大學物理習題及綜合練習答案詳解

磁感應(yīng)強度

9-1如圖9-1所示，一條無窮長載流20A的直導線在P點被撲成120°的鈍角，設(shè)d=2cm,求尸點的磁感

應(yīng)強度。

解：P點在。4延長線上，所以。4上的電流在P的磁感應(yīng)強度為零。

作08的垂線PQ,NOPQ=30。，OB上電流在P點的磁感應(yīng)強度大小

B=(sin0,一sin尸J=—"——(sin-+sin30°)

2

44PQ?47rdeos30。2圖9“

4"*")_X(1+—)=1.73x1()-'Wb/m2,方向垂直于紙面對外。

2

4^x0.02x—

2

9-2半徑為R的圓弧形導線與始終導線組成回路，回路中通有電流/,如圖9-2所示，求弧心。點的磁感應(yīng)

強度（圖中（P為已知量）。

解：?.?圓環(huán)電流在圓心處的磁場B=^~

2R

圓弧A8C在。處的磁場8=包（二二2）方向垂直紙面對里

2R27r

又直線電流的磁場8&（sin仇一sin/）,.?.直線A8在。處的磁場

4萬。

Bi=匈"[sin--sin(--)]=———-----2sin—=囤-吆—方向垂直紙面對里

2247RcosZ22/R2

2

弧心o處的磁場B=BI+B>=—（2乃一°+2次?）

'4兀R2

9-3兩根長直導線沿半徑方向引到鐵環(huán)上A、8兩點，并與很遠的電源相連。如圖9-3所示，求環(huán)中心的磁

感應(yīng)強度。

解：設(shè)鐵環(huán)被A、4兩點分成兩圓弧的弧長分別為八、/2,電阻分別為R、

由圖知R與&并聯(lián)，「?4=&=上

即hh=hl2

hR/i

二.人在。點的磁感應(yīng)強度

KDi=-"--o--h------/1--=--"--o--/-力--方向垂直于紙面對外

2R2兀R47rR?

二.八在。點的磁感應(yīng)強度

_」

o,2h_"ohl?方向垂直于紙面對內(nèi)

2-2R而一4兀片

即瓦、月2大小相等，方向相反。，反）=及十月2二。

9-4一半徑為R的薄圓盤，其中半徑為/?的陰影部分勻整帶正電，面電荷密度為+6其余部分勻整帶負電,

面電荷密度為5（見圖9Y）,設(shè)此盤以角速度為出繞其軸線勻速轉(zhuǎn)動時，圓盤中心0處的磁感應(yīng)強度

為零，問R和/?有什么關(guān)系？并求該系統(tǒng)的磁矩。

解：（1）取半徑為/、寬為dr'的圓環(huán)面元，所帶電量dg=bds=b?2〃'd/

產(chǎn)生的電流d/=—

2萬

.>-----b?2m'd/1f

.du二.'d/=21=

-2/-2/2

/</?的部分產(chǎn)生的磁場

B+=]dB=[以絲d/=必絲方向水平向右

o22

〃</</?的部分產(chǎn)生的磁場

B一二Jd8=Jd/=（R_廠）方向水平向左

由題意B）=8+-艮=。即歿竺（2-H）=0,/.R=2r

1

(2)d/的磁距大小dP,n=乃rdi=(o(J7tdr'

r|

尸〈〃部分乙+=co（J7i\r*dr'=-/方向水平向右

o4

r<r<R部分p,?_=€tXT7i\/dr，=-①0兀出"一一）方向水平向左

r4

1i]7

「?P,n=P-P-=-34（2r4-/?4）=~（OU7l{-RA-R4）=---a）o兀R4方向水平向左

m+m44832

9-5氫原子處在正常態(tài)（基態(tài)）時，它的電子可看作是在半徑為4=0.53X10，cm的軌道（稱為玻爾軌道）

上作勻速圓周運動，若電子在軌道中心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為I2.5T,求（1）電子運動的速度大

