山東省青島市2020-2021學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷 解析版

2020-2021學(xué)年山東省青島市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1 B．9y＝3y﹣1 C．2x2＝1 D．﹣2x2＝82．如圖所示的4個三角形中，相似三角形有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對3．根據(jù)表格中的信息，估計一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的一個解x的范圍為（）x00.511.52ax2+bx+c﹣15﹣8.75﹣25.2513A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜24．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作BD的垂線，垂足為E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，則∠EOA的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°5．青島第四屆海上馬拉松比賽將在2020年11月舉行，小明和小剛分別從A、B、C三個組中隨機選擇一個組參加志愿者活動，假設(shè)每人參加這三個組的可能性都相同，小明和小剛恰好選擇同一組的概率是（）A． B． C． D．6．如圖，菱形ABCD的面積為24cm2，對角線BD長6cm，點O為BD的中點，過點A作AE⊥BC交CB的延長線于點E，連接OE，則線段OE的長度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm7．下列結(jié)論正確的是（）A．如果一個四邊形是軸對稱圖形，而且有兩條互相垂直的對稱軸，那么這個四邊形一定是菱形． B．如果一個四邊形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，那么這個四邊形一定是正方形． C．如果一個菱形繞對角線的交點旋轉(zhuǎn)90°后，所得圖形與原來的圖形重合，那么這個菱形是正方形． D．一個直角三角形繞斜邊的中點旋轉(zhuǎn)180°后，原圖形與所得的圖形構(gòu)成的四邊形一定是正方形．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分線交AC于點D，過點D分別作BC和AB的平行線，交AB于點E，交BC于點H，連接EH交BD于點G，在AE上截取EF＝BE，連接DF．下列說法中正確的有（）（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF?BC；（3）四邊形EBHD是菱形；（4）S△ADF＝S△ABC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本題共6小題，毎小題3分，共18分）9．已知＝≠0，則＝．10．在一個不透明的口袋里裝有黑、白兩種顏色的球30個，這些球除顏色外都相同．某學(xué)習(xí)小組進行摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，試驗數(shù)據(jù)如下表：摸球的次數(shù)10020050080010001200摸到白球的次數(shù)4281201324402481根據(jù)上表數(shù)據(jù)，估算口袋中黑球有個．11．如圖，直線a∥b∥c，直線AC與DF交于點O，且與直線a、b、c分別交于點A、B、D、E、F，如果DE＝2，EF＝5，AC＝6，那么AB的長為．12．書香相伴，香滿校園，某校9月份借閱圖書500本，11月份借閱圖書845本，該校這兩個月借閱圖書的月均增長率是．13．如圖，四邊形ABCD是面積為6cm2的正方形，△ACE是等邊三角形，圖中陰影部分的面積是cm2．14．現(xiàn)有30張相同的菱形紙片（如圖1，有一個內(nèi)角為60°），小亮用其中3張密鋪成一個如圖2所示的正六邊形；若小芳想密鋪出一個與圖②相似但面積比它大的正六邊形，則她至少要用張菱形紙片（不得將菱形紙片剪開）．三、作圖題（本題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．15．（4分）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．求作：一個菱形，使它的四個頂點分別在平行四邊形ABCD的四條邊上．四、解答題（本題共10小題，共74分）16．（4分）解方程：x2+2x+2＝8x+4（配方法）．17．（4分）解方程：8x2﹣2x﹣3＝0．18．（4分）已知：關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．求：k的最小整數(shù)解．19．（6分）用如圖所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤進行“配紫色“游戲：游戲者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色，那么他就贏了．（1）利用畫樹狀圖或列表的方法表示游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求游戲者獲勝的概率．