1.5 有理數(shù)的乘法和除法 能力提升 湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)（解析版）

第第1頁(yè)（共1頁(yè)）解析1.5有理數(shù)的乘法和除法—能力提升—>>>精品解析<<<一、選擇題1、［中］有理數(shù)a，b，c滿足abc≠0，a＜b且a+b＜0，，那么的值為（）A．0 B．2 C．0或2 D．0或﹣2［思路分析］利用有理數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求得a，b，c的符號(hào)，再利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．［答案詳解］解：∵a＜b且a+b＜0，abc≠0，∴a＜0，b＜0或a＜0，b＞0，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，則＝﹣1﹣1＝﹣2，∵，∴＝1，∴c＞0．∴a＜0，b＜0，c＞0，∴ab＞0，bc＜0，ac＜0，abc＞0，∴原式＝1﹣1﹣1+1＝0；當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，則＝﹣1+1＝0，∵，∴＝﹣1，∴c＜0．∴a＜0，b＞0，c＜0，∴ab＜0，bc＜0，ac＞0，abc＞0，∴原式＝﹣1﹣1+1+1＝0，綜上，的值為0，故選：A．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題主要考查了實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，有理數(shù)乘法與有理數(shù)加法的法則，絕對(duì)值的意義，正確利用絕對(duì)值的意義解答是解題的關(guān)鍵．2、［中］我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中介紹了一種計(jì)算乘法的方法，稱為“鋪地錦”．例如，如圖1所示，計(jì)算31×47，首先把乘數(shù)31和47分別寫在方格的上面和右面，然后以31的每位數(shù)字分別乘以47的每位數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入對(duì)應(yīng)的格子中（如3×4＝12的12寫在3下面的方格里，十位1寫在斜線的上面，個(gè)位2寫在斜線的下面），再把同一斜線上的數(shù)相加，結(jié)果寫在斜線末端，最后把得數(shù)依次寫下來(lái)是1457，即31×47＝1457．如圖2，用“鋪地錦”的方法表示兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則a的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2［思路分析］根據(jù)題目已知的例題，可得a+4＝1+a+a﹣2，然后進(jìn)行計(jì)算即可．［答案詳解］解：由題意得：a+4＝1+a+a﹣2，∴a＝5，故選：A．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了有理數(shù)的乘法，數(shù)學(xué)常識(shí)，根據(jù)題目的已知理解用“鋪地錦”的方法表示兩個(gè)兩位數(shù)相乘是解題的關(guān)鍵．3、［中］（）的倒數(shù)比它的本身大．A．假分?jǐn)?shù) B．真分?jǐn)?shù) C．帶分?jǐn)?shù)［思路分析］真分?jǐn)?shù)是分子小于分母的分?jǐn)?shù)，假分?jǐn)?shù)是分子大于或等于分母的分?jǐn)?shù)，再根據(jù)求一個(gè)數(shù)倒數(shù)的方法，可知假分?jǐn)?shù)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)等于或小于它本身，真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于它本身．［答案詳解］解：∵真分?jǐn)?shù)是分子小于分母的分?jǐn)?shù)，∴真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于它本身．故選：B．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了求倒數(shù)的方法，掌握真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)意義是解題的關(guān)鍵．4、［中］已知43×47＝2021，則（﹣43）的值為（）A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣［思路分析］根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算法則，除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)求解．［答案詳解］解：∵43×47＝2021，∴（﹣43）＝﹣43×47＝﹣2021，故選：B．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查有理數(shù)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)運(yùn)算的方法．5、［中］如圖，數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為a、b、c，滿足a+b﹣c＝0且AB＝BC．那么下列各式正確的是（）A．a(chǎn)+c＜0 B．a(chǎn)c＞0 C．bc＜0 D．a(chǎn)b＜0［思路分析］由數(shù)軸知AB＝b﹣a，BC＝c﹣b，再由AB＝BC得a+c＝2b，再根據(jù)a+b﹣c＝0，進(jìn)而得b＝2a，c＝3a，進(jìn)而由a＜b＜c，知a、b、c都為正數(shù)，便可得出最后答案．