??？（2）該系統(tǒng)的磁矩。（電子的電荷電量e=1.6X10it）。

解：（1）作勻速圓周運動的電子，形成電流的電流強度為/=￡=e.—二

Z27m

/在軌道中心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B==

2〃^71ci-

44/44x3.14x(0.53x1o-,o)2x12.5

/.v=2.2x](fmJ

-7

4/4x3.14xioxl.6x]o"9

eva1.6x1Q-19x2.2x]x().53x1o-10

242

=9.33xi0-Am

⑵2S=詬?…22

修通知

9-6已知一勻整磁場的磁感應(yīng)強度4=2T,方向沿x軸正方向，如圖9-6所示，已知〃〃=cd=4Ocm,hc=

ad=ef=30cm,be=cf=30cmo求：（1）通過圖中岫cd面的磁通量；（2）通過圖中〃呼面的磁通量；

（3）通過圖中。曲面的磁通量。

解：（1）月垂直穿過平面必必

..外=瓦%=-BSahld=-2x0.4x0.3=-0.24Wb

負號表示月線穿入該面

（2）B平行于平面befc,：.中相2=反限化=BScos90°=0

圖9-6

（3）穿入平面時〃的磁力線數(shù)與穿出?；?平面的磁力線數(shù)相同

<p=-0nil=0.24Wb

9-7兩平行長直導線相距d=40cm,每根導線載有等量同向電流/,如圖9-7所示。求：（I）兩導線所在平

面內(nèi)，與左導線相距x（x在兩導線之間）的一點P處的磁感應(yīng)強度。（2）若/=20A,通過圖中斜線所

示面積的磁通量（/*i=r3=10cm,/=25cm）。

解：建立如圖所示的坐標系

（1）左導線在P點的磁感應(yīng)強度8=包，方向垂直紙面對下

2G

右導線在一點的磁感應(yīng)強度B2=————，方向垂直紙面對下

2膜d-x）

/.6方向垂直紙面對下圖9-7

2乃xd-x

（2）在x處取寬為Qi的面元dS=/心設(shè)方向垂直紙面對下，其上磁通量

心"-嘿分￡）'

=(Bd5=f^(-+—!—)-/dx=2.2xlO-6Wb

JJxd—x

安培環(huán)路定律

9-8如圖9-8所示的導體圓管，內(nèi)、外半徑分別為。和江導體內(nèi)載有電流/，設(shè)電流/勻整分布在導體圓

管的橫截面上，求：（1）磁感應(yīng)強度的分布；（2）通過每米導體圓管S平面內(nèi)（陰影部分）的磁感應(yīng)

通量。

解：（1）作半徑為八圓心在軸線上的圓為積分回路，由安培環(huán)路定律

r<a：￡di=B\,2w=0,/.月］=0

圖9-8

a<r<b：&.2乃r=，、乃(——cJ)

...&二〃o?尸一,方向與/滿足右手螺旋法則

27r廠彷-a~）

r>b：B、.2「=氏1，：.方向與/滿足右手螺旋法則

7r27r

(2)取面無dS=/dr=d/-

4。/廣--4“=見_|n2

2冗("J)Lr4乃2乃彷2-7)a

9-9在半徑為R的無限長圓柱形導體內(nèi)部挖去一半徑為/"的無限長圓柱體，兩柱體的軸線平行，相距為d,

如圖9-9所示。該導體中通有電流/,且/勻整分布在橫截面上。求：（1）圓柱導體軸線上的磁感應(yīng)強

度；（2）空心部分軸線上的磁感應(yīng)強度。

解：填補法。設(shè)在半徑為r的空間中通有等量而反向的電流，其電流密度與導體中相同

（1）圓柱導體軸線的磁場由半徑為r的無限K圓柱體中電流產(chǎn)生

rILL.Ir2

d%(R~一廠)2成(R--廣)

（2）空心部分軸線上的磁場由半徑為R的無限長圓柱體中電流產(chǎn)生

/-jLiId

T區(qū)T=&-2就?而下B'/Rn不

9J0如圖9-10所示，兩無窮大平行平面上都有勻整分布的面電流，面電流密度分別為彳和?2,兩電流密度

方向平行。求：（1）兩面之間的磁感應(yīng)強度；（2）兩面之外空間的磁感應(yīng)強度。

解：無窮大板的磁感應(yīng)強度大小B二空,建立如圖所示坐標系

2

（I）兩板之間，反=怨祗，品=-凈X

=

「?月=A+月2~'（i\~i2）ex

圖9-10

(2)在右板之外時,Bi~^~^ex?Bi~~~ex^「?、=A+岳=+辦)備

在左板之外時,B\=^ex?月2=-祗，，耳=A+與2=-3（，1+，2）乙

9-11如圖9-11所示，一勻整密繞的環(huán)形螺線管，匝數(shù)M通有電流/,橫截面為矩形，圓環(huán)內(nèi)、外半徑分

別為凡和以。求：（1）環(huán)形螺線管內(nèi)外的磁場分布：（2）環(huán)形螺線管橫截面的磁通量。

解：（1）磁場分布為以環(huán)軸為圓心的一圈圈圓。取一月線為積分回路，方向與月相同。

由安培環(huán)路定律，環(huán)管內(nèi)磁場滿足

、自dl=B-2m=,得B=H^L

?J2勿?

