【模塊1】（數(shù)與式）學(xué)生版

模塊一數(shù)與式

第一講實數(shù)

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：實數(shù)的分類

正整數(shù)

整數(shù)零無理數(shù)的幾種常見形式

有理數(shù)負(fù)整數(shù)(1)開方開不盡的數(shù)的方根,如7，32，12等;

實數(shù)正分?jǐn)?shù)(2)π及化簡后含π的數(shù);

分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)(3)構(gòu)造型的數(shù),如0.1010010001…(相鄰兩個1

正無理數(shù)之間依次多一個0)等;

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)(4)某些三角函數(shù)值,如sin60°,cos45°等.

負(fù)無理數(shù)

正實數(shù)

實數(shù)零

負(fù)實數(shù)

知識點2：實數(shù)的相關(guān)概念

1、數(shù)軸

（1）數(shù)軸的三要素:原點、和。例：

（2）實數(shù)和數(shù)軸上的點。

2、相反數(shù)

（1）定義：只有不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)。

（2）a的相反數(shù)是，特殊地，0的相反數(shù)是。

（3）實數(shù)a，b互為相反數(shù)ab0。

（4）互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離。

3、絕對值

（1）定義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點到的距離，叫做數(shù)a的絕對值，記作a。

a0

若a0，則a

（2）aa0或

若a0，則a

a0

4、倒數(shù)

（1）定義：如果兩個實數(shù)的乘積為，那么這兩個實數(shù)互為倒數(shù)。

（2）實數(shù)a，b互為倒數(shù)ab1。

（3）非零實數(shù)a的倒數(shù)為，0沒有倒數(shù)，倒數(shù)等于它本身的數(shù)是。

知識點3：科學(xué)計數(shù)法

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，其中1a10，n為整數(shù)。

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)：當(dāng)原數(shù)的絕對值大于等于10時，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)

減去1；

用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)：當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是一個負(fù)整數(shù)，它的絕對值

等于原數(shù)左起第一個非零數(shù)字前面零的個數(shù)(含整數(shù)位上的零)。

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溫馨提示：

將含有計數(shù)（量）單位的數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示時,應(yīng)先把計數(shù)單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字，

把計量單位轉(zhuǎn)化為題目要求的單位，再用科學(xué)記數(shù)法來表示。?？嫉挠嫈?shù)單位

有：1千=103，1萬=104，1億=108；?？嫉挠嬃繂挝挥校?mm=10-3m，1m106m，

1nm109m等。

知識點4：近似數(shù)

1、定義：一個與很接近的數(shù)叫做近似數(shù)。

2、精確度：一般由“四舍五入”法取近似數(shù)，“四舍五入”到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到

哪一位。

知識點5：平方根、算術(shù)平方根與立方根

名稱定義性質(zhì)

一般地,如果一個數(shù)的

一個正數(shù)a的平方根有兩個，它們互

平方等于aa0，那么

平方根為；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平

這個數(shù)就叫做a的平方方根。

根。

算術(shù)平當(dāng)a0時,是有意義的，一個正數(shù)的算術(shù)平方根是一個正數(shù)；0的算術(shù)

方根它表示a的算術(shù)平方根.平方根是，即0=。

一般地，如果一個數(shù)的正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是

立方根立方等于a，那么這個數(shù)一個負(fù)數(shù)；0的立方根是0。立方根具有唯一

就叫做a的立方根.性。

易失分點a的“雙重非負(fù)性”

a具有雙重非負(fù)性:①被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù),即a≥0;②a是非負(fù)數(shù),即a≥0。

知識點6：實數(shù)的運算

1、加、減、乘、除、乘法的運算法則

（1）加法法則：

同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號，并把絕對值相加；

絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕

對值，互為相反數(shù)的兩數(shù)相加和為零；

一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。

（2）減法法則：

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

（3）乘法法則：

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；

任何數(shù)與0相乘仍得0。

（4）除法法則：

除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

（5）幾種常見的運算：

乘方：anaa…a（n個a相乘）

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零次冪：任何非零數(shù)的零次冪都為1，即a01a0

-1的奇、偶次冪：-1的偶次冪為1，奇次冪為-1。

負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：任何不為零的數(shù)的-p(p為正整數(shù))次冪，等于這個數(shù)p次冪的倒數(shù)；特別地，一個