［答案詳解］解：∵AB＝BC，∴b﹣a＝c﹣b，∴a+c＝2b，∵a+b﹣c＝0，即c＝a+b，∴a+（a+b）＝2b，∴b＝2a，∴c＝a+b＝3a，∵a＜b＜c，∴a＞0，b＞0，c＞0，∴a+c＞0，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；ac＞0，則B選項(xiàng)正確；bc＞0，則C錯(cuò)誤；ab＞0，則D錯(cuò)誤．故選：B．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了數(shù)軸，實(shí)數(shù)的加減法，乘法運(yùn)算法則，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的應(yīng)用，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合得出a、b、c之間的關(guān)系和正負(fù)性質(zhì)．6、［中］乘積幻方，每一行之積、每一列之積、對(duì)角線上的乘積都相等，如圖所示的乘積幻方中，x與y的值分別是（）A．4和8 B．4和20 C．15和25 D．20和50［思路分析］由題意列出二元一次方程與二元二次方程，即可求解．［答案詳解］解：每一行之積、每一列之積、對(duì)角線上的乘積為：5×10y＝50y，則y下方的數(shù)是25，x上方的是2.5y，∴25×10x＝5×10y，5×x×2.5y＝5×10y，∴y＝5x，2.5x＝10，∴x＝4，y＝20．故選：B．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是由題意列出方程．7、［中］格子乘法是由明代數(shù)學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法類比大全》一書中提出，例如圖1所示計(jì)算89×65，將被乘數(shù)89計(jì)入上行，乘數(shù)65計(jì)入右行．然后以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每個(gè)數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)格子中，最后斜行加起來(lái)，即得5785．現(xiàn)用格子乘法進(jìn)行如圖2計(jì)算，問(wèn)：根據(jù)該計(jì)算得到的最終結(jié)果是（）A．3056 B．3058 C．4056 D．4058［思路分析］先根據(jù)題意推出a＝4，然后完成圖2即可得解．［答案詳解］解：∵2×7＝14，2×8＝16，16﹣14＝2，a+2﹣a＝2，∴a＝4．∴計(jì)算過(guò)程如圖所示：∴結(jié)果為4056．故選：C．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了新定義，能夠理解新定義，根據(jù)題意推出a的值，是解題的關(guān)鍵．8、［中］有A，B兩種卡片各4張，A卡片正、反兩面分別寫著1和0，B卡片正、反兩面分別寫著2和0，甲、乙兩人從中各拿走4張卡片并擺放在桌上，發(fā)現(xiàn)各自的4張卡片向上一面的數(shù)字和相等：兩人各自將所有卡片另一面朝上，則甲的4張卡片數(shù)字和減小了1，乙的4張卡片數(shù)字和增加了1，則甲拿取A卡片的數(shù)量為（）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張［思路分析］根據(jù)所有卡片的數(shù)字之和為12，來(lái)確定滿足條件的甲朝上的數(shù)字可能的情況，即可判斷甲拿取了A的張數(shù)．［答案詳解］解：∵甲、乙正面朝上的數(shù)字之和相等，反面朝上的數(shù)字之和甲減小1，乙增加1，∴甲乙兩面的數(shù)字之和為1+1+1+1+2+2+2+2＝12，∴甲一面朝上的數(shù)字之和為12÷4＝3，∴甲朝上的可能是1，1，1，0或者2，1，0，0，則甲朝下的可能是0，0，0，2或者0，0，1，1，綜上可知，甲拿取A卡片的數(shù)量為3張．故選：C．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，通過(guò)將12進(jìn)行拆分來(lái)進(jìn)行分配是解題的關(guān)鍵．二、填空題9、［中］若ab＞0，則的值為．［思路分析］由ab＞0得a，b同號(hào)，分兩種情況討論：①a＞0，b＞0；②a＜0，b＜0．［答案詳解］解：∵ab＞0，∴a，b同號(hào)，分兩種情況討論：①當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，原式＝1+1+1＝3；②當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1．故答案為：3或﹣1．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記正數(shù)的絕對(duì)值等于本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)．10、［中］三個(gè)有理數(shù)a、b、c滿足abc＞0，則++的值為．［思路分析］利用有理數(shù)的乘法法則得到a，b，c同為正數(shù)或兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，再利用絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)運(yùn)算即可得出結(jié)論．［答案詳解］解：∵三個(gè)有理數(shù)a、b、c滿足abc＞0，∴a，b，c同為正數(shù)或兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，當(dāng)a，b，c同為正數(shù)時(shí)，原式＝＝1+1+1＝3；當(dāng)a，b，c為兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)時(shí)，設(shè)a，b為負(fù)數(shù)，c為正數(shù)，原式＝＝﹣1﹣1+1＝﹣1，綜上，++的值為3或﹣1．