環(huán)管外有R2討=0即B=0

（2）在橫截面上取一寬度為由?的長條面元，磁通量為

--…cU.N1,,“仍下dr4、NIb,R、

d①5=B-dS=B(iS=----?/?dr?/.O=-------=-----In——

2療271Lr2萬凡

磁場對電流的作用（安培力）

9-12半徑為R的平面圓形線圈中載有自流I,若線圈置于一個勻整磁場月中，勻整磁場方向與線圈平面

垂直，如圖9-12,則（1）線圈上單位長度的電流元所受傲場力為多少？（2）左半圓受力如何？（3）

整個圓形線圈又如何？

解：（1）任取一電流元也/,所受磁場力dF=IdlxB

大小dF=IBdl方向指向圓心

（2）由對稱性可知，左半圓受力方向水平向右

5

/左二Jd/cosa=JIB-Rda-coscr=alBR

圖9-12

（3）右半圓受力水平向左，大小與左半圓相同，所以整人圓形線圈受力為零。

9-13半徑為R的平面圓形線圈中載有自流/,?載流/'的無限長直導線通過圓形線圈的圓心放置，并和圓

形線圈共面（相互絕緣），如圖9-13所示，則圓形線圈左半圓所受磁力如何？整個圓形線圈所受磁力

又如何？

解：（1）如圖在左半圓上任取一電流元〃/,受力大小

dF=IBdl=1.—亞——Rda=^--^-

2/rRcosa2兀coscr

由對稱性可知，左半圓受磁場力方向水平向左

口左=JdFcosa

2乃k2

（2）右半圓受磁力方向水平向左，且與尸左相等，.?./=2/左=4?！?

9-14一無限長薄金屬板，寬為“，通有電流小其旁有一矩形線圈八BC。，通有電流4線羽與金屬板共

面，如圖9-14所示。求：（1）人在A8和C。處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度；（2）薄金屬板對A8和邊的作

用力。

解：建立如圖所示坐標系

（I）在金屬板上x處取一寬為心的面長條，其中電流

diJdx

a

di在AB處的磁感應(yīng)強度大小

dBAB=—"—方向垂直紙面對下

27r（a+b-x）

圖9-14

金屬板上全部面長條在AB處產(chǎn)生的磁場方向相同

方向垂直紙面對下

L7iaoa+b—x2兀ab

同理可得BcD=—^a+b+C方向垂直紙面對下

2不〃b+c

,八r...〃o//2i。+人....Cl+b-

⑵—in——10—,

同理小。二地衛(wèi)M”比j

271clb+c

磁力矩

9-15在垂直于通有電流/i的長直導線平面內(nèi)有一扇形載流線圈。機H半徑分別為R和對長直導線張

角為a,線圈中通有電流打，如圖所示。求：（1）線圈各邊所受的力：（2）線圈所受的力矩。

解：（1）友,和疝上電流元方向與8同向=pda=0

在ab上距//為「處取電流元///,受力dF=l/l義B

IdLB,:.dF=Ml.B=^^dr,方向垂直于紙面對外

21r

kohl吟小_A（）/i/2lnR2

FL\dF2乃1r2乃R

同理立w二幺4匹hi&,方向垂直于紙面對內(nèi)

2乃Ri

（2）在距。為,?處取一寬為dr的面扇形，由扇形面積S=—r2OC

2

/.dS=arclr

磁矩為dPm=l/S=Iardr方向垂直于紙面對下

磁力矩大小為dM=dp,”B=i以汨，??岫dr

271r2乃

.M=,dr」*'（RLRJ方向向右

2兀Rl2萬

9-16如圖9-16所示.一矩形載流線圈由2（）匝相互絕緣的細導線繞成，可繞y軸轉(zhuǎn)動，線圈中載有電流/

=0.10A,放在磁感應(yīng)強度8=0.50T的勻整磁場中，月的方向平行于x軸，求維持線圈在圖示位置

時的力矩。

解：矩形截流平面線圈的磁矩大小為Pm=NIS,所受磁力矩大小為

M=兒?。=NISB3

8sinsin60°=20x0.lx0.lx0.05x0.5x~2=4.3xio(N-m)