20．（8分）如圖，AF，AG分別是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的長．21．（7分）有一個面積為54cm2的長方形，將它的一邊剪短5cm，另一邊剪短2cm，恰好變成一個正方形，求這個正方形的邊長．22．（9分）已知：在△ABC中，CB＝CA，點D、E分別是AB、AC的中點，連接DE并延長交外角∠ACM的平分線CN與點F．（1）求證：AD＝CF；（2）連接CD，AF，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF為正方形？請證明你的結(jié)論．23．（10分）尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降價5元，則商店每天的平均銷量是件（直接填寫結(jié)果）；（2）不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要平均每天達到1280元，每件商品的定價應(yīng)為多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要銷售200件該商品，求商品的銷售單價．24．（10分）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯曾提出：能否將一條線段分成不相等的兩部分，使較短線段與較長線段的比等于較長線段與原線段的比？這就是黃金分割問題，這個相等的比又被稱為黃金比，其比值是．古希臘很多矩形建筑中，寬與長之比都等于黃金比，在藝術(shù)領(lǐng)域，許多優(yōu)美的曲線也與黃金比有關(guān)，黃金比在我們的生活中彰顯著豐富的美學(xué)價值．【探索發(fā)現(xiàn)】：如圖1，若點P1是線段AB靠近點B的黃金分割點，則AP1＝AB，所以BP1＝（1﹣）AB＝AB．若P2是線段BP1靠近點B的黃金分割點，則BP2＝BP1，所以BP2＝AB．若P3是線段BP2靠近點B的黃金分割點，則BP3＝BP2，所以BP3＝AB．……【歸納提煉】若Pn是線段BPn﹣1靠近點B的黃金分割點，則BPn＝AB．【解釋應(yīng)用】：如圖2，矩形ABCD中，寬BC與長AB的比為黃金比，則稱矩形ABCD為“黃金矩形”．在課本“想一想”中我們已經(jīng)知道，該矩形有如下特點：作正方形①，剩下的矩形仍是“黃金矩形”，且點P1為線段AB的黃金分割點；以此類推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黃金矩形”，且點Q1為線段BC的黃金分割點；作正方形③，剩下的矩形仍是“黃金矩形”，且點P2為線段的黃金分割點；作正方形④，剩下的矩形仍是“黃金矩形”，且點Q2為線段的黃金分割點；……顯然，這樣變換可以無限的進行下去．借助對“BP2與AB，BQ2與BC的比例關(guān)系”的探究，寫出當(dāng)“黃金矩形”ABCD的周長為a時，以BP2，BQ2為鄰邊的“黃金矩形”的周長y與a的關(guān)系式：．【拓展延伸】：（1）設(shè)圖2中四個正方形①，②，③，④的邊長分別為a1，a2，a3，a4，請直接寫出a1+a2+a3+a4＝．（用含有a的代數(shù)式表示）（2）如圖3，將正方形③和④的位置重新排列，再分別在每個正方形中作四分之一圓弧，四段弧可以連出一條優(yōu)美的曲線，稱為“黃金螺旋線”．請直接寫出這條曲線的長度：．（用含有a的代數(shù)式表示）25．（12分）已知：如圖1，在矩形ABCD中，AC是對角線，AB＝6cm，BC＝8cm．點P從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CA方向勻速運動，速度為2cm/s．過點Q作QE⊥AC，QE與BC相交于點E，連接PQ．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t），解答下列問題：（1）連接BQ，當(dāng)t為何值時，點E在線段BQ的垂直平分線上？（2）設(shè)四邊形BPQC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，取點E關(guān)于AC的對稱點F，是否存在某一時刻t，使△CDF為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值（不需提供解答過程）；若不存在，請說明理由．

2020-2021學(xué)年山東省青島市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x2+y＝1 B．9y＝3y﹣1 C．2x2＝1 D．﹣2x2＝8【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；C．是一元二次方程，故本選項符合題意；D．是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：C．2．如圖所示的4個三角形中，相似三角形有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法判斷即可．【解答】解：觀察圖象可知，圖中有3個直角三角形，一個銳角三角形，其中左邊的兩個直角三角形的直角邊的比都是1：2，所以這兩個直角三角形相似．故選：A．3．