故答案為：3或﹣1．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，絕對(duì)值的意義，正確利用乘法法則得到a，b，c的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．11、［中］任何一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（s、t是正整數(shù)，且s≤t），如果在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6這三種，這時(shí)就有F（18）＝＝．給出下列關(guān)于F（n）的說(shuō)法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整數(shù)，則F（n2）＝1，其中正確說(shuō)法的是（將正確答案的序號(hào)填寫在橫線上）．［思路分析］根據(jù)定義求的各個(gè)語(yǔ)句中的F（n）的值，再進(jìn)行辨別判斷．［答案詳解］解：∵2＝1×2，∴F（2）＝，故語(yǔ)句①符合題意；∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，∴F（48）＝＝，故語(yǔ)句②不符合題意；∵n2+n＝n（n+1），∴F（n2+n）＝，故語(yǔ)句③符合題意；∵n2＝n×n，∴F（n2）＝＝1，故語(yǔ)句④符合題意，故答案為：①③④．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］此題考查了運(yùn)用有理數(shù)的乘法解決新定義問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)定義將各個(gè)語(yǔ)句進(jìn)行求值、辨別．12、［中］一個(gè)能被2和3整除的四位數(shù)，它的千位上的數(shù)是奇數(shù)又是合數(shù)，它的百位上的數(shù)不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，它十位上的數(shù)是最小的素?cái)?shù)，個(gè)位上的數(shù)是．［思路分析］根據(jù)它的千位上的數(shù)是奇數(shù)又是合數(shù)，它的百位上的數(shù)不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，它十位上的數(shù)是最小的素?cái)?shù)，知道千位是9，百位是1，十位是2，又因?yàn)槟鼙?和3整除的四位數(shù)，所以個(gè)位數(shù)字是6或0．［答案詳解］解：∵它的千位上的數(shù)是奇數(shù)又是合數(shù)，它的百位上的數(shù)不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)，它十位上的數(shù)是最小的素?cái)?shù)，∴千位是9，百位是1或0，十位是2，∵又能被2和3整除的四位數(shù)，∴個(gè)位數(shù)字是6或0或4，故答案為：6或0或4．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了有理數(shù)，有理數(shù)的除法，注意：最小的素?cái)?shù)是2．13、［中］﹣1.25的倒數(shù)是．［思路分析］根據(jù)倒數(shù)的定義求解可得．［答案詳解］解：﹣1.25的倒數(shù)是﹣，故答案為：﹣［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題主要考查倒數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握倒數(shù)的定義．14、［中］若兩個(gè)數(shù)的積為﹣1，我們稱它們互為負(fù)倒數(shù)，則0.125的負(fù)倒數(shù)是．［思路分析］根據(jù)互為負(fù)倒數(shù)的定義可知，用﹣1÷0.125即可得到0.125的負(fù)倒數(shù)．［答案詳解］解：0.125的負(fù)倒數(shù)為：﹣1÷0.125＝﹣8．故答案為﹣8．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了求一個(gè)數(shù)的負(fù)倒數(shù)的方法，正確理解互為負(fù)倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．15、［中］的倒數(shù)是．［思路分析］根據(jù)倒數(shù)的概念求解．［答案詳解］解：的倒數(shù)是﹣．故答案為：﹣．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了倒數(shù)的概念，乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．16、［中］下列說(shuō)法：①若a，b互為相反數(shù)，則＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，則ab≥0；③若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值為7；④若abc＜0，a+b+c＞0，則的值為﹣2．其中一定正確的結(jié)論是（只填序號(hào)）．［思路分析］利用相反數(shù)的意義，絕對(duì)值的意義對(duì)每個(gè)說(shuō)法進(jìn)行判斷，錯(cuò)誤的舉出反例即可．