《MATLAB在自動(dòng)控制中的應(yīng)用》課件第4章

第4章控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)4.1控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

4.2控制系統(tǒng)的頻域分析

4.3控制系統(tǒng)根軌跡法

4.4狀態(tài)空間模型的線性變換及簡(jiǎn)化

4.5狀態(tài)空間法分析

4.6狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)

4.7線性二次型問(wèn)題的最優(yōu)控制

4.1控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

4.1.1基本概念

1.典型輸入信號(hào)控制系統(tǒng)中常用的典型輸入信號(hào)有：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)、單位斜坡（速度）函數(shù)、單位加速度（拋物線）函數(shù)、單位脈沖函數(shù)及正弦函數(shù)。在典型輸入信號(hào)作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都由動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程這兩部分組成。相應(yīng)地，控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的性能指標(biāo)，通常也由動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)這兩部分組成。

2.動(dòng)態(tài)過(guò)程與動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)過(guò)程又稱過(guò)渡過(guò)程或瞬態(tài)過(guò)程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)過(guò)程中所提供的系統(tǒng)響應(yīng)速度和阻尼情況等用動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)描述。通常，在單位階躍函數(shù)作用下，穩(wěn)定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間t變化的指標(biāo)稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。對(duì)于圖4.1所示的單位階躍響應(yīng)h（t），通常定義動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為以下幾種。

1）上升時(shí)間（Risetime）tr

對(duì)于無(wú)振蕩的系統(tǒng)，定義系統(tǒng)響應(yīng)從終值的10%上升到90%所需的時(shí)間為上升時(shí)間;對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，定義響應(yīng)從零第一次上升到終值所需要的時(shí)間為上升時(shí)間。缺省情況下，MATLAB按照第一種定義方式計(jì)算上升時(shí)間，但可以通過(guò)設(shè)置得到第二種方式定義的上升時(shí)間。

圖4.1控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和性能指標(biāo)

2）峰值時(shí)間（Peaktime）tp

響應(yīng)超過(guò)其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間定義為峰值時(shí)間。

3）超調(diào)量（Overshoot）σ%響應(yīng)的最大偏差量h（tp）與終值h（∞）的差與終值h

（∞）之比的百分?jǐn)?shù)，定義為超調(diào)量，即（4.1）

超調(diào)量也稱為最大超調(diào)量或百分比超調(diào)量。

4）調(diào)節(jié)時(shí)間（Settlingtime）ts

響應(yīng)到達(dá)并保持在終值±2%或±5%內(nèi)所需的最短時(shí)間定義為調(diào)節(jié)時(shí)間。缺省情況下，MATLAB計(jì)算動(dòng)態(tài)性能時(shí)，取誤差范圍為±2%，可以通過(guò)設(shè)置得到誤差范圍為±5%時(shí)的調(diào)節(jié)時(shí)間。

3.穩(wěn)態(tài)過(guò)程與穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)過(guò)程又稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。

穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度（或控制精度）的一種度量，也稱為穩(wěn)態(tài)性能。若時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)于圖4.2所示的控制系統(tǒng)，由輸入信號(hào)R（s）至誤差信號(hào)E（s）之間的誤差傳遞函數(shù)為

（4.2）

圖4.2控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖

則系統(tǒng)的誤差信號(hào)為

（4.3）

當(dāng)sE（s）的極點(diǎn)均位于s左半平面（包括原點(diǎn)）時(shí)，應(yīng)用拉氏變換的終值定理可求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

（4.4）

4.控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。若線性定常連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定;反之，若在初始擾動(dòng)影響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析包括連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

1）連續(xù)時(shí)間控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件連續(xù)時(shí)間控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：其閉環(huán)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面。通常，求解控制系統(tǒng)特征方程的特征根（或傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）比較繁瑣困難，所以在控制理論教材中，采用了勞思穩(wěn)定判據(jù)等方法。此法不用求出特征根（或極點(diǎn)），而是直接根據(jù)特征方程的系數(shù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB提供了直接求解代數(shù)方程根的函數(shù)，利用該函數(shù)可以非常方便地求出系統(tǒng)的特征根，

從而判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2）離散時(shí)間控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件離散時(shí)間控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：其閉環(huán)特征根位于z平面上的單位圓周內(nèi)部，即其閉環(huán)特征根的模小于1。當(dāng)然，也可以應(yīng)用Tustin變換將z域特征方程變換到w域，