根據(jù)表格中的信息，估計一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的一個解x的范圍為（）x00.511.52ax2+bx+c﹣15﹣8.75﹣25.2513A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2【分析】根據(jù)ax2+bx+c的符號即可估算ax2+bx+c＝10的解．【解答】解：由表格可知：當(dāng)x＝1.5時，ax2+bx+c＝5.25，則ax2+bx+c﹣10＝﹣4.75，當(dāng)x＝2時，ax2+bx+c＝13，則ax2+bx+c﹣10＝3，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝10（a≠0）的一個解x的范圍是1.5＜x＜2，故選：D．4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作BD的垂線，垂足為E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，則∠EOA的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】根據(jù)∠EAB：∠EAD＝1：3，∠BAD＝90°，可以求得∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，即可得到∠EOA的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于點E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度數(shù)為45°，故選：D．5．青島第四屆海上馬拉松比賽將在2020年11月舉行，小明和小剛分別從A、B、C三個組中隨機選擇一個組參加志愿者活動，假設(shè)每人參加這三個組的可能性都相同，小明和小剛恰好選擇同一組的概率是（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果以及小明和小剛選到同一組的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有9種等可能的結(jié)果，小明和小剛恰好選擇同一組的有3種情況，∴兩人恰好選擇同一組的概率為＝；故選：A．6．如圖，菱形ABCD的面積為24cm2，對角線BD長6cm，點O為BD的中點，過點A作AE⊥BC交CB的延長線于點E，連接OE，則線段OE的長度是（）A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm【分析】由菱形的性質(zhì)得出BD＝6cm，由菱形的面積得出AC＝8cm，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，∴AC＝8cm，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4cm，故選：B．7．下列結(jié)論正確的是（）A．如果一個四邊形是軸對稱圖形，而且有兩條互相垂直的對稱軸，那么這個四邊形一定是菱形． B．如果一個四邊形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，那么這個四邊形一定是正方形． C．如果一個菱形繞對角線的交點旋轉(zhuǎn)90°后，所得圖形與原來的圖形重合，那么這個菱形是正方形． D．一個直角三角形繞斜邊的中點旋轉(zhuǎn)180°后，原圖形與所得的圖形構(gòu)成的四邊形一定是正方形．【分析】依據(jù)菱形、矩形以及正方形的判定方法，即可得出結(jié)論．【解答】解：A．若一個四邊形是軸對稱圖形，且有兩條互相垂直的對稱軸，則這個四邊形是菱形或矩形，故本選項不合題意；B．如果一個四邊形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，那么這個四邊形可以是菱形，故本選項不合題意；C．若一個菱形繞對角線的交點旋轉(zhuǎn)90°后所得圖形與原圖形重合，則這個菱形是正方形，本選項符合題意；D．一個直角三角形繞斜邊的中點旋轉(zhuǎn)180°后，原圖形與所得的圖形構(gòu)成的四辺形一定是矩形，故本選項不合題意；故選：C．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分線交AC于點D，過點D分別作BC和AB的平行線，交AB于點E，交BC于點H，連接EH交BD于點G，在AE上截取EF＝BE，連接DF．下列說法中正確的有（）（1）GH：FD＝1：2；（2）BD2＝BF?BC；（3）四邊形EBHD是菱形；（4）S△ADF＝S△ABC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①由題意可證四邊形DEBH是平行四邊形，可得GH＝EG，BG＝DG，由三角形中位線定理可得EG∥DF，GE＝DF，可得GH＝DF；②通過證明△BDF∽△BCD，可得，可證BD2＝BC?BF；③由菱形的判定可證四邊形EBHD是菱形；④條件不足，無法證明．【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AB，∴四邊形DEBH是平行四邊形，∴GH＝EG，BG＝DG，又∵EF＝BE，∴EG∥DF，GE＝DF，∴GH＝DF，∴GH：DF＝1：2，故①正確；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∴BE＝DE＝EF，∴∠BDF＝90°＝∠C，又∵∠ABD＝∠DBC，∴△BDF∽△BCD，∴，∴BD2＝BC?BF，故②正確；∵BE＝DE，四邊形DEBH是平行四邊形，∴四邊形DEBH是菱形，故③正確；條件不足，無法證明S△ADF＝S△ABC．