［答案詳解］解：∵0的相反數(shù)是0，∴當(dāng)a，b為0時(shí)，相反數(shù)的商為0，就不成立，∴①的說(shuō)法錯(cuò)誤；∵當(dāng)a，b同號(hào)或a，b中至少一個(gè)為0時(shí)，|a+b|＝|a|+|b|，∴如果|a+b|＝|a|+|b|，則ab≥0，∴②的說(shuō)法正確；∵當(dāng)﹣5≤x≤2時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可得|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值為7，∴③的說(shuō)法正確；∵若abc＜0，a+b+c＞0，則a，b，c中可能兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)或兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，∴當(dāng)有兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a＞0，b＞0，c＜0，＝1﹣1+1﹣1＝0；∴④的說(shuō)法錯(cuò)誤；綜上，正確的說(shuō)法有：②③，故答案為：②③．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題主要考查了相反數(shù)，絕對(duì)值的意義，對(duì)于錯(cuò)誤的說(shuō)法舉出反例是解題的關(guān)鍵．三、解答題17、［中］我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數(shù)和正偶數(shù)．受此啟發(fā)，按照一個(gè)正整數(shù)被3除的余數(shù)把正整數(shù)分成三類：如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為1，則這個(gè)正整數(shù)屬于A類，例如1，4，7等；如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為2，則這個(gè)正整數(shù)屬于B類，例如2，5，8等；如果一個(gè)正整數(shù)能被3整除，則這個(gè)正整數(shù)屬于C類，例如3，6，9等．（1）2022屬于類（填A(yù)，B或C）；（2）①?gòu)腂類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則它們的和屬于類（填A(yù)，B或C）；②從A類數(shù)中任意取出2021個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出2022個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出k個(gè)數(shù)（k為正整數(shù)），把它們都加起來(lái)，則最后的結(jié)果屬于類（填A(yù)，B或C）；（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)（m，n為正整數(shù)），把它們都加起來(lái)，若最后的結(jié)果屬于A類，則下列關(guān)于m，n的敘述正確的是（填序號(hào)）．①m屬于A類；②m+2n屬于A類；③m，n不屬于同一類；④|m﹣n|屬于A類．［思路分析］（1）由2022÷3＝674，可知2022屬于C類；（2）①設(shè)B類的兩個(gè)數(shù)為3m+2，3n+2，則（3m+2）+（3n+2）被3除余數(shù)為1，由此可求解；②設(shè)這2021個(gè)數(shù)的和3a+2021，設(shè)這2022個(gè)數(shù)的和為3b+2022×2＝3b+4044，設(shè)這k個(gè)數(shù)的和為3c，則有3a+2021+3b+4044+3c＝3（a+b+c）+6065，再由6065÷3＝2021…2，即可求解；（3）設(shè)這m個(gè)數(shù)的和為3x+m，設(shè)這n個(gè)數(shù)的和為3y+2n，則有3x+m+3y+n＝3（x+y）+m+2n，由題意可知m+2n被3除余數(shù)為1，再由此分三類當(dāng)n屬于A類，m屬于B類；當(dāng)n屬于B類，m屬于C類；當(dāng)n屬于C類，m屬于A類，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可．［答案詳解］解：（1）∵2022÷3＝674，∴2022屬于C類，故答案為：C；（2）①設(shè)B類的兩個(gè)數(shù)為3m+2，3n+2，∴3m+2+3n+3＝3（m+n）+4＝3（m+n+1）+1，∴（3m+2）+（3n+2）被3除余數(shù)為1，∴從B類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則它們的和屬于A類，故答案為：A；②∵從A類數(shù)中任意取出2021個(gè)數(shù)，∴設(shè)這2021個(gè)數(shù)的和3a+2021，∵從B類數(shù)中任意取出2022個(gè)數(shù)，∴設(shè)這2022個(gè)數(shù)的和為3b+2022×2＝3b+4044，∵從C類數(shù)中任意取出k個(gè)數(shù)（k為正整數(shù)），∴設(shè)這k個(gè)數(shù)的和為3c，∴3a+2021+3b+4044+3c＝3（a+b+c）+6065，∴6065÷3＝2021…2，∴3（a+b+c）+6065被3除余數(shù)為2，∴結(jié)果屬于B類，故答案為：B；（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，設(shè)這m個(gè)數(shù)的和為3x+m，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)，設(shè)這n個(gè)數(shù)的和為3y+2n，∴3x+m+3y+n＝3（x+y）+m+2n，∵最后的結(jié)果屬于A類，∴m+2n被3除余數(shù)為1，∴m+2n屬于A類，故②正確；當(dāng)n屬于A類時(shí)，m屬于B類，故①不正確；當(dāng)n屬于A類，m屬于B類；當(dāng)n屬于B類，m屬于C類；當(dāng)n屬于C類，m屬于A類，故③正確；當(dāng)n屬于B類，m屬于C類時(shí)，|m﹣n|＝|3x﹣3y﹣2|＝|3（x﹣y）﹣2|屬于B類；故④不正確；故②③正確，故選：②③．