第03講 軸對(duì)稱圖形的概念、性質(zhì)、設(shè)計(jì)-【暑假自學(xué)課】2022年新八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假課（蘇科版）

第03講軸對(duì)稱圖形的概念、性質(zhì)、設(shè)計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形，探索軸對(duì)稱的基本性質(zhì)?！净A(chǔ)知識(shí)】一．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（1）軸對(duì)稱的概念：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱軸對(duì)稱；這條直線叫做對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱包含兩層含義：①有兩個(gè)圖形，且這兩個(gè)圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；②對(duì)重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對(duì)折后能夠重合．二．軸對(duì)稱的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸．（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．三．軸對(duì)稱圖形（1）軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱．（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無(wú)數(shù)條．（3）常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．四．鏡面對(duì)稱1、鏡面對(duì)稱：有時(shí)我們把軸對(duì)稱也稱為鏡面（鏡子、鏡像）對(duì)稱，如果沿著圖形的對(duì)稱軸上放一面鏡子，那么在鏡子里所放映出來(lái)的一半正好把圖補(bǔ)成完整的（和原來(lái)的圖形一樣）．2、鏡面實(shí)質(zhì)上是無(wú)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡面上有每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱軸．3、關(guān)于鏡面問(wèn)題動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是最好的辦法，如手頭沒(méi)有鏡面，可以寫(xiě)在透明紙上，從反面看到的結(jié)果就是鏡面反射的結(jié)果．五．作圖-軸對(duì)稱變換幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn)；③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形．六．利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案關(guān)鍵是要熟悉軸對(duì)稱的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的作圖方法來(lái)作圖，通過(guò)變換對(duì)稱軸來(lái)得到不同的圖案．七．剪紙問(wèn)題一張紙經(jīng)過(guò)折和剪的過(guò)程，會(huì)形成一個(gè)軸對(duì)稱圖案．解決這類(lèi)問(wèn)題要熟知軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的找到對(duì)稱軸．一般方法是動(dòng)手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開(kāi)即可得到正確的圖案．八．翻折變換（折疊問(wèn)題）1、翻折變換（折疊問(wèn)題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．【考點(diǎn)剖析】一．生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象（共3小題）1．（2020秋?句容市期中）如圖，桌面上有M、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個(gè)點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的是點(diǎn)．2．（2020秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，CDEF是一個(gè)長(zhǎng)方形的臺(tái)球面，有A、B兩球分別位于圖中所在位置，試問(wèn)怎樣撞擊球A，才能使A先碰到臺(tái)邊FC反彈后再擊中球B？在圖中畫(huà)出A球的運(yùn)動(dòng)線路．3．（2021秋?常州期中）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N二．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共3小題）4．（2022?新華區(qū)模擬）如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，請(qǐng)你找出格紙中所有與△ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)5．（2021秋?高郵市期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，P為這兩條直線外一點(diǎn)，連接OP．點(diǎn)P關(guān)于直線AB、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1、P2．若OP＝4，則點(diǎn)P1、P2之間的距離可能是（）A．0 B．7 C．9 D．106．（2021春?鳳翔縣期末）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于直線MN對(duì)稱．（1）線段AD的對(duì)稱線段是，CD＝，∠CBA＝，∠ADC＝．（2）AE與BF平行嗎？為什么？（3）若AE與BF平行，則能說(shuō)明軸對(duì)稱圖形中對(duì)稱點(diǎn)的連線一定互相平行嗎？三．軸對(duì)稱圖形（共4小題）7．（2022?羅湖區(qū)校級(jí)一模）下列圖形中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．