故④錯誤，故選：C．二、填空題（本題共6小題，毎小題3分，共18分）9．已知＝≠0，則＝．【分析】直接利用已知得出y＝2x，即可代入化簡得出答案．【解答】解：∵＝≠0，∴y＝2x，則＝＝．故答案為：．10．在一個不透明的口袋里裝有黑、白兩種顏色的球30個，這些球除顏色外都相同．某學(xué)習(xí)小組進行摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，試驗數(shù)據(jù)如下表：摸球的次數(shù)10020050080010001200摸到白球的次數(shù)4281201324402481根據(jù)上表數(shù)據(jù)，估算口袋中黑球有18個．【分析】根據(jù)圖表給出的數(shù)據(jù)得出白球的頻率，再用總球的個數(shù)乘以白球的頻率，求出白球的個數(shù)，再用總個數(shù)減去白球的個數(shù)即可得出黑球的個數(shù)．【解答】解：根據(jù)圖表給出的數(shù)據(jù)可得，摸到白球的頻率將會接近0.4，所以可估計口袋中白種顏色的球的個數(shù)是：30×0.4＝12（個），則口袋中黑球有30﹣12＝18（個）．故答案為：18．11．如圖，直線a∥b∥c，直線AC與DF交于點O，且與直線a、b、c分別交于點A、B、D、E、F，如果DE＝2，EF＝5，AC＝6，那么AB的長為．【分析】平行線分線段成比例定理的內(nèi)容是：一組平行線截兩條直線，所截的線段對應(yīng)成比例，根據(jù)平行線分線段成比例解答即可．【解答】解：∵直線a∥b∥c，∴，∴，∴，解得：AB＝，故答案為：．12．書香相伴，香滿校園，某校9月份借閱圖書500本，11月份借閱圖書845本，該校這兩個月借閱圖書的月均增長率是30%．【分析】該校這兩個月借閱圖書的月均增長率是x，根據(jù)該校9月份及11月份借閱圖書數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：該校這兩個月借閱圖書的月均增長率是x，依題意，得：500（1+x）2＝845，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合題意，舍去）．故答案為：30%．13．如圖，四邊形ABCD是面積為6cm2的正方形，△ACE是等邊三角形，圖中陰影部分的面積是（）cm2．【分析】連接BE，交AC于O，依據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)，即可得到AO的長，依據(jù)勾股定理即可得到EO的長，最后根據(jù)陰影部分面積＝S△ACE﹣S△ACD進行計算．【解答】解：如圖，連接BE，交AC于O，∵△ACE是等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，∴EA＝EC，BA＝BC，∴BE垂直平分AC，∵四邊形ABCD是面積為6cm2的正方形，△ACE是等邊三角形，∴AB＝BC＝（cm），∴AC＝＝（cm），∴AE＝（cm），AO＝AC＝（cm），∴Rt△AOE中，EO＝＝3（cm），∴陰影部分面積＝S△ACE﹣S△ACD＝﹣＝﹣3＝（）cm2，故答案為：（）．14．現(xiàn)有30張相同的菱形紙片（如圖1，有一個內(nèi)角為60°），小亮用其中3張密鋪成一個如圖2所示的正六邊形；若小芳想密鋪出一個與圖②相似但面積比它大的正六邊形，則她至少要用12張菱形紙片（不得將菱形紙片剪開）．【分析】利用圖象法，畫出圖形判斷即可．【解答】解：觀察圖象可知，至少要用12張菱形紙片．故答案為：12．三、作圖題（本題滿分4分）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．15．（4分）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．求作：一個菱形，使它的四個頂點分別在平行四邊形ABCD的四條邊上．【分析】過平行四邊形的對角線的交點，畫兩條互相垂直直線EG，F(xiàn)H，J交平行四邊形ABCD的邊于E，G，F(xiàn)，H，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，四邊形EFGH即為所求．【解答】解：如圖，四邊形EFGH即為所求．四、解答題（本題共10小題，共74分）16．（4分）解方程：x2+2x+2＝8x+4（配方法）．【分析】移項，合并同類項，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2+2x+2＝8x+4，x2+2x﹣8x＝﹣2+4，x2﹣6x＝2，配方得：x2﹣6x+9＝2+9，（x﹣3）2＝11，開方得：x﹣3＝，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．17．（4分）解方程：8x2﹣2x﹣3＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：8x2﹣2x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×8×（﹣3）＝100，x＝＝，x1＝，x2＝﹣．18．（4分）已知：關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．