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查有理數(shù)的性質(zhì)，理解題意，根據(jù)所給條件分類討論是解題的關(guān)鍵．18、［中］計(jì)算：×2÷3．［思路分析］原式利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．［答案詳解］解：原式＝××＝．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］此題考查了有理數(shù)的乘除法則，熟練掌握乘除法則是解本題的關(guān)鍵．19、［中］在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的（探究）．（提出問(wèn)題）兩個(gè)有理數(shù)a、b滿足a、b同號(hào)，求的值．解：①若a、b都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，|a|＝a，|b|＝b，則＝＝1+1＝2；②若a、b都是負(fù)數(shù)，即a＜0，b＜0，有|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，則＝＝（﹣1）+（﹣1）＝﹣2，所以的值為2或﹣2．（探究）請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：（1）兩個(gè)有理數(shù)a、b滿足a、b異號(hào)，求的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，且a＜b＜c，求a+b+c的值．［思路分析］（1）仿照題干中的方法，利用分類討論的思想分兩種情況解答：①a＞0，b＜0；②a＜0，b＞0；（2）利用絕對(duì)值的意義和已知條件求得a，b，c的值，再將a，b，c的值代入計(jì)算即可．［答案詳解］解：（1）由a、b異號(hào)，可知：①a＞0，b＜0；②a＜0，b＞0，當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，＝1﹣1＝0；當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，＝﹣1+1＝0．綜上，的值為0；（2）∵|a|＝3、|b|＝2、|c|＝1，∴a＝±3，b＝±2，c＝±1．∵a＜b＜c，∴a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1或a＝﹣3，b＝﹣2，c＝1．當(dāng)a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1時(shí)，a+b+c＝﹣3+（﹣2）+（﹣1）＝﹣6；當(dāng)a＝﹣3，b＝﹣2，c＝1時(shí)，a+b+c＝﹣3+（﹣2）+1＝﹣4綜上，a+b+c的值為﹣6或﹣4．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題主要考查了絕對(duì)值的意義，數(shù)學(xué)常識(shí)，利用分類討論的思想解答是解題的關(guān)鍵．20、［中］已知：﹣5，1，﹣3，5，﹣2中，任何兩個(gè)數(shù)相乘，最大的積為m，最小的積為n．（1）求m，n的值；（2）若|x+n|＝m，求x的值．［思路分析］（1）同號(hào)且絕對(duì)值最大的兩個(gè)數(shù)相乘積最大，異號(hào)且絕對(duì)值最大的兩個(gè)數(shù)相乘積最??；（2）將（1）所求的m、n代入后，先去絕對(duì)值，再進(jìn)行計(jì)算即可．［答案詳解］解：（1）m最大為（﹣5）×（﹣3）＝15，n最小為（﹣5）×5＝﹣25．（2）∵|x+n|＝m，∴|x﹣25|＝15，即x﹣25＝±15，x＝10或40．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于正確去絕對(duì)值．21、［中］對(duì)于點(diǎn)M，N，給出如下定義：在直線MN上，若存在點(diǎn)P，使得MP＝kNP（k＞0），則稱點(diǎn)P是“點(diǎn)M到點(diǎn)N的k倍分點(diǎn)”．例如：如圖，點(diǎn)Q1，Q2，Q3在同一條直線上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，則點(diǎn)Q1是點(diǎn)Q2到點(diǎn)Q3的倍分點(diǎn)，點(diǎn)Q1是點(diǎn)Q3到點(diǎn)Q2的3倍分點(diǎn)．已知：在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B，C分別表示﹣4，﹣2，2．（1）點(diǎn)B是點(diǎn)A到點(diǎn)C的倍分點(diǎn)，點(diǎn)C是點(diǎn)B到點(diǎn)A的倍分點(diǎn)；（2）點(diǎn)B到點(diǎn)C的3倍分點(diǎn)表示的數(shù)是；（3）點(diǎn)D表示的數(shù)是x，線段BC上存在點(diǎn)A到點(diǎn)D的2倍分點(diǎn)，寫出x的取值范圍．［思路分析］（1）通過(guò)計(jì)算，的值，利用題干中的定義解答即可；（2）設(shè)這點(diǎn)為E，對(duì)應(yīng)的數(shù)字為a，利用分類討論的思想方法根據(jù)＝3分別列出方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況：①點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，②點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)，分別計(jì)算出x的兩個(gè)臨界值即可得出結(jié)論．