11

不為零的數(shù)的-1次冪是其倒數(shù)。即ap（a0，p為正整數(shù)），a1a0

apa

2、運算律：

(1)加法運算律

加法交換律:abba；

加法結(jié)合律:abcabc。

(2)乘法運算律

乘法交換律:abba；

乘法結(jié)合律:abcabc；

分配律:abcabac。

3、實數(shù)的混合運算順序

(1)計算每一小項的值(如零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、開方、絕對值、乘方等)；

(2)根據(jù)原式中的運算符號進行實數(shù)的混合運算(先乘除，后加減，有括號的先算括號內(nèi)的，同級運

算按照從左到右的順序進行)；

(3)寫出算式的結(jié)果。

知識點7：實數(shù)的大小比較

數(shù)軸法將兩個數(shù)表示在同一數(shù)軸上，右邊點表示的數(shù)總比左邊點表示的數(shù)大。

正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的

類別法

反而小。

設(shè)，是兩個任意實數(shù)，則；；

差值法abab0abab0ab

ab0ab

平方法若ab≥0，則ab(用于二次根式的估值及含有根式的實數(shù)的大小比較).

a

作商法1?若b>0，則a>b；若b<0，則a<b.

b

估算法對任意兩個正實數(shù)a，b，先估算出a，b兩數(shù)的范圍，再進行比較.

把要比較的兩個數(shù)進行適當(dāng)放大或縮小，使復(fù)雜的問題得以簡化，來達到比較

放縮法

兩個實數(shù)大小的目的.

直擊中考勝券在握

31

1．實數(shù)tan45°，，0，5，，3，sin60°，0．3131131113…（相鄰兩個3之間依次多一個1），其中

3

無理數(shù)的個數(shù)是（8）9

A．4B．3C．2D．1

2．（2021·山東·膠州市初級實驗中學(xué)一模）38的相反數(shù)（）

1

A．B．2C．2D．

22

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3．（2021·廣東·珠海市文園中學(xué)三模）實數(shù)-3的絕對值是（）

1

A．3B．3C．3D．

3

4．（2019·山東·寧津縣育新中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列說法①﹣5的絕對值是5；②﹣1的相反數(shù)是1；③0的

1

倒數(shù)是0；④64的立方根是±4，⑤是無理數(shù)，⑥4的算術(shù)平方根是2，其中正確的個數(shù)為（）

3

A．2B．3C．4D．5

5．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）下列各數(shù)：4，2.8，0，4，其中比3小的數(shù)是（）

A．4B．4C．0D．2.8

27

6．（2020·陜西·一模）﹣的立方根是（）

64

3349

A．﹣B．C．﹣D．

48916

7．（2021·四川涼山·中考真題）81的平方根是（）

A．3B．3C．9D．9

8．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示．如果ab0，那么下列結(jié)論

正確的是（）

a

A．a(chǎn)cB．a(chǎn)c0C．a(chǎn)bc0D．1

b

9．下面不等式正確的是（）

2313

A．B．C．(8)2(7)2D．0.911.1

34611

10．（2019·天津濱海新·中考模擬）若a30，b6，c365則下列關(guān)系正確的為()

A．a(chǎn)bcB．cbaC．bacD．bca

11．（2019·福建南安·中考模擬）已知m2＝4+23，則以下對|m|的估算正確的（）

A．2＜|m|＜3B．3＜|m|＜4C．4＜|m|＜5D．5＜|m|＜6

12．設(shè)a為最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對值最小的數(shù)，d是倒數(shù)等于自身的有理數(shù)，則a-b+c-d

的值為（）

A．1B．3C．1或3D．2或-1

13．（2020濱州中考）冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0109米，若用科學(xué)記數(shù)法表示110納

米，則正確的結(jié)果是（）

A．1.1109米B．1.1108米C．1.1107米D．1.1106米

14．第七次全國人口普查結(jié)果顯示，我國具有大學(xué)文化程度的人口超218000000人．?dāng)?shù)據(jù)218000000用科學(xué)記

