【模塊2】（方程（組）與不等式（組））教師版

模塊二方程（組）與不等式（組）

第一講一次方程（組）及其應(yīng)用

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：方程的相關(guān)概念及等式的性質(zhì)

1、方程的相關(guān)概念

含有未知數(shù)的叫做方程;使方程左右兩邊的值相等的的值叫做方程的解;求方程的

解的過(guò)程叫做解方程;只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的。

2、等式的基本性質(zhì)（注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)）

基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),所得結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為零的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式.

性質(zhì)3：如果ab，那么ba（對(duì)稱(chēng)性）

性質(zhì)4：如果ab，bc，那么ac（傳遞性）

知識(shí)點(diǎn)2：一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是，等號(hào)兩邊都是整式，這

樣的方程叫做一元一次方程。任何一個(gè)一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數(shù)，且a≠0）的形式。

溫馨提示

形如axb0(其中a，b為常數(shù)，且a0)的方程為一元一次方程，判斷時(shí)應(yīng)抓住以下兩點(diǎn)：(i)

原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1。

2、解一元一次方程的一般步驟

1x4x1若未知數(shù)的系數(shù)有分母，則要去分母。注

例：1

23去分母意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公

倍數(shù)。

解：去分母：31x24x16

若方程含有括號(hào)，則先去小括號(hào)，再去中

去括號(hào)：33x8x26

括號(hào)，最后去大括號(hào)。若去括號(hào)時(shí)括號(hào)前

去括號(hào)

移項(xiàng)：8x3x263是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)均

合并同類(lèi)項(xiàng)：11x11要。

系數(shù)化為1：

x1把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等式的一邊，其他

移項(xiàng)項(xiàng)移到另一邊。一般把含的項(xiàng)移到

注：本題中去分母時(shí)，方程右側(cè)的-1等式左邊。移項(xiàng)要改變符號(hào)。

易漏乘最小公倍數(shù)；移項(xiàng)時(shí)易忘變

合并同類(lèi)項(xiàng)把方程化成axb（a0）的形式。

號(hào)。

方程兩邊同未知數(shù)的系數(shù)，得到方

系數(shù)化為1

程的解。

知識(shí)點(diǎn)3：二元一次方程（組）及其解法

1、二元一次方程（組）定義

定義方程的解解的情況

二元一次含有個(gè)未知數(shù)，并且所含未使二元一次方程兩邊的值的兩有無(wú)數(shù)組解

方程知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。個(gè)未知數(shù)的值。

二元一次把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程只有一組公共解

方程組次方程合在一起。的?叫做二元一次方程組的解。

2、二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：將一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代入另

一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。

（2）加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過(guò)適當(dāng)變形后可以

使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去這個(gè)未知數(shù)，

第1頁(yè)共57頁(yè).

化二元一次方程組為一元一次方程。

消元法使用技巧（解題時(shí)依據(jù)方程自身特點(diǎn)，靈活運(yùn)用消元思想）

一般地，當(dāng)二元一次方程組中的一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或-1時(shí)，選擇代入消元法較簡(jiǎn)

單。

當(dāng)二元一次方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成倍數(shù)關(guān)

系時(shí)，選擇加減消元法較簡(jiǎn)單。

注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡(jiǎn)，快速解題。

知識(shí)點(diǎn)4：*三元一次方程組

1.三元一次方程組:一個(gè)方程組中含有三個(gè)未知數(shù),每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的

次數(shù)都是1,并且一共有三個(gè)方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

2.解三元一次方程組的基本思路

三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程

知識(shí)點(diǎn)5：一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用

1、列一次方程(組)解應(yīng)用題的步驟

審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關(guān)系；

設(shè)：設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)；

列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)；

解：解方程(組)；

驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否符合題意；

答：規(guī)范作答，注意單位名稱(chēng)。

2、常見(jiàn)的關(guān)系式

基本關(guān)系式:路程=速度×?xí)r間.

行程問(wèn)題相遇問(wèn)題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.

追及問(wèn)題:同地不同時(shí)出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時(shí)不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的路

程.