8．（2021秋?鹽都區(qū)月考）如圖，在網(wǎng)格中與△ABC成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形一共有個(gè)．9．（2021秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）四個(gè)圖形分別是正三角形、等腰梯形、長(zhǎng)方形、正五邊形，它們?nèi)渴禽S對(duì)稱圖形，其中對(duì)稱軸的條數(shù)最少的圖形是．10．（2019春?滕州市期末）在下列各圖中分別補(bǔ)一個(gè)小正方形，使其成為不同的軸對(duì)稱圖形．四．鏡面對(duì)稱（共2小題）11．（2021秋?五常市期末）在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是．12．（2021秋?興化市月考）從汽車(chē)后視鏡中看見(jiàn)某車(chē)牌后5位號(hào)碼是，該號(hào)碼實(shí)際是．五．作圖-軸對(duì)稱變換（共2小題）13．（2021秋?丹徒區(qū)月考）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．已知點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上，（網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫做格點(diǎn)）且它們的坐標(biāo)分別是A（2，﹣4）、B（3，﹣1）．（1）點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣2），將△ABC先沿y軸向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，再沿y軸翻折得到△A1B1C1，畫(huà)出△A1B1C1，B1點(diǎn)的坐標(biāo)是；（3）△A1B1C1的面積為；（4）在現(xiàn)有的網(wǎng)格中，到點(diǎn)B1距離為10的格點(diǎn)的坐標(biāo)是．14．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺與圓規(guī)在AB上作一點(diǎn)D，使得點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E恰好落在AC邊上（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，連接CD、DE，①求△ADE與△BCD的面積之比；②求BD的長(zhǎng)．六．利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案（共4小題）15．（2020?嵐山區(qū)模擬）如圖1所示的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，且每個(gè)角都是直角，長(zhǎng)度如圖所示．小明按如圖2所示的方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用10個(gè)這樣的圖形拼出來(lái)的圖形的總長(zhǎng)度是（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）．16．（2019秋?浦東新區(qū)期末）如圖，在網(wǎng)格圖中選擇一個(gè)格子涂陰影，使得整個(gè)圖形是以虛線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，則把陰影涂在圖中標(biāo)有數(shù)字的格子內(nèi)．17．（2021秋?吳江區(qū)月考）如圖，是4×4的正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了陰影，請(qǐng)你從其余的13個(gè)白色的小方格中選出一個(gè)也涂成陰影，使整個(gè)涂成陰影的圖形成為軸對(duì)稱圖形．請(qǐng)用三種方法在圖中補(bǔ)全圖形，并畫(huà)出它們各自的對(duì)稱軸．（所畫(huà)的三個(gè)圖形不能全等）18．（2021?奉化區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在2×2的正方形格紙中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中△ABC是一個(gè)格點(diǎn)三角形．請(qǐng)?jiān)谙旅婷恳粋€(gè)圖中，作出一個(gè)與△ABC成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形．（畫(huà)三個(gè)，不能重復(fù)）七．剪紙問(wèn)題（共2小題）19．（2021秋?興城市期中）如圖所示，把一個(gè)正方形三次對(duì)折后沿虛線剪下，則所得圖形是（）A． B． C． D．20．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝50°，按圖中虛線將∠C剪去后，∠1+∠2等于°．八．翻折變換（折疊問(wèn)題）（共3小題）21．（2021秋?宜興市期末）將一張紙如圖所示折疊后壓平，點(diǎn)F在線段BC上，EF、GF為兩條折痕，若∠EFG＝α，則∠B'FC'的度數(shù)是（）A．α﹣45° B．2α﹣90° C．90°﹣α D．180°﹣2α22．（2022春?阜寧縣校級(jí)月考）如圖，E，F(xiàn)分別四邊形ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，連接E，F(xiàn)，將四邊形ABCD沿直線EF折疊．若點(diǎn)A，B都落在四邊形ABCD的內(nèi)部，記∠C+∠D＝α，則∠1+∠2＝．23．（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖的三角形紙板中，沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊的點(diǎn)E處，折痕為BD．（1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周長(zhǎng)；（2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度數(shù)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2018·江蘇八年級(jí)月考）下列圖形中對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（）A．等邊三角形 B．正方形 C．