數(shù)法表示為（）

A．218106B．21.8107C．2.18108D．0.218109

15．（2021·江蘇儀征·八年級期中）下列說法正確的是（）

A．近似數(shù)4.80精確到十分位

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B．近似數(shù)5000萬精確到個位

C．近似數(shù)4.51萬精確到0.01

D．1.15×104精確到百位

2511

16．（2021·山東膠州·八年級期中）比較大小：___．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）

33

17．（2021·浙江·杭州第十四中學(xué)附屬學(xué)校八年級階段練習(xí)）若實數(shù)a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，e是12

的整數(shù)部分，f是5的小數(shù)部分，則代數(shù)式abcdef的值是___．

18．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）在如圖所示的數(shù)軸上，點C與點B關(guān)于點A對稱，C、A兩點對應(yīng)的實數(shù)分別

是5和1，則點B對應(yīng)的實數(shù)為__．

19．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，實數(shù)5，15，m在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A，B，C，點B關(guān)于原

點O的對稱點為D．若m為整數(shù)，則m的值為________．

20．（2021·江蘇溧陽·七年級期中）數(shù)軸上有兩個實數(shù)a,b，且a>0，b＜0，a+b＜0，則四個數(shù)a，b，-a，-b的大

小關(guān)系為____（用“＜”號連接）．

21．（2021·麗水中考）計算：|2021|(3)04．

2021

22．（2021·金華）計算：1+84sin45+2．

2

01

23．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）計算：|12|2sin45(3.14)．

2

11

24．（2019·四川達州·中考真題）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為1，

1a12

11

1的差倒數(shù)，已知a5，a是a的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)，a是a的差倒數(shù)…，依此類推，a2019的

1(1)21213243

值是（）

144

A．5B．C．D．

435

第5頁共23頁.

25．觀察下列等式：

211

第一個等式：a；

113222221221

211

第二個等式：a；

213222(22)2221231

211

第三個等式：a；

313232(23)2231241

211

第四個等式：a；

413242(24)2241251

按上述規(guī)律，回答下列問題：

（1）請寫出第六個等式：a6==；

（2）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an==；

（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最簡結(jié)果）；

（4）計算：a1+a2+…+an．

模塊一數(shù)與式

第二講整式與因式分解

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：整式的相關(guān)概念

1、單項式：

用數(shù)字或字母的表示的代數(shù)式叫做單項式。單獨一個數(shù)字或字母也是單項式。

(1)單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的。

(2)一個單項式中，所有字母指數(shù)的叫做這個單項式的次數(shù)。

2、多項式：

幾個單項式的叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫

做。

一個多項式含有幾項，這個多項式就是幾項式，多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項

式的次數(shù)。

單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。

知識點2：整式的運算

1.加減運算

(1)整式加減運算的實質(zhì)是、合并同類項。

(2)同類項：所含字母相同，并且相同字母的也相同的項叫做同類項，所有的常數(shù)項都是同

類項。

第6頁共23頁.

合并同類項的法則:同類項的系數(shù)相加，字母和字母的不變。

去括號法則:

如果括號前面是“+”，去括號時括號內(nèi)的各項都不改變符號；

如果括號前面是“-”，去括號時括號內(nèi)的各項都改變符號。

添括號法則:

所添括號前面是“+”,括到括號內(nèi)的各項都不改變符號；

所添括號前面是“-”，括到括號內(nèi)的各項都改變符號。

2、重要公式：

常用變形：

222

完全平方公式：abab2ab222222

aba+b2aba+bab+2ab

22

平方差公式：ababab2222

a+b=ab+4abab=ab4ab

3、冪的運算

性質(zhì)1、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。amanamn（m，n為正整數(shù)）

nm

性質(zhì)2、冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。amamnan（m，n為正整數(shù)）