儲(chǔ)蓄問(wèn)題本金×利率×期數(shù)=利息,本金+利息=本息和.

利潤(rùn)

銷(xiāo)售問(wèn)題總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量,利潤(rùn)率=×100%,利潤(rùn)=售價(jià)-成本(或進(jìn)價(jià))=利潤(rùn)率×成本.

成本

分配問(wèn)題總量=甲的數(shù)量+乙的數(shù)量,總金額=甲的金額+乙的金額.

工程問(wèn)題工作總量=工作效率×工作時(shí)間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增長(zhǎng)率問(wèn)

已知基礎(chǔ)量為a,增長(zhǎng)后為b,若設(shè)增長(zhǎng)率為x,則可得a(1+x)=b.

題

數(shù)字問(wèn)題十位a，個(gè)位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個(gè)位c，表示為100a+10b+c

直擊中考勝券在握

1．（四川省南充市2019年中考數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的一元一次方程2xa2m4的解為x1，則am的值為（）

A．9B．8C．5D．4

【答案】C

【分析】

根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．

【詳解】

解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解為x=1，

可得：a-2=1，2+m=4，

解得：a=3，m=2，

第2頁(yè)共57頁(yè).

所以a+m=3+2=5，

故選C．

【點(diǎn)睛】

此題考查一元一次方程的定義，關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的概念和其解的概念解答．

11

2．解一元一次方程(x1)1x時(shí)，去分母正確的是（）

23

A．3(x1)12xB．2(x1)13x

C．2(x1)63xD．3(x1)62x

【答案】D

【分析】

根據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程兩邊都乘以6可得答案．

【詳解】

解：方程兩邊都乘以6，得：

3（x+1）＝6﹣2x，

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟和等式的基本性質(zhì)．

2xy3①

3．（湖南省益陽(yáng)市2021年中考數(shù)學(xué)真題）解方程組時(shí)，若將①-②可得（）

2x3y4②

A．2y1B．2y1C．4y1D．4y1

【答案】D

【分析】

根據(jù)加減消元法即可得．

【詳解】

解：①-②得：2xy(2x3y)34，

即4y1，

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了加減消元法，熟練掌握加減消元法是解題關(guān)鍵．

xya1

4．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解，也是二元一次方程x＋2y＝﹣1的解，則a的值為（）

xy3a5

．．．1．

A2B1C2D0

【答案】D

【分析】

解方程組，用a表示x，y，把x，y代入x＋2y＝﹣1中得到關(guān)于a的方程，解方程即可．

【詳解】

第3頁(yè)共57頁(yè).

xya1①

解：，

xy3a5②

①+②得

2x=2a+6，

x=a+3，

把代入①，得

a+3+y=-a+1，

y=-2a-2，

∵x＋2y＝﹣1

∴a+3+2(-2a-2)=-1，

∴a=0，

故選D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了解二元一次方程組以及二元一次方程的解，解方程組，用a表示x，y，把x，y代入x＋2y＝﹣1中得

到關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．

2

5．已知5xy3xy10，則（）

3

x

x1x2x02

A．B．C．D．

y0y1y03

y

2

【答案】B

【分析】

根據(jù)二元一次方程組的解法以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

【詳解】

xy30

解：由題意可知：

xy10

x2

解得：，

y1

故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二元一次方程組的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．

6．某種商品的標(biāo)價(jià)為120元，若以九折降價(jià)出售，相對(duì)于進(jìn)貨價(jià)仍獲利20%，該商品的進(jìn)貨價(jià)為（）

A．80元B．85元C．90元D．95元

【答案】C

【解析】

試題分析：商品的實(shí)際售價(jià)是標(biāo)價(jià)×90%=進(jìn)貨價(jià)+所得利潤(rùn)（20%?x）．設(shè)該商品的進(jìn)貨價(jià)為x元，根據(jù)題意列方

程得x+20%?x=120×90%，解這個(gè)方程即可求出進(jìn)貨價(jià)．

第4頁(yè)共57頁(yè).

