二項(xiàng)分布（2）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.4.1二項(xiàng)分布（2）復(fù)習(xí)引入獨(dú)立地重復(fù)4.二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作

.注意點(diǎn)：(1)由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)分布的所有概率和為1.(2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：兩點(diǎn)分布是只進(jìn)行一次的二項(xiàng)分布.X～B(n，p)0

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678910例題例1：如圖7.4-2是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘,小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入,小球下落的過(guò)程中,每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子從左到右分別編號(hào)為0,1,2,…,10.用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼,求X的分布列.分析：小球落入哪個(gè)格子取決于在下落過(guò)程中與各小木釘碰撞的結(jié)果,設(shè)試驗(yàn)為觀察小球碰到小木釘后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”兩種可能結(jié)果,且概率都是0.5.在下落的過(guò)程中,小球共碰撞小木釘10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響,因此這是一個(gè)10重伯努利試驗(yàn),小球最后落入格子的號(hào)碼等于向右落下的次數(shù),因此X服從二項(xiàng)分布.課本74頁(yè)而小球在下落的過(guò)程中共碰撞小木釘10次,所以X~B(10,0.5).于是,X的分布列為因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù),解：設(shè)A=“向右下落”,則=“向左下落”,且P(A)=P()=0.5.X的概率分布圖如右圖所示：練習(xí)例題例2：甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽,如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？分析:判斷哪個(gè)賽制對(duì)甲有利,就是看在哪個(gè)賽制中甲最終獲勝的概率大,可以把“甲最終獲勝”這個(gè)事件,按可能的比分情況表示為若干事件的和,再利用各局比賽結(jié)果的獨(dú)立性逐個(gè)求概率;也可以假定賽完所有n局,把n局比賽看成n重伯努利試驗(yàn),利用二項(xiàng)分布求“甲最終獲勝”的概率.課本75頁(yè)解法1：采用3局2勝制,甲最終獲勝有兩種可能的比分2:0或2:1,前者是前兩局甲連勝,后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的,甲最終獲勝的概率為=0.648.類似地,采用5局3勝制,甲最終獲勝有3種比分3:0或3:1或3:2.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的,甲最終獲勝的概率為因?yàn)閜2>p1,所以采用5局3勝制對(duì)甲更有利.p1=0.62+[×0.61×(1-0.6)1]×0.6=0.62+×0.62×0.4p2=0.63+×0.63×0.4+×0.63×0.42=0.68256.例2：甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽,如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？課本75頁(yè)例2：甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽,如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？=0.68256.p2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)采用5局3勝制,不妨設(shè)賽滿5局,用X表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù),則X~B(5,0.6).甲最終獲勝的概率為因?yàn)閜2>p1,所以采用5局3勝制對(duì)甲更有利.實(shí)際上,比賽局?jǐn)?shù)越多,對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.解法2：采用3局2勝制,不妨設(shè)賽滿3局,用X表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù),則X~B(3,0.6).甲最終獲勝的概率為=0.648.p1=P(X=2)+P(X=3)=×0.62×0.4+×0.63=×0.63×0.42+×0.64×0.41+×0.65課本75頁(yè)采用3局2勝制賽滿3局時(shí)，若前2局獲勝，那第3局的勝負(fù)并不影響甲獲勝；同樣，采用5局3勝制賽滿5局，若前3局獲勝，那后2局的勝負(fù)并不影響甲獲勝，若前4局勝3局，那第5局的勝負(fù)也不影響甲獲勝.所以賽滿3局或5局，均不會(huì)影響甲最終獲勝的概率.思考：為什么假定賽滿3局或5局，不影響甲最終獲勝的概率?一般地，確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下:

(1)明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p；

(2)確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；

(3)設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(n,p).反思?xì)w納131.判斷下列表述正確與否,并說(shuō)明理由:解:(1)正確.每道題猜對(duì)答案與否是獨(dú)立的，且每道題猜對(duì)答案的概率為0.25，故猜對(duì)答案的題目數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X~B(12,0.25).(1)12道四選一的單選題,隨機(jī)猜結(jié)果,猜對(duì)答案的題目數(shù)X~B(12,0.25);(2)錯(cuò)誤.每次抽到次品的概率為0.1，但由于是不放回抽樣，所以每次是否抽到次品不獨(dú)立，不滿足二項(xiàng)分布的條件.(2)100件產(chǎn)品中包含10件次品,不放回地隨機(jī)抽取6件,其中次品數(shù)Y~B(6,0.1).課本P77練習(xí)探究:

假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么?我們知道，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有100×0.5＝50次正面朝上.(1)當(dāng)n＝1時(shí),X服從兩點(diǎn)分布,X分布列為P(X＝0)＝1－p,P(X＝1)＝p,則有E(X)＝0×(1－p)+1×p＝p，D(X)＝02×(1－p)+12×p－p2＝p(1－p).根據(jù)均值的含義，對(duì)于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X,我們猜想E(X)＝np.

探究：二項(xiàng)分布的均值與方差(2)當(dāng)n＝2時(shí),X分布列為P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2，則有E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).二項(xiàng)分布的均值與方差：下面對(duì)均值進(jìn)行證明：證明：歸納總結(jié)181.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次,X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù).(1)求X的分布列;(2)E(X)=___,D(X)=___.解：練習(xí)課本P76192.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為X，則D(X)等于（

）20隨堂檢測(cè)5.將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球自由下落，在下落的過(guò)程中，小球?qū)⒂龅胶谏系K物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率分別是.(1)分別求出小球落入A袋和B袋中的概率；解：設(shè)M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，(2)在容器的入口處依次放入4個(gè)小球，記ξ為落入B袋中的小球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列、均值和方差.則ξ的分布列為26課堂