n

性質(zhì)3、積的乘方等于各因式乘方的積。abanbn（m，n為正整數(shù)）

性質(zhì)4、同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。amanamn（a0，mn）

4、乘法運算

單項式與單項單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個

式的乘法法則單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個。

單項式與多項單項式與多項式相乘，用單項式分別去乘多項式的每一項，再把所得的積

式的乘法法則相加，如m(a+b+c)=。

多項式與多項多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的

式的乘法法則每一項，再把所得的積，如(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

知識點3：代數(shù)式及其求值

用加、減、乘、除及乘方等運算符號把連接而成的式子，叫做代數(shù)式。

代數(shù)式求值：

①直接代入法：把已知字母的值代入代數(shù)式，并按原來的運算順序計算求值。

②化簡后求值：先對所求代數(shù)式進行去括號、合并同類項等化簡，在把已知字母的值帶入化簡后的

代數(shù)式計算求值。

③整體代入法：先觀察已知條件和所求代數(shù)式的關(guān)系，再將所求代數(shù)式變形(一般會用到提公因式、

平方差公式、完全平方公式)，最后把已知代數(shù)式看成一個整體代入變形后的代數(shù)式中求值。

知識點4：因式分解

1、定義：把一個多項式化為幾個整式的的形式，叫做因式分解。

2、方法

(1)提公因式法

(2)公式法

3.因式分解的步驟（注意：因式分解一定要分解到底）

(1)多項式為兩項或三項時，步驟如下:

第7頁共23頁.

十字相乘法：

頭尾分解，交叉相

乘，求和湊中，觀

察實驗。

(2)多項式為四項及以上時，通常需先分組，分組后再利用提公因式法或公式法進行分解。

直擊中考勝券在握

ab2c3

1．單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

3

1

A．-1和5B．和6C．-和5D．-和6

333

2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校八年級階段練習(xí)）下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)-3?a2＝a5B．（x3）3＝x6

C．x5+x5＝x10D．（﹣a2b）5＝﹣a10b5

1

3．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）計算(mn3)2n2的結(jié)果是（）

2

111

A．4m2n6B．﹣m2n4C．m2n4D．﹣m5n4

444

4．（2021·山東泰安·中考真題）下列運算正確的是（）

3

A．2x23x35x5B．2x6x3

2

C．xyx2y2D．3x223x49x2

5．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列運算中，正確的是（）

343

A．a(chǎn)3a2a6B．a(chǎn)2a5a10C．2a316a12D．a(chǎn)b2a3b6

6．（甘肅省天水市秦安縣古城農(nóng)業(yè)中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，將圖1中陰影部分無

重疊、無縫隙地拼成圖2，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是()

A．a(chǎn)2－b2＝(a＋b)(a－b)B．a(chǎn)2＋2ab＋b2＝(a＋b)2

C．a(chǎn)2－2ab＋b2＝(a－b)2D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab

7．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正方體的每條棱上放置相同數(shù)目的小球，設(shè)每條棱上的小球數(shù)為m，下

列代數(shù)式表示正方體上小球總數(shù)，則表達錯誤的是（）

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A．12(m1)B．4m8(m2)C．12(m2)8D．12m16

8．（2021·山西襄汾·八年級期中）若2021m5，2021n8，則20212mn（）

258

A．B．2C．3D．

825

9．（2021·山東惠民·八年級階段練習(xí)）下列計算中錯誤的是（）

A．(ab)(ba)a2b2B．(ab)(ab)a2b2

C．(ab)(ba)a22abb2D．(ab)2(ab)24ab

1

10．（2021·上海松江·七年級期中）已知xy2，xy，那么x3y3x2y2xy3的值為（）

2

1313

A．3B．6C．D．

24

2

11．如果m2m5，那么代數(shù)式mm2m2的值為（）

A．-6B．-1C．9D．14

12．（2021·遼寧鐵西·八年級期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（）

A．2B．5C．20D．9

13．（2021·黑龍江佳木斯·八年級期末）已知4x2mxy9y2是完全平方式，則m的值為（）

A．6B．6C．12D．12

14．（2021·湖北天門·八年級階段練習(xí)）下列因式分解正確的是（）

A．2a24aa(2a4)B．9x24y2(9x4y)(9x4y)

C．x2x2x(x1)2D．m26m9(m3)2

22021

15．（2021·廣西福綿·七年級期中）若單項式2xmy和xyn3是同類項，則mn的值為（）

3

A．-1B．1C．32021D．32021

16．如圖,是一個正方形與一個直角三角形所拼成的圖形,則該圖形的面積為()

2222

21mnmmmnmn

A．mmnB．C．D．

2222

17．（江西省宜春市豐城市2019-2020學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在長方形ABCD內(nèi)，將兩張邊長分別為

a和b(a＞b)的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置(圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊)，長方形中未

