第09講勾股定理逆定理及簡單應(yīng)用-【暑假自學(xué)課】2022年新八年級數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第09講勾股定理逆定理及簡單應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【基礎(chǔ)知識】一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．二．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【考點(diǎn)剖析】一．勾股定理的逆定理（共7小題）1．（2021秋?邗江區(qū)期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，則（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能確定2．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）下列四組數(shù)，可作為直角三角形三邊長的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm3．（2021秋?沛縣期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)．判斷△ABC的形狀，并說明理由．4．（2021秋?惠山區(qū)校級期末）以下列各組數(shù)為邊長的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、65．（2022春?姜堰區(qū)期中）如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為“格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這5個(gè)格點(diǎn)中的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，共可以畫個(gè)直角三角形．6．（2022春?泗陽縣期中）如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中線，則△ABD的周長比△ACD的周長大cm．7．（2022春?高港區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求△ABD的面積．二．勾股數(shù)（共3小題）8．（2021秋?溧陽市期末）在下列各數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，419．（2021秋?靖江市期中）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；10．（2022春?清江浦區(qū)校級期中）勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，早在我國西漢時(shí)期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n為正整數(shù)，且m＞n．（1）觀察表格，當(dāng)m＝2，n＝1時(shí)，此時(shí)對應(yīng)的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長？說明你的理由．（2）探究a，b，c與m、n之間的關(guān)系并用含m、n的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝．（3）以a，b，c為邊長的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例．三．勾股定理的應(yīng)用（共6小題）11．（2021秋?沛縣期末）如圖，將長為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動(dòng)2m，則梯子底端B向左滑動(dòng)m．12．（2021秋?句容市期末）有5cm，13cm兩根木條，現(xiàn)想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長度適合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm13．（2022春?啟東市期中）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此綠地ABCD的面積．14．（2021秋?蘇州期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的長度與點(diǎn)A到點(diǎn)E的距離相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的長度．15．（2022春?東湖區(qū)期中）如圖，貨船和快艇分別從碼頭A同時(shí)出發(fā)．其中，貨船沿著北偏西54°方向以15海里/小時(shí)的速度勻速航行，快艇沿著北偏東36°方向以36海里/小時(shí)的速度航行．1小時(shí)后，兩船分別到達(dá)B、C點(diǎn)，求B、C兩點(diǎn)之間的距離．16．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，長為16cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升6cm至D點(diǎn)，則橡皮筋被拉長了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【過關(guān)檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2021秋?梁溪區(qū)校級期末）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，132．（2022春?啟東市校級月考）下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，13．（2021秋?錫山區(qū)期末）如圖，已知釣魚竿AC的長為10m，露在水面上的魚線BC長為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC'的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B'C'為8m，則BB'的長為（）A．1m B．2m C．3m D．4m4．（2021秋?溧陽市期中）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米5．（2021秋?贛榆區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.556．（2021秋?六合區(qū)期中）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．則水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺二．填空題（共9小題）7．（2021秋?儀征市期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，則△ABD的面積是．8．（2021秋?無錫期末）若三角形的邊長分別為6、8、10，則它的最長邊上的中線為．9．（2021秋?惠山區(qū)校級期末）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何．譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時(shí)而繩索用盡．則木柱長為尺．10．（2021秋?海門市期末）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，則折斷處離地面的高度是尺．（這是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題其中的丈、尺是長度單位，1丈＝10尺．）11．（2021秋?泗縣期末）在一棵樹的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米．12．（2021秋?溧陽市期末）已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的中線AD＝3，則AC＝．13．（2021秋?靖江市期末）一個(gè)三角形兩條邊長為3和4，當(dāng)?shù)谌龡l邊長為時(shí)，此三角形為直角三角形．14．（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．15．（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為米．三．解答題（共9小題）16．（2021秋?大豐區(qū)期末）如圖，一個(gè)直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時(shí)（木棍底端不動(dòng)），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．17．（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經(jīng)測得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離．（2）求這張紙片的面積．18．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，某人從點(diǎn)A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C離欲到達(dá)點(diǎn)B有45m，已知他在水中實(shí)際劃了75m，求該河流的寬度AB．19．（2021秋?姜堰區(qū)期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AC上一點(diǎn)，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判斷△BCD的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長．20．（2021秋?蘇州期末）如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF是△ABD的中線，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求DF的長．21．（2022春?長沙期中）如圖，已知點(diǎn)C是線段BD上一點(diǎn)，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的長；（2）求證：∠ACE＝90°．22．（2021秋?儀征市期末）小東和小明要測量校園里的一塊四邊形場地ABCD（如圖所示）的周長，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測量其長度．小東經(jīng)測量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明說根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出四邊形ABCD的周長．你同意小明的說法嗎？若同意，請求出四