CD平分∠ACB，∴DA=DE，∵CD=CD，∴Rt△DEC≌Rt△DAC(HL)，∴AC=CE=8，∴BE=2．（2）解：∵BD是⊙O的切線，∴∠BDC=90∴△BDE∽△DCE，∴BE∴DE∴DE=AD=4，∴CD∴⊙O的直徑CD=45∴tan∠ACD=AD【解析】【分析】（1）根據直徑所對的角是圓周角定理先作輔助線得到兩個直角三角形，易由已知條件證得它們全等，則AC=EC，進而由BE=BC-EC求得BE的長；

（2）根據切線性質得到直角三角形，有共同銳角的三個直角三角形相似，只需求DE，故證明△BDE∽△DCE即可，根據對應邊成比例的性質可得DE，用勾股定理可求出直徑；在（1）全等的條件下，根據正切函數定義可直接求值。23．【答案】（1）10°；55°（2）證明：過點M作MQ⊥DC交DC延長線于Q，MN⊥BC于N，則∠Q=∠MNC=∠BNB=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC=BC，∠D=∠BCD=90°，則∠D=∠Q=∠BCQ=∠MNC=∠BNB=90°，∠1+∠2=90°，∴四邊形MNCQ為矩形，由旋轉可知：PA=PB，∠APB=90°，則∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴△ADP≌△PQM(AAS)，∴DP=MQ，AD=PQ，∵P為CD的中點，∴PD=PC=12CD=∴四邊形MNCQ為正方形，∴MN=CN=MQ=12AD=∴MN=BN，∴△BMN是等腰直角三角形，∴∠CBM=45°；（3）解：連接AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，由勾股定理可知AF=AB2+BF而BF=BC?CF，則當CF取最大值時，BF有最小值時，即：當CF取最大值時，AF有最小值，設D