［答案詳解］解：（1）∵點(diǎn)A，B，C分別表示﹣4，﹣2，2，∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，∴點(diǎn)B是點(diǎn)A到點(diǎn)C的倍分點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)C是點(diǎn)B到點(diǎn)A的倍分點(diǎn)．故答案為：；；（2）設(shè)這點(diǎn)為E，對(duì)應(yīng)的數(shù)字為a，則＝3．當(dāng)點(diǎn)E在B，C之間時(shí)，∵＝3，∴，解得：x＝1．當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，∵＝3，∴＝3，解得：x＝4．綜上，點(diǎn)B到點(diǎn)C的3倍分點(diǎn)表示的數(shù)是1或4．故答案為：1或4．（3）①點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，∵＝2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值為﹣3．②點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)，∵，解得：x＝5，∴x的最大值為5，綜上，線段BC上存在點(diǎn)A到點(diǎn)D的2倍分點(diǎn)，則x的取值范圍為：﹣3≤x≤5．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)與表示這個(gè)的點(diǎn)的數(shù)字的特征，本題是新定義型題目理解新定義并熟練應(yīng)用以及用數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字表示線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．22、［中］小聰是一個(gè)聰明而又富有想象力的孩子．學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘方”后，他就琢磨著使用“乘方”這一數(shù)學(xué)知識(shí)，腦洞大開地定義出“有理數(shù)的除方”概念．于是規(guī)定：若干個(gè)相同有理數(shù)（均不能為0）的除法運(yùn)算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，類比有理數(shù)的乘方．小聰把5÷5÷5記作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）記作f（4，﹣2）．（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果，f（4，）＝，f（5，3）＝；（2）關(guān)于“有理數(shù)的除方”下列說(shuō)法正確的是．（填序號(hào)）①f（6，3）＝f（3，6）；②f（2，a）＝1（a≠0）；③對(duì)于任何正整數(shù)n，都有f（n，﹣1）＝1；④對(duì)于任何正整數(shù)n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．（3）小明深入思考后發(fā)現(xiàn)：“除方”運(yùn)算能夠轉(zhuǎn)化成乘方運(yùn)算，且結(jié)果可以寫成冪的形式，請(qǐng)推導(dǎo)出“除方”的運(yùn)算公式f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），要求寫出推導(dǎo)過(guò)程將結(jié)果寫成冪的形式；（結(jié)果用含a，n的式子表示）（4）請(qǐng)利用（3）問(wèn)的推導(dǎo)公式計(jì)算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．［思路分析］（1）根據(jù)題意計(jì)算即可；（2）①分別計(jì)算f（6，3）和f（3，6）的結(jié)果進(jìn)行比較即可；②根據(jù)題意計(jì)算即可判斷；③分為n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況分別計(jì)算即可判斷；④2n為偶數(shù)，偶數(shù)個(gè)a相除，結(jié)果應(yīng)為正；（3）推導(dǎo)f（n，a）（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2），按照題目中的做法推到即可；（4）按照上題的推導(dǎo)式可以將算式中的每一部分表示出來(lái)再計(jì)算．［答案詳解］解：（1）f（4，）＝÷÷÷＝4，f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3＝；故答案為：4；．（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3＝，f（3，6）＝6÷6÷6＝，∴f（6，3）≠f（3，6），故錯(cuò)誤；②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正確；③對(duì)于任何正整數(shù)n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（n，﹣1）＝﹣1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（n，﹣1）＝1．故錯(cuò)誤；④對(duì)于任何正整數(shù)n，2n為偶數(shù)，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故錯(cuò)誤；故答案為：②．（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n為正整數(shù)，a≠0，n≥2）．（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）＝×9×（﹣）×16＝﹣．［經(jīng)驗(yàn)總結(jié)］本題考查有理數(shù)的除法，是一道規(guī)律探究型題目，也