求：k的最小整數(shù)解．【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根得出△＝22﹣4×（k﹣1）×（﹣1）＞0，結(jié)合一元二次方程的定義知k﹣1≠0，從而得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，得：△＝22﹣4×（k﹣1）×（﹣1）＞0且k﹣1≠0，解得k＞0且k≠1，所以k的最小整數(shù)解為2．19．（6分）用如圖所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤進行“配紫色“游戲：游戲者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色，那么他就贏了．（1）利用畫樹狀圖或列表的方法表示游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求游戲者獲勝的概率．【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)即可；（2）找出一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意畫圖如下：共有6種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）∵共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色的有3種，∴游戲者獲勝的概率是＝．20．（8分）如圖，AF，AG分別是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的長．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠ADG，可證明△ABC∽△ADE；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【解答】（1）證明：∵AF，AG分別是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．21．（7分）有一個面積為54cm2的長方形，將它的一邊剪短5cm，另一邊剪短2cm，恰好變成一個正方形，求這個正方形的邊長．【分析】設(shè)這個正方形的邊長為xcm，則原長方形的長為（x+5）cm，寬為（x+2）cm，根據(jù)原長方形的面積為54cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個正方形的邊長為xcm，則原長方形的長為（x+5）cm，寬為（x+2）cm，依題意，得：（x+5）（x+2）＝54，整理，得：x2+7x﹣44＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣11（不合題意，舍去）．答：這個正方形的邊長為4cm．22．（9分）已知：在△ABC中，CB＝CA，點D、E分別是AB、AC的中點，連接DE并延長交外角∠ACM的平分線CN與點F．（1）求證：AD＝CF；（2）連接CD，AF，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF為正方形？請證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B，根據(jù)外角的性質(zhì)定理得到∠A＝ACM，由角平分線的定義得到∠ACF＝ACM，求得∠A＝∠ACF，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）由已知條件得到△ACB是等腰直角三角形，求得∠BAC＝45°，推出AD∥CF，由（1）知AD＝CF，得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD＝CD，求得∠ACD＝∠CAD＝45°，根據(jù)正方形的判定定理得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CB＝CA，∴∠A＝∠B，∵∠ACM＝∠A+∠B，∴∠A＝ACM，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF＝ACM，∴∠A＝∠ACF，∵E是AC的中點，∴AE＝CE，在△ADE與△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF；（2）解：當(dāng)∠ACB＝90°，四邊形ADCF是正方形，理由：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CN平分∠ACM，∴∠ACF＝ACM＝45°，∴∠DAC＝∠ACF，∴AD∥CF，由（1）知AD＝CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵點D是AB的中點，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴∠DCF＝90°，∴矩形ADCF是正方形．23．