被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示．設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當(dāng)

AD－AB＝2時，S2－S1的值為()

A．2a－2B．－2bC．2aD．2b

第9頁共23頁.

a2bc3xy37

18．（2021·全國·七年級課時練習(xí)）在下列各式①，②0，③，④，⑤sr2，⑥，⑦b24ac，

53x5

1

⑧m，⑨1中，其中單項式是_______，多項式是_______，整式是_______．（填序號）

a

19．（2021·河南伊川·七年級期中）按照如圖所示的計算程序，若x2，則輸出的結(jié)果是________．

2022

120210

20．（2021·云南·普洱市思茅區(qū)第四中學(xué)八年級期中）計算77_______．

7

21．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知xy2,x3y3，則2x3y12x2y218xy3_________．

22．（2021·河南·鄭州楓楊外國語學(xué)校七年級期中）若m2n1，則3m26mn6n的值為______．

23．（山東省青島市嶗山區(qū)第三中學(xué)2020-2021學(xué)年七年級下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題）如圖，某廣場地面的圖案

是用大小相同的黑、白正方形地磚鑲嵌而成，圖中第1個黑色L形由3個正方形組成，第2個黑色L形由7個

正方形組成……那么第n個黑色L形的正方形個數(shù)是____________．

24．（2020年貴州省銅仁市中考數(shù)學(xué)試題）觀察下列等式：

2+22=23﹣2；

2+22+23=24﹣2；

2+22+23+24=25﹣2；

2+22+23+24+25=26﹣2；

…

已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，則

220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(結(jié)果用含m的代數(shù)式表示)．

25．（2021·浙江·中考真題）計算：xx21x1x．

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2

26．（2021·湖南衡陽·中考真題）計算：x2yx2yx2yxx4y．

27．（2021·湖北鄖西·八年級期中）先化簡，再求值：(2x1)(2x1)(2x3)2，其中x1．

211

28．先化簡，再求值：2x3y2xy2xy2y其中x,y

56

2

29．（2021·北京·中考真題）已知a22b210，求代數(shù)式abb2ab的值．

30.將下列多項式進行因式分解：

（1）4x324x2y36xy2；

2

（2）xy494y．

31．（2019·廣西河池·中考真題）分解因式：(x1)22(x5)．

32．因式分解：9(x2y)24(xy)2

33．因式分解：ab2﹣3ab﹣10a．

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34．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）將下列各式分解因式：

（1）6y219y15；（2）14x23x27

35.因式分解：（1）m24n24n1．（2）x24y2x2y．

36．把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過圖形面積的計算，常?？梢缘玫揭恍┫嚓P(guān)的代數(shù)等式，這些等式可

用于代數(shù)式的證明或求一些不規(guī)則圖形的面積．

（1）如圖1，是將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為abc的正方形，若把這個大正方形的

面積直接用邊長表示，其面積是________；若把這個大正方形的面積用分割成的小正方形或小矩形的面積表示

時，其面積是________；無論怎樣表示，面積不變，所以，可得等式是________；并用多項式的乘法公式說明

該等式成立；

（2）已知三個數(shù)a，b，c滿足a2b2c252，abbcca24，利用（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可直接寫出

(abc)2________；

（3）如圖2，是將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一直線上，連接BD和BF，

若兩正方形的邊長滿足ab10，ab20，請求出陰影部分的面積．

37．已知（10x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（3x﹣23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均為整

數(shù)，求a+b+c的值．

第12頁共23頁.