解：設(shè)該商品的進(jìn)貨價(jià)為x元，

根據(jù)題意列方程得x+20%?x=120×90%，

解得x=90．

故選C．

考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用．

7．（2021·四川南充·中考真題）端午節(jié)買(mǎi)粽子，每個(gè)肉粽比素粽多1元，購(gòu)買(mǎi)10個(gè)肉粽和5個(gè)素粽共用去70元，

設(shè)每個(gè)肉粽x元，則可列方程為（）

A．10x5(x1)70B．10x5(x1)70

C．10(x1)5x70D．10(x1)5x70

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意表示出肉粽和素粽的單價(jià)，再列出方程即可．

【詳解】

設(shè)每個(gè)肉粽x元，則每個(gè)素粽的單價(jià)為（x-1）元，

由題意：10x5(x1)70，

故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查列一元一次方程，理解題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

8．（2021·黑龍江·中考真題）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，某校開(kāi)展了以迎冬奧為主題的演講活動(dòng)，計(jì)劃拿出180

元錢(qián)全部用于購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種獎(jiǎng)品（兩種獎(jiǎng)品都購(gòu)買(mǎi)），獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知甲種獎(jiǎng)品每件15元，乙種

獎(jiǎng)品每件10元，則購(gòu)買(mǎi)方案有（）

A．5種B．6種C．7種D．8種

【答案】A

【分析】

設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品為x件，乙種獎(jiǎng)品為y件，由題意可得15x10y180，進(jìn)而求解即可．

【詳解】

解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種獎(jiǎng)品為x件，乙種獎(jiǎng)品為y件，由題意可得：

15x10y180，

3

∴y18x，

2

∵x0,y0，且x、y都為正整數(shù)，

∴當(dāng)x2時(shí)，則y15；

當(dāng)x4時(shí)，則y12；

當(dāng)x6時(shí)，則y9；

當(dāng)x8時(shí)，則y6；

當(dāng)x10時(shí)，則y3；

∴購(gòu)買(mǎi)方案有5種；

第5頁(yè)共57頁(yè).

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．

9．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）母親節(jié)來(lái)臨，小明去花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物．已知康乃馨每支2元，百

合每支3元．小明將30元錢(qián)全部用于購(gòu)買(mǎi)這兩種花（兩種花都買(mǎi)），小明的購(gòu)買(mǎi)方案共有（）

A．3種B．4種C．5種D．6種

【答案】B

【分析】

設(shè)可以購(gòu)買(mǎi)x支康乃馨，y支百合，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x(chóng)，y均為

正整數(shù)即可得出小明有4種購(gòu)買(mǎi)方案．

【詳解】

解：設(shè)可以購(gòu)買(mǎi)x支康乃馨，y支百合，

依題意，得：2x+3y＝30，

2

∴y＝10﹣x．

3

∵x，y均為正整數(shù)，

x3x6x9x12

∴，，，，

y8y6y4y2

∴小明有4種購(gòu)買(mǎi)方案．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程應(yīng)用中的整數(shù)解問(wèn)題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．

10．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽中，為獎(jiǎng)勵(lì)成績(jī)突出的學(xué)生，學(xué)校計(jì)劃用200元錢(qián)

購(gòu)買(mǎi)A、B、C三種獎(jiǎng)品，A種每個(gè)10元，B種每個(gè)20元，C種每個(gè)30元，在C種獎(jiǎng)品不超過(guò)兩個(gè)且錢(qián)全部用

完的情況下，有多少種購(gòu)買(mǎi)方案（）

A．12種B．15種C．16種D．14種

【答案】D

【分析】

設(shè)購(gòu)買(mǎi)A、B、C三種獎(jiǎng)品分別為x,y,z個(gè)，根據(jù)題意列方程得10x20y30z200，化簡(jiǎn)后根據(jù)x,y,z均為正

整數(shù)，結(jié)合C種獎(jiǎng)品不超過(guò)兩個(gè)分類(lèi)討論，確定解的個(gè)數(shù)即可．

【詳解】

解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)A、B、C三種獎(jiǎng)品分別為x,y,z個(gè)，

根據(jù)題意列方程得10x20y30z200，

即x2y3z20，

由題意得x,y,z均為正整數(shù)．

①當(dāng)z=1時(shí)，x2y17

17y

∴x，

2

第6頁(yè)共57頁(yè).