等腰三角形 D．等腰梯形2．（2019·蘇州市吳江區(qū)青云中學(xué)）下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2020·江蘇省江陰市第一中學(xué)八年級(jí)月考）給出下列5個(gè)圖形：線段、等邊三角形、角、平行四邊形、正五邊形，其中，一定是軸對(duì)稱圖形的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（2020·揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，已有兩個(gè)小正方形被涂黑，如果再將圖中的一個(gè)小正方形涂黑，所得圖案是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，則涂黑的小正方形的標(biāo)號(hào)不可能是（）A．1 B．2 C．4 D．65．（2020·江蘇八年級(jí)期中）如圖是4×4的正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，與原來(lái)3個(gè)黑色方格組成的圖形成為軸對(duì)稱圖形，則符合要求的白色小正方格有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2020·江蘇昭陽(yáng)湖初中八年級(jí)期中）如圖，在的正方形格紙中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中是一個(gè)格點(diǎn)三角形，在這個(gè)的正方形格紙中，與成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形最多有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)7．（2019·江蘇）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，且∠A=78°，∠C′=48°，則∠B的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．64° D．78°8．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，已將圖中的三個(gè)小正方形涂上陰影，若再將圖中其余小正方形任選一個(gè)也涂上陰影，使得整個(gè)陰影部分是軸對(duì)稱圖形，那么符合條件的小正方形共有（）A． B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)9．（2019·江蘇八年級(jí)月考）如圖，直線是一條河，、是兩個(gè)新農(nóng)村定居點(diǎn)．欲在上的某點(diǎn)處修建一個(gè)水泵站，直接向、兩地供水．現(xiàn)有如下四種管道鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的供水管道，則鋪設(shè)管道最短的方案是（）A． B．C． D．二、填空題10．（2019·南師附中樹(shù)人學(xué)校八年級(jí)月考）在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與軸平行，與關(guān)于線對(duì)稱．（1）圖中格點(diǎn)的面積為_(kāi)_____．（2）畫(huà)出，并寫(xiě)出的頂點(diǎn)的坐標(biāo)：______．（3）觀察圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，寫(xiě)出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)：______．11．（2021·江蘇南京·八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______．12．（2020·江蘇八年級(jí)月考）一輛汽車(chē)的牌照在車(chē)下方水坑中的像是，則這輛汽車(chē)的牌照號(hào)碼應(yīng)為_(kāi)____．13．（2020·無(wú)錫市甘露學(xué)校（待刪除）八年級(jí)月考）下列圖形中：①線段；②正方形；③圓；④等腰梯形；⑤平行四邊形．是軸對(duì)稱圖形的有______________個(gè)．14．（2020·江蘇八年級(jí)月考）黑體漢字中的“中”“田”“日”等都是軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)至少再寫(xiě)出三個(gè)具有這種特征的漢字：_____．15．（2020·江蘇宿遷·）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，已有兩個(gè)小正方形被涂黑．再將圖中其余小正方形任意涂黑一個(gè)，使整個(gè)圖案構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的方法有________種．16．（2020·無(wú)錫市大橋?qū)嶒?yàn)學(xué)校）如圖，是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有4個(gè)小方格涂成了黑色，現(xiàn)在要從其余白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)黑色部分圖形構(gòu)成軸對(duì)稱圖形，這樣的白色小方格有___種選擇．17．（2020·江蘇東絳實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）在“線段、角、三角形、圓”這四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱圖形的有______個(gè)．18．（2020·南京市溧水區(qū)和鳳初級(jí)中學(xué)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，分別將①②③④四個(gè)網(wǎng)格涂上陰影，能與原陰影部分構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的有____________．（填網(wǎng)格序號(hào)）三、解答題19．（2021·江蘇八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．（1）作△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)．20．（2020·蘇州市吳江區(qū)青云實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)．（1）作關(guān)于直線