（10分）尊老愛幼是中華民族的傳統(tǒng)美德，九九重陽節(jié)前夕，某商店為老人推出一款特價商品，每件商品的進價為15元，促銷前銷售單價為25元，平均每天能售出80件；根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降價5元，則商店每天的平均銷量是280件（直接填寫結(jié)果）；（2）不考慮其他因素的影響，若商店銷售這款商品的利潤要平均每天達到1280元，每件商品的定價應(yīng)為多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要銷售200件該商品，求商品的銷售單價．【分析】（1）根據(jù)每天的平均銷售量＝80+降低的價格÷0.5×20，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件商品降價x元，則銷售每件商品的利潤為（25﹣15﹣x）元，平均每天可售出80+×20＝（40x+80）件，根據(jù)每天的總利潤＝銷售每件商品的利潤×平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）由（2）的結(jié)論結(jié)合平均每天至少要銷售200件該商品，可確定x的值，再將其代入（40x+80）中即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）80+5÷0.5×20＝280（件）．故答案為：280．（2）設(shè)每件商品降價x元，則銷售每件商品的利潤為（25﹣15﹣x）元，平均每天可售出80+×20＝（40x+80）件，依題意，得：（25﹣15﹣x）（40x+80）＝1280，整理，得：x2﹣8x+12＝0，解得：x1＝2，x2＝6，∴25﹣x＝23或19．答：每件商品的定價應(yīng)為23元或19元．（3）當(dāng)x＝2時，40x+80＝160＜200，不合題意，舍去；當(dāng)x＝6時，40x+80＝320＞200，符合題意，∴25﹣x＝19．答：商品的銷售單價為19元．24．（10分）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯曾提出：能否將一條線段分成不相等的兩部分，使較短線段與較長線段的比等于較長線段與原線段的比？這就是黃金分割問題，這個相等的比又被稱為黃金比，其比值是．古希臘很多矩形建筑中，寬與長之比都等于黃金比，在藝術(shù)領(lǐng)域，許多優(yōu)美的曲線也與黃金比有關(guān)，黃金比在我們的生活中彰顯著豐富的美學(xué)價值．【探索發(fā)現(xiàn)】：如圖1，若點P1是線段AB靠近點B的黃金分割點，則AP1＝AB，所以BP1＝（1﹣）AB＝AB．若P2是線段BP1靠近點B的黃金分割點，則BP2＝BP1，所以BP2＝（）2AB．若P3是線段BP2靠近點B的黃金分割點，則BP3＝BP2，所以BP3＝（）3AB．……【歸納提煉】若Pn是線段BPn﹣1靠近點B的黃金分割點，則BPn＝（）nAB．【解釋應(yīng)用】：如圖2，矩形ABCD中，寬BC與長AB的比為黃金比，則稱矩形ABCD為“黃金矩形”．在課本“想一想”中我們已經(jīng)知道，該矩形有如下特點：作正方形①，剩下的矩形仍是“黃金矩形”，且點P1為線段AB的黃金分割點；以此類推：作正方形②，剩下的矩形仍是“黃金矩形”，且點Q1為線段BC的黃金分割點；作正方形③，剩下的矩形仍是“黃金矩形”，且點P2為線段BP1的黃金分割點；作正方形④，剩下的矩形仍是“黃金矩形”，且點Q2為線段BQ1的黃金分割點；……顯然，這樣變換可以無限的進行下去．借助對“BP2與AB，BQ2與BC的比例關(guān)系”的探究，寫出當(dāng)“黃金矩形”ABCD的周長為a時，以BP2，BQ2為鄰邊的“黃金矩形”的周長y與a的關(guān)系式：y＝（）4a．【拓展延伸】：（1）設(shè)圖2中四個正方形①，②，③，④的邊長分別為a1，a2，a3，a4，請直接寫出a1+a2+a3+a4＝a+a+a+a．（用含有a的代數(shù)式表示）（2）如圖3，將正方形③和④的位置重新排列，再分別在每個正方形中作四分之一圓弧，四段弧可以連出一條優(yōu)美的曲線，稱為“黃金螺旋線”．請直接寫出這條曲線的長度：πa?[+++]．（用含有a的代數(shù)式表示）【分析】【探索發(fā)現(xiàn)】：根據(jù)黃金分割的定義計算即可；【歸納提煉】：探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可；【解釋應(yīng)用】：根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)相似比等于周長比，解決問題即可；【拓展延伸】：（1）分別求出a1，a2，a3，a4即可解決問題；（2）利用弧長公式計算即可．【解答】解：【探索發(fā)現(xiàn)】：由題意可知：BP2＝（）2AB，BP3＝（）3AB，故答案為：（）2，（）3．【歸納提煉】：由規(guī)律可知：BPn＝（）nAB．故答案為：（）n．【解釋應(yīng)用】：且點P2為線段P1B的黃金分割點，點Q2為線段BQ1的黃金分割點，∵BC＝AB，BP1＝BC，BQ1＝BP1，BP2＝BQ1，所有矩形相似，∴BP2，BQ2為領(lǐng)邊的“黃金矩形”的周長y與a的關(guān)系式：y＝（）4a．故答案為：BP1，BQ2，y＝（）4a．【拓展延伸】：（1）設(shè)圖2中四個正方形①，②，③，④的邊長分別為a1，a2，a3，a4，設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)，則2x+2y＝a，∴2x+2x＝a，∴x＝a，y＝a，∴a1+a2+a3+a4＝a+a+a+a．（2）如圖3，將正方形③和