∴y分別取1，3，5，7，9，11，13，15共8種情況時(shí)，x為正整數(shù)；

②當(dāng)z=2時(shí)，x2y14

14y

∴x，

2

∴y可以分別取2，4，6，8，10，12共6種情況，x為正整數(shù)；

綜上所述：共有8+6=14種購(gòu)買(mǎi)方案．

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了求方程組的正整數(shù)解，根據(jù)題意列出方程，并確定方程組的解為正整數(shù)是解題關(guān)鍵．

11．（2021·廣東·深圳中學(xué)八年級(jí)期中）《九章算術(shù)》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢(qián)不知其數(shù)甲

得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而亦錢(qián)五十．問(wèn)：甲、乙持錢(qián)各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢(qián)．如

2

果甲得到乙所有錢(qián)的一半，那么甲共有錢(qián)50；如果乙得到甲所有錢(qián)的，那么乙也共有錢(qián)50，問(wèn)：甲、乙兩人

3

各帶了多少錢(qián)？設(shè)甲、乙兩人持錢(qián)的數(shù)量分別為x，y，則可列方程組為（）

11

xy50xy502xy502xy50

22

A．B．C．2D．2

22xx50xy50

yx50yx5033

33

【答案】A

【分析】

根據(jù)“如果甲得到乙所有錢(qián)的一半，那么甲共有錢(qián)50；如果乙得到甲所有錢(qián)的三分之二，那么乙也共有錢(qián)50”，

即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．

【詳解】

1

xy50

2

解：依題意，得：，

2

yx50

3

故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

1

12．（2021·湖南懷化·中考真題）定義ab2a，則方程3x42的解為（）

b

1234

A．xB．xC．xD．x

5555

【答案】B

【分析】

根據(jù)新定義,變形方程求解即可

【詳解】

1

∵ab2a,

b

第7頁(yè)共57頁(yè).

11

∴3x42變形為2324,

x2

2

解得x，

5

2

經(jīng)檢驗(yàn)x是原方程的根，

5

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義問(wèn)題，根據(jù)新定義把方程轉(zhuǎn)化一般的分式方程，并求解是解題的關(guān)鍵

13．（2020·四川南充·中考真題）筆記本5元/本，鋼筆7元/支，某同學(xué)購(gòu)買(mǎi)筆記本和鋼筆恰好用去100元，那

么最多可以購(gòu)買(mǎi)鋼筆_______支．

【答案】10

【分析】

首先設(shè)某同學(xué)買(mǎi)了x支鋼筆，則買(mǎi)了y本筆記本，根據(jù)題意購(gòu)買(mǎi)鋼筆的花費(fèi)+購(gòu)買(mǎi)筆記本的花費(fèi)=100元，可得

7x

y=20-，根據(jù)x最大且又能被5整除，即可求解．

5

【詳解】

100-7x7x

設(shè)鋼筆x支，筆記本y本，則有7x+5y=100，則y==20-，

55

∵x最大且又能被5整除，y是正整數(shù)，

∴x=10，

故答案為：10．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的相等關(guān)系．

14．（2021·山東泰安·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢(qián)不知其數(shù)，甲得乙半而錢(qián)五十，乙得

甲太半而錢(qián)亦五十，問(wèn)甲、乙持錢(qián)各幾何？”譯文：“假設(shè)有甲乙二人，不知其錢(qián)包里有多少錢(qián)，若乙把自己一半

2

的錢(qián)給甲，則甲的錢(qián)數(shù)為50；而甲把自己的錢(qián)給乙，則乙的錢(qián)數(shù)也能為50．問(wèn)甲、乙各有多少錢(qián)？”設(shè)甲持

3

錢(qián)數(shù)為x，乙持錢(qián)數(shù)為y，可列方程組為_(kāi)_______．

y

x50

2

【答案】

2

xy50

3

【詳解】

2

【分析】甲持錢(qián)數(shù)為x，乙持錢(qián)數(shù)為y，根據(jù)題意可得：甲的錢(qián)+乙的錢(qián)的一半=50，乙的錢(qián)+甲所有錢(qián)的=50，

3

據(jù)此列方程組即可.