然后應(yīng)用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法進(jìn)行分析。

4.1.2時(shí)域分析方法

1.系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

MATLAB中，可以使用函數(shù)pzmap（）繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，也可以使用函數(shù)zpkdata（）求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，還可以通過(guò)使用函數(shù)roots（）求閉環(huán)特征方程的根來(lái)確定系統(tǒng)的極點(diǎn)，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，可以使用函數(shù)eig（）求出系統(tǒng)的特征值。2.3節(jié)和3.3節(jié)已經(jīng)分別介紹了函數(shù)roots（），eig（）和zpkdata（）的用法，這里僅介紹函數(shù)pzmap（）。功能：計(jì)算線性定常系統(tǒng)的零極點(diǎn)，并將它們表示在s復(fù)平面上。格式：

pzmap（sys）繪制線性定常系統(tǒng)sys的零極點(diǎn)圖

pzmap（sys1，sys2，…，sysN）在一張零極點(diǎn)圖中同時(shí)繪制N個(gè)線性定常系統(tǒng)sys1，sys2，…，sysN的零極點(diǎn)圖［p，z］＝pzmap（sys）[ZK(]得到線性定常系統(tǒng)的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)值，并不繪制零極點(diǎn)圖

說(shuō)明：①sys描述的系統(tǒng)是線性定常連續(xù)系統(tǒng)和線性定常離散系統(tǒng)。②

零極點(diǎn)圖中，

極點(diǎn)以“×”表示，

零點(diǎn)以“○”表示。

【例4.1】

已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

要求：（1）求出該系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)及增益。（2）

繪制出其零極點(diǎn)圖，

判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【解】首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在MATLAB命令窗口中輸入：>>num＝［3，2，5，4，6］;>>den＝［1，3，4，2，7，2］;>>sys＝tf（num，

den）;%建立傳遞函數(shù)模型

（1）直接提取數(shù)學(xué)模型參數(shù)（見(jiàn)例3.16）。由例3.16的結(jié)果可知，該系統(tǒng)有一對(duì)共軛極點(diǎn)的實(shí)部大于零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）繪制其零極點(diǎn)圖：

>>pzmap（sys）運(yùn)行后得到的零極點(diǎn)圖如圖4.3（a）所示。

圖4.3系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖（a）

不包含網(wǎng)格線;（b）

包含網(wǎng)格線

采用2.5節(jié)介紹的方法，可以在零極點(diǎn)圖中添加網(wǎng)格線。此時(shí)在MATLAB命令窗口中輸入：

>>grid運(yùn)行后就可以在圖4.3（a）中添加網(wǎng)格線,如圖4.3（b）所示。也可以用鼠標(biāo)右鍵單擊圖4.3（a），在彈出的菜單中用鼠標(biāo)左鍵單擊“Grid”，同樣可以得到圖4.3（b）。進(jìn)一步地，若需要顯示所繪制的零點(diǎn)或者極點(diǎn)坐標(biāo)，只需將鼠標(biāo)光標(biāo)在零點(diǎn)或極點(diǎn)處停頓片刻，即可以得到如圖4.3（b）所示的一個(gè)零點(diǎn)坐標(biāo)值。由圖4.3可知，該系統(tǒng)有位于s右半平面的極點(diǎn)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（3）直接求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。在MATLAB命令窗口中輸入：>>p＝pole（sys）運(yùn)行結(jié)果為：p＝

-1.7680+1.2673i-1.7680-1.2673i0.4176+1.1130i0.4176-1.1130i-0.2991（4）應(yīng)用函數(shù)roots（）求其特征根。在MATLAB命令窗口中輸入：>>p＝roots（［1，3，4，2，7，2］）運(yùn)行結(jié)果為:p＝

-1.7680+1.2673i-1.7680-1.2673i0.4176+1.1130i0.4176-1.1130i-0.2991【例4.2】

已知離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>num＝［3-0.39-0.09］;>>den＝［1-1.71.040.2680.024］;>>h＝tf（num，

den，

-1）

%建立離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，

采樣時(shí)間未定義

運(yùn)行結(jié)果為：

Transferfunction:3z^2-0.39z-0.09

z^4-1.7z^3+1.04z^2+0.268z+0.024>>roots（den）%直接求特征根運(yùn)行結(jié)果為:ans＝

0.9553+0.7162i0.9553-0.7162i-0.1053+0.0758i-0.1053-0.0758i>>abs（roots（den））

%求特征根的絕對(duì)值

運(yùn)行結(jié)果為:ans＝

1.19391.19390.12980.1298在MATLAB命令窗口中輸入：>>pzmap（h）

％繪制離散時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖

圖4.4系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖

2.系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

MATLAB提供了線性定常系統(tǒng)（包括連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)）的各種時(shí)間響應(yīng)函數(shù)和各種動(dòng)態(tài)性能分析函數(shù)，