模塊一數(shù)與式

第三講分式

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1：分式的概念

A

一般地,如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母,那么式子叫做分式，其中A叫做分式的

B

分子，叫做分式的分母。

B注意

A1.分式可以表示兩個整式相除，其中分子為

（1）分式有意義的條件:分母不為零，即B0

B被除式，分母為除式，分?jǐn)?shù)線起除號和括號

的作用。

A

（2）分式值為零：分子為零，且分母不為零。即2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含

B字母，但分母中必須含有字母，這是區(qū)別分

（A0且B0）式和整式的重要依據(jù)。

3.在任何情況下，分式的分母的值都不為0，

知識點2：分式的基本性質(zhì)否則分式無意義。

分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘（或除以）

AACAAC

同一個不等于0的整式，分式的值不變。,（C0），其中A、B、C是整式。

BBCBBC

利用分式的基本性質(zhì)可以進行約分、通分。

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母的約去，叫做分式的約分，約分通常

是把分式化成最簡分式或整式。

利用分式的基本性質(zhì)，把異分母分式化成分式，叫做分式的通分。

符號法則：改變分子、分母及整個分式三者中任意兩個的符號，分式的值不變，即

AAAA

BBBB

知識點3：分式的運算

1、分式的運算法則

acac

分式乘法分子的積作積的，用分母的積作積的分母

bdbd

acadad

分式除法將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式

bdbcbc

aan

分式乘方分子、分母分別()n

bbn

abab

同分母分式加減分母不變,分子

ccc

acadbcadbc

異分母分式加減先，變?yōu)橥帜傅姆质胶笤傧嗉訙p。

bdbdbdbd

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分式的混合運算：

分式的混合運算，有多項式的，一般先因式分解，能約分的進行約分；有括號的先算括號，有乘

方的先算乘方；先乘除后加減。異分母相加減，先通分，化為同分母，再加減。

a35

例：a2

a22aa2分式化簡中的誤區(qū)

a3a2a251.注意分式混合運算順序

aa2a2a22.分式化簡不同于解分式方程,化簡過程中不能去分

a3a29母.

aa2a23.分?jǐn)?shù)線有除號和括號兩重作用,同分母分式相加減

a3a2

(分子是多項式),分子應(yīng)整體加括號.

aa2a3a34.分式運算中含有整式，應(yīng)視其分母為1的式子，然

1

后按分式四則運算法則計算。

aa3

2、分式化簡求值的一般步驟

(1)按運算順序?qū)λo分式進行化簡，化為最簡分式或整式；

(2)代入求值(代入求值時要注意使原分式及化簡過程中出現(xiàn)的分式均有意義)。

直擊中考勝券在握

12xy3a2b3c6x

1．（2021·黑龍江五?！ぐ四昙夒A段練習(xí)）在式子，，，，y中，分式的個數(shù)是（）

a43x2

A．2B．3C．4D．5

1

2．（2021·浙江寧波·中考真題）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足（）

x2

A．x0B．x2C．x2D．x2

3．（2021·山東昌樂·八年級期中）當(dāng)x1時，下列分式?jīng)]有意義的是（）

x1xx1x

A．B．C．D．

xx1xx1

11

4．（2021·山東臨沂·中考真題）計算(a)(b)的結(jié)果是（）

ba

aabb

A．B．C．D．

bbaa

x0

5．（2021·黑龍江綏化·中考真題）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x1

A．x–1B．x1且x0C．x1且x0D．x0

ba

6．（2021·江蘇蘇州·中考真題）已知兩個不等于0的實數(shù)a、b滿足ab0，則等于（）

ab

A．2B．1C．1D．2

3x227

7．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）當(dāng)x＝﹣2時，分式的值是（）

96xx2

A．﹣15B．﹣3C．3D．15

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x29

8．（2021·北京市平谷區(qū)峪口中學(xué)八年級期中）分式值為0的條件是x的值為（）

x3

A．3B．3C．3D．0

9．（2021·山東寒亭·八年級期中）下列變形正確的是（）

aabaa

A．B．

bb2bcbc

a22a1a1xx2

C．D．

a21a1yy2

x2x3xy2y

10．（2021·山東寒亭·八年級期中）已知y，則（）

12xyxyx

17

A．B．-7C．D．-5

33

yyxxyyaa

11．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）下列式子中①；②；③；④中，

xxyxyxxxbb

正確的有（）．

A．①②③④B．①③④C．①②③D．只有④

nmm2n2

12．（2021·四川南充·中考真題）若3，則_________

nmn2m2

a1

13．（2020·全國·八年級課時練習(xí)）計算：1________．

1aa2a

28

14．（2021·四川自貢·中考真題）化簡：_________．

a2a24

x3x1x9

15．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）當(dāng)x20213時，代數(shù)式()的值是____．

x23xx26x9x