【詳解】由題意可得，

第8頁(yè)共57頁(yè).

y

x50

2

，

2

xy50

3

y

x50

2

故答案為．

2

xy50

3

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2x3y5a

15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組滿(mǎn)足xy0，則a的取值

x4y2a3

范圍是____．

【答案】a1．

【分析】

根據(jù)題目中方程組的的特點(diǎn)，將兩個(gè)方程作差，即可用含a的代數(shù)式表示出xy，再根據(jù)xy0，即可求得a

的取值范圍，本題得以解決．

【詳解】

2x3y5a①

解：

x4y2a3②

①-②，得xy3a3

∵xy0

∴3a30，

解得a1，

故答案為：a1．

【點(diǎn)睛】

本題考查解一元一次不等式，二元一次方程組的解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

3xmy5x1

16．（山東省濱州市2018年中考數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于a、

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5

b的二元一次方程組的解是_______．

2(ab)n(ab)6

3

a

2

【答案】

1

b

2

【分析】

3xmy5x1

方法一：利用關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是可得m、n的數(shù)值，代入關(guān)于a、b的方程組

2xny6y2

即可求解；

3(ab)m(ab)=5ab1

方法二：根據(jù)方程組的特點(diǎn)可得方程組的解是，再利用加減消元法即可求出a,b．

2(ab)n(ab)6ab2

第9頁(yè)共57頁(yè).

【詳解】

3xmy5x1

詳解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，

2xny6y2

x13xmy5

∴將解代入方程組

y22xny6

可得m=﹣1，n=2

3abmab=54a2b5

∴關(guān)于a、b的二元一次方程組整理為：

2abnab64a6

3

a

2

解得：

1

b

2

3xmy5x1

方法二：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5ab1

∴方程組的解是

2(ab)n(ab)6ab2

3

a

ab12

解得

ab21

b

2

3

a

2

故答案為：．

1

b

2

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次方程組的求解，重點(diǎn)是整體考慮的數(shù)學(xué)思想的理解運(yùn)用在此題體現(xiàn)明顯．

1016

17．（2021·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知a2b，3a4b，則ab的值為_(kāi)________．

33

【答案】1

【分析】

觀察已知條件可得兩式中a與b的系數(shù)的差相等，因此把兩式相減即可得解．

【詳解】

1016

解：a2b①，3a4b②，

33

②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】

此題主顧考查了二元一次方程組的特殊解法，觀察條件的結(jié)構(gòu)特征得出2a+2b=2是解答此題的關(guān)鍵．

第10頁(yè)共57頁(yè).

ab(ab)

．（浙江浙江七年級(jí)期中）對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算※：a※，例如※，因?yàn)椋?/p>

182021··ab“”222323

ab(ab)

x4y8

所以2※3236．若x,y滿(mǎn)足方程組，則x※y____．

2xy29

【答案】13

【分析】

根據(jù)二元一次方程組的解法以及新定義運(yùn)算法則即可求出答案．

【詳解】

x4y8

解：由題意可知：，

2xy29

x12

解得：，

y5

∵x＞y，

∴原式=1225213，

故答案為：13．

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二元一次方程組的解法以及正確理解新定義運(yùn)算法則，

本題屬于基礎(chǔ)題型．

3xy4

19．（2021·江蘇蘇州·中考真題）解方程組：.

x2y3

x1

【答案】.

y1

【詳解】

分析:（1）根據(jù)代入消元法，可得答案.

3xy4①

詳解:

x2y3②

由②得：x=-3+2y③，

把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，

解得y=1，

把y=1代入③得：x=-1，

x1

則原方程組的解為：.

y1

點(diǎn)睛:此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

20．（2021·四川·石室中學(xué)八年級(jí)期中）解方程組：

x2y10

（1）；

y2x

第11頁(yè)共57頁(yè).