如表4.1所示。

下面對(duì)表4.1的函數(shù)進(jìn)行詳細(xì)介紹。

表4.1時(shí)域分析函數(shù)及功能

格式：step（sys）繪制系統(tǒng)sys的單位階躍響應(yīng)曲線step（sys，T）時(shí)間向量T由用戶指定step（sys1，sys2，…，sysN）在一個(gè)圖形窗口中同時(shí)繪制N個(gè)系統(tǒng)sys1，

sys2，…，sysN的單位階躍響應(yīng)曲線step（sys1，sys2，…，sysN，T）時(shí)間向量T由用戶指定step（sys1，′PlotStyle1′，…，sysN，′PlotStyleN′） 曲線屬性用′PlotStyle′定義［y，t］＝step（sys）求系統(tǒng)sys單位階躍響應(yīng)的數(shù)據(jù)值，包括輸出向量

y及相應(yīng)時(shí)間向量t［y，t，x］＝step（sys）求狀態(tài)空間模型sys單位階躍響應(yīng)的數(shù)據(jù)值， 包括輸出向量y、

狀態(tài)向量x及相應(yīng)時(shí)間向量t說(shuō)明：①線性定常系統(tǒng)sys，sys1，sys2，…，sysN可以為連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益及狀態(tài)空間等模型形式。②缺省時(shí)，響應(yīng)時(shí)間由函數(shù)根據(jù)系統(tǒng)的模型自動(dòng)確定，也可以由用戶指定，由t＝0開(kāi)始，至T結(jié)束。③若系統(tǒng)為狀態(tài)空間模型，則只求其零狀態(tài)響應(yīng)。④不包含返回值時(shí)，只在屏幕上繪制曲線。⑤

也可以繪制離散時(shí)間系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。

（1）單位階躍響應(yīng)曲線的繪制?！纠?.3】

已知典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

其中，自然頻率ωn＝6，繪制當(dāng)阻尼比ζ＝0.1，0.2，0.707，1.0，2.0時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>wn＝6;>>kosi＝［0.1，0.2，0.707，1.0，2.0］;>>holdon;>>forkos＝kosinum＝wn.^2;den＝［1，2*kos*wn，wn.^2］;step（num，den）end %在MATLAB命令窗口中執(zhí)行循環(huán)語(yǔ)句，后4條 命令前沒(méi)有“>>”提示符，下同運(yùn)行后得到的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4.5所示。也可以應(yīng)用下述MATLAB命令繪制階躍響應(yīng)曲線:

>>step（tf（num，den））

圖4.5系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

【例4.4】

已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

繪制其單位階躍響應(yīng)曲線。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>a＝［-1.6，-0.9，0，0;0.9，0，0，0;0.4，0.5，-5.0，-2.45;0，0，

2.45，0］;>>b＝［1;0;1;0］;>>c＝［1，1，1，1］;>>d＝［0］;>>sys＝ss（a，b，c，d）;>>step（sys）

圖

4.6例4.4單位階躍響應(yīng)曲線

【例4.5】已知雙輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

繪制其單位階躍響應(yīng)曲線。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>a＝［-0.5572-0.7814;0.78140］;b＝［1-1;02］;c＝［1.96916.4493］;d＝［0，0］;>>sys＝ss（a，b，c，d）;>>step（sys）

圖4.7例4.5的單位階躍響應(yīng)曲線

【例4.6】

已知兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為

繪制它們的單位階躍響應(yīng)曲線。【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>G1＝tf（［124］，［11054］）;>>G2＝tf（［32］，［272］）;>>step（G1，

′ro′，

G2，

′b*′）

運(yùn)行后得到單位階躍響應(yīng)曲線如圖4.8（a）所示。圖中，G1（s）的單位階躍響應(yīng)曲線為紅色（“r”），曲線上帶有“○”數(shù)據(jù)點(diǎn)型;G2（s）的單位階躍響應(yīng)曲線為綠色（“b”）,曲線上帶有“*”數(shù)據(jù)點(diǎn)型。若將繪制單位階躍響應(yīng)曲線的MATLAB命令改寫(xiě)為

>>step（G1，′-′，G2，′-.′）則G1（s）的單位階躍響應(yīng)曲線為實(shí)線，系統(tǒng)G2（s）的單位階躍響應(yīng)曲線為點(diǎn)劃線（見(jiàn)圖4.8（b））。圖4.8例4.6所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線（a）

設(shè)置了顏色和線型;（b）

設(shè)置了數(shù)據(jù)點(diǎn)型;（c）

得到曲線上的坐標(biāo)值

（2）

根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線確定動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。

圖4.9根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線確定動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)（a）

確定動(dòng)態(tài)性能指標(biāo);（b）

階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義

圖4.10在曲線上確定峰值響應(yīng)的方法

（3）階躍響應(yīng)時(shí)間的設(shè)置。

MATLAB會(huì)根據(jù)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)選擇階躍響應(yīng)的時(shí)間范圍，也可以由用戶指定仿真時(shí)間的長(zhǎng)度。下面仍以例4.6為例來(lái)說(shuō)明。在MATLAB命令窗口中輸入：

>>step（G1，′-′，G2，′-.′，50）

%指定響應(yīng)時(shí)間為0～50s運(yùn)行后得到如圖4.11所示的階躍響應(yīng)曲線。

圖4.