方向沿y負向

.?.維持線圈在圖示位置所需力矩加外=4.3x]0-3/（N.m）

圖9/6

9-17一半徑為R的帶電薄圓盤，電荷面密度為。，放在勻整磁場月中，月的方向與盤面平行，如圖9-17

所示。若圓盤繞其軸線以角速度⑦轉(zhuǎn)動，試求：（1）圓盤的磁矩：（2）場作用于圓盤的磁力矩。

解：（1）取半徑為r,寬為力,的圓環(huán)，電量dq=c27rrdr

轉(zhuǎn)動形成電流di=—dq=coordr

2式

其磁距dp,”=/rjdl=7ra）bpdr

圖9-17

pm=Jdp,”=z兀（DOR，，方向沿軸線向」：

（2）p,“所受磁力矩大小dM=\dpmxB=dp,?-B=n（ooBrdr方向垂直紙面對里

RI

M=fdM=JTvcoaBrdr=-兀①bR'B方向垂直紙面對里

o4

磁場對?運動電荷的作用

9-18兩個正的點電荷力相距為止并排平行運動，速度為九求它們之間的相互作用力，這個力是斥力還

是吸引力？

解：如圖所示，上電荷q在下電荷q處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為B=比?，方向垂直紙面對里

4乃d’

下電荷受磁力大小￡,=僅3=為空二方向指向上電荷q,即相互吸引

4血“

下電荷受電場力大小小而方向背向上電荷卬即相互排斥

竺=」--1=二〉1,相互排斥。

FH￡。以。VV

9J9一電子的動能為10eV,在垂直于勻整磁場的平面內(nèi)作圓周運動。巳知磁場8=1.0G,電子電荷為“

=1.6XI0,9C,質(zhì)量加=9.1X103ikg。求：（1）電子的軌道半徑R；（2）電子的回旋周期7；（3）沿磁

場方向視察，電子是順時針方向還是逆時針方向回旋？

解：(1)vEk=^mv2???v=(^^)2

2m

軌道半徑R端二陪也黑黔產(chǎn)…

2成2.70712K3.14X9.1X1()T

T==3.6xIO^S

v~eB1.6xio-l9xlxio-4

（3）vfL=-evxB,.二順時針回旋

9-2（）一塊樣品如圖9-19所示，已知它的橫截面積為S,寬為明厚為d,載有電流/,外磁場月垂直于電

流（圖中月垂直于紙面對外）。設(shè)單位體積中有〃個載流子，每個載流子的電荷為s平均定向速率為

Vo（I）證明：樣品中存在一個大小為的電場，并指出E的方向；（2）上、下兩邊公人的電勢

差U,哪邊電勢高？（3）霍耳常數(shù)定義為R〃=F1S,證明：/?〃=1——。（留意探討9為正和負的狀

IBnq

況）

解：（1）在平衡時，運動電荷受洛侖茲力和霍爾電場的作用

洛侖茲力Fi=qvxB方向豎直向上

即a邊積累正電荷，b邊積累負電荷

所以霍爾電場由a邊指向b邊b

___一圖9-20

qvxB+qEn=0,：,=-yxB,大小】必

，C=

(2)Uah=\EH^fxB)dT=vBda邊電勢高

[RJR

(3)由霍爾常數(shù)定義EH=RH~即RH~=^

Jo

vSvS1

RH=---=--------=----得證。

IqnSvnq

磁力的功

9-21題9-15中，若線圈在磁力作用下轉(zhuǎn)到平衡位置，求磁場所做的功。

解：起先時磁通量為：“=BSCOS9=LBS,平衡位置時：M=BS

4

A=I\（!）=Z（^3-^）=1/BS=-X（）.1X（）.5xO.lx005=1.25x1（yJ

9-22半徑R=0.1m的半圓形閉合線圈，載有電流/=I0A,放在8=0.5T的勻整磁場中，磁場方向與線圈面

平行，如圖9-22所示。求：（1）線圈所受磁力矩的大小和方向（以直徑為轉(zhuǎn)軸）；（2）若線圈受磁力

矩的作用轉(zhuǎn)到線圈平面與磁場垂直的位置，則磁力矩作功

2

解：（1）,/M=pmxB,pin=ISn=I—TTM=—ITTRiixB

22

大小M=-^/?