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7．

422

x2x3

【答案】（1）；（2）

y4y5

【分析】

（1）利用代入消元法解二元一次方程組即可；

3(xy)2(xy)10

（2）先整理原方程得然后把xy和xy當(dāng)做一個(gè)整體利用加減消元法求出

xy2xy14

xy2③，xy8④，然后利用加減消元法求解即可．

【詳解】

x2y10①

解：（1），

y2x②

把②代入①中得：x4x10，解得x2，

把x2代入②中得，y4，

x2

∴方程組的解集為；

y4

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7

422

3(xy)2(xy)10①

整理得：，

xy2xy14②

用①-②得：2xy4，解得xy2③，

把③代入①得：62xy10，解得xy8④，

用③+④得：2x6，解得x3，

把x3代入③得y5，

x3

∴方程組的解為．

y5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解二元一次方程組的方法．

ax23y103xy2

21．（廣東省2020年中考數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同．

xy4xby15

（1）求a，b的值；

（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為26，另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2axb0的解．試判斷該三角形

的形狀，并說(shuō)明理由．

【答案】（1）43；12（2）等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析

【分析】

第12頁(yè)共57頁(yè).

ax23y103xy2

（1）關(guān)于x，y的方程組與的解相同．實(shí)際就是方程組

xy4xby15

xy4

的解，可求出方程組的解，進(jìn)而確定a、b的值；

xy2

（2）將a、b的值代入關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個(gè)解與26為邊長(zhǎng)，判斷三

角形的形狀．

【詳解】

解：由題意列方程組：

xy4x3

解得

xy2y1

將x3，y1分別代入ax23y103和xby15

解得a43，b12

∴a43，b12

（2）x243x120

434848

解得x23

2

這個(gè)三角形是等腰直角三角形

理由如下：∵(23)2(23)2(26)2

∴該三角形是等腰直角三角形．

【點(diǎn)睛】

本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是

得出正確答案的關(guān)鍵．

22．（2021·陜西·中考真題）一家商店在銷(xiāo)售某種服裝（每件的標(biāo)價(jià)相同）時(shí)，按這種服裝每件標(biāo)價(jià)的8折銷(xiāo)售

10件的銷(xiāo)售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價(jià)降低30元銷(xiāo)售11件的銷(xiāo)售額相等．求這種服裝每件的標(biāo)價(jià)．

【答案】這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是110元

【分析】

設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解即可．

【詳解】

解：設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)題意，得

100.8x11x30，

解得x110；

答：這種服裝每件的標(biāo)價(jià)是110元．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

23．（2021·湖南邵陽(yáng)·中考真題）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史·感黨恩”知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，

第13頁(yè)共57頁(yè).

并計(jì)劃購(gòu)置籃球、鋼筆、筆記本作為獎(jiǎng)品．采購(gòu)員劉老師在某文體用品購(gòu)買(mǎi)了做為獎(jiǎng)品的三種物品，回到學(xué)校

后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個(gè)數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．

請(qǐng)根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購(gòu)置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對(duì)應(yīng)的金

額．

【答案】購(gòu)置鋼筆15支，金額為225元，購(gòu)置筆記本34本，金額為175元

【分析】

根據(jù)題意可知鋼筆和筆記本一共50個(gè)，兩種物品的金額1000-600=400元，再根據(jù)題意列二元一次方程組即可

【詳解】

解：設(shè)鋼筆買(mǎi)了x支，筆記本買(mǎi)了y本

根據(jù)題意可得：鋼筆和筆記本一共56-6=50個(gè)

鋼筆和筆記本兩種物品的金額一共1000-600=400元

xy50

則有

15x5y400

x15

解得：

y35

則購(gòu)置筆記本金額為：35×5=175元

購(gòu)置鋼筆金額為：15×15=225元

答：購(gòu)置鋼筆15支，金額為225元，購(gòu)置筆記本34本，金額為175元

【點(diǎn)睛】

本題考查列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)已知條件正確的找出等量關(guān)系是關(guān)鍵

24．（2021·貴州安順·中考真題）為慶?！爸袊?guó)共產(chǎn)黨的百年華誕”，某校請(qǐng)廣告公司為其制作“童心向黨”文藝活動(dòng)

的展板、宣傳冊(cè)和橫幅，其中制作宣傳冊(cè)的數(shù)量是展板數(shù)量的5倍，廣告公司制作每件產(chǎn)品所需時(shí)間和利潤(rùn)如

下表：

產(chǎn)品展板宣傳冊(cè)橫幅

11

制作一件產(chǎn)品所需時(shí)間（小時(shí)）1

52

制作一件產(chǎn)品所獲利潤(rùn)（元）20310

第14頁(yè)共57頁(yè).

（1）若制作三種產(chǎn)品共計(jì)需要25小時(shí)，所獲利潤(rùn)為450元，求制作展板、宣傳冊(cè)和橫幅的數(shù)量；

（2）若廣告公司所獲利潤(rùn)為700元，且三種產(chǎn)品均有制作．求制作三種產(chǎn)品總量的最小值．

【答案】（1）制作展板、宣傳冊(cè)和橫幅的數(shù)量分別是：10，50，10；（2）制作三種產(chǎn)品總量的最小值為75．

【分析】

（1）設(shè)展板數(shù)量為x，則宣傳冊(cè)數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，根據(jù)等量關(guān)系，列出二元一次方程組，即可求解；

1007x

（2）設(shè)展板數(shù)量為x，則宣傳冊(cè)數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，可得y，結(jié)合x(chóng)，y取正整數(shù)，可得制作三

2

種產(chǎn)品總量的最小值．

【詳解】

（1）解：設(shè)展板數(shù)量為x，則宣傳冊(cè)數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，

20x35x10y450

x10

根據(jù)題意得：11，解得：，

x5xy25y10

52

5×10=50，

答：制作展板、宣傳冊(cè)和橫幅的數(shù)量分別是：10，50，10；

（2）設(shè)展板數(shù)量為x，則宣傳冊(cè)數(shù)量為5x，橫幅數(shù)量為y，制作三種產(chǎn)品總量為w，

由題意得：20x35x10y700，即：7x2y100，

1407x

∴y，

2

1407x1405x5

∴w=x5xy6x70x，

222

∵x，y取正整數(shù)，

∴x可取的最小整數(shù)為2，

5

∴w=70x的最小值=55，即：制作三種產(chǎn)品總量的最小值為75．

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二元一次方程組以及一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列出方程組以及一次函數(shù)的解析式，是

解題的關(guān)鍵．

25．（2021·四川瀘州·中考真題）某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車(chē)，3輛A貨車(chē)與2輛B貨車(chē)一次可以運(yùn)貨90噸，5

輛A貨車(chē)與4輛B貨車(chē)一次可以運(yùn)貨160噸．

（1）請(qǐng)問(wèn)1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨多少?lài)崳?/p>

（2）目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計(jì)劃安排A、B兩種貨車(chē)將全部貨物一次運(yùn)完(A、B兩種貨車(chē)均滿(mǎn)

載)，其中每輛A貨車(chē)一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車(chē)一次運(yùn)貨花費(fèi)400元．請(qǐng)你列出所有的運(yùn)輸方案，并指

出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少．

【答案】（1）1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸；（2）共有3種租車(chē)方案，方案1：租用

A型車(chē)8輛，B型車(chē)2輛；方案2：租用A型車(chē)5輛，B型車(chē)6輛；方案3：租用A型車(chē)2輛，B型車(chē)10輛；租

用A型車(chē)8輛，B型車(chē)2輛最少．

【分析】

第15頁(yè)共57頁(yè).

（1）設(shè)1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸，根據(jù)“3輛A貨車(chē)與2輛B貨車(chē)一次可以運(yùn)貨90

噸，5輛A貨車(chē)與4輛B貨車(chē)一次可以運(yùn)貨160噸”列方程組求解可得；

（2）設(shè)貨運(yùn)公司安排A貨車(chē)m輛，則安排B貨車(chē)n輛．根據(jù)“共有190噸貨物”列出二元一次方程組，結(jié)合m，

n均為正整數(shù)，即可得出各運(yùn)輸方案．再根據(jù)方案計(jì)算比較得出費(fèi)用最小的數(shù)據(jù)．

【詳解】

解：（1）1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸，

3x2y90

根據(jù)題意可得：，

5x4y160

x20

解得：，

y15

答：1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸；

（2）設(shè)安排A型車(chē)m輛，B型車(chē)n輛，

383n

依題意得：20m+15n=190，即m，

4

又∵m，n均為正整數(shù)，

m8m5m2

∴或或，

n2n6n10

∴共有3種運(yùn)輸方案，

方案1：安排A型車(chē)8輛，B型車(chē)2輛；

方案2：安排A型車(chē)5輛，B型車(chē)6輛；

方案3：安排A型車(chē)2輛，B型車(chē)10輛．

方案1所需費(fèi)用：5008+4002=4800(元)；

方案2所需費(fèi)用：5005+4006=4900(元)；

方案3所需費(fèi)用：5002+40010=5000(元)；

∵4800＜4900＜5000，

∴安排A型車(chē)8輛，B型車(chē)2輛最省錢(qián)，最省錢(qián)的運(yùn)輸費(fèi)用為4800元．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元

一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；根據(jù)據(jù)總費(fèi)用=500×安排A型車(chē)的輛數(shù)+400×B型車(chē)的

輛數(shù)分別求出三種運(yùn)輸方案的總費(fèi)用．

模塊二方程（組）與不等式（組）

第二講一元二次方程及其應(yīng)用

知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程及其解法

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是的，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫標(biāo)準(zhǔn)形式）

第16頁(yè)共57頁(yè).

ax2bxc0，其中ax2叫做，a是二次項(xiàng)的系數(shù)；bx叫做，b是；c

叫。a，b，c是任意實(shí)數(shù)，且a0。

一元二次方程的解法

解法適用情況方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接開(kāi)平方2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法2xnp

xnpp02

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

對(duì)于一元二次方程的四種解法，要結(jié)合方程中的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行選擇，一般地，直接開(kāi)平方法、因式

分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程根的判別式

0方程實(shí)數(shù)根

一元二次方程ax2bxc0

0方程實(shí)數(shù)根

（a0）的判別式=b24ac

0方程實(shí)數(shù)根

易錯(cuò)點(diǎn)：因忽視一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零的隱含條件，導(dǎo)致失分。

如：已知關(guān)于x的一元二次方程ax23x10有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)3：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么xx，xx

1212a12a

知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程的應(yīng)用

實(shí)際數(shù)量-基準(zhǔn)數(shù)量

（1）增長(zhǎng)率=100%

基準(zhǔn)數(shù)量

基準(zhǔn)數(shù)量-降低后達(dá)到數(shù)量

（2）降低率=100%

基準(zhǔn)數(shù)量

變化率問(wèn)題

（3）設(shè)a為原來(lái)的量,m為平均增長(zhǎng)率,n為增長(zhǎng)次數(shù),b為增

n

長(zhǎng)后的量,則a1mb；當(dāng)m為平均下降率,b為下降后的

n

量時(shí),a1mb

本息和=本金+利息

利率問(wèn)題

利息=本金×利率×期數(shù)

毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額-進(jìn)貨總額

純利潤(rùn)=銷(xiāo)售總額-進(jìn)貨總額-其他費(fèi)用

銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本×100%

銷(xiāo)售總額=售價(jià)×銷(xiāo)量

進(jìn)貨總額=進(jìn)價(jià)×進(jìn)貨數(shù)量

若共有n個(gè)隊(duì)，每個(gè)隊(duì)都與其他隊(duì)比賽一場(chǎng)，則一共比賽

單循環(huán)問(wèn)題nn1

場(chǎng)

2

第17頁(yè)共57頁(yè).

直擊中考勝券在握

1．（2021·臨沂中考）方程x2x56的根是（）

，，，，

A．x17x28B．x17x28C．x17x28D．x17x28

【答案】C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正確選項(xiàng)．

【詳解】

解：∵x2x56，

∴x2x560，

∴x7x80，

∴x+7=0，x-8=0，

∴x1=-7，x2=8．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩

個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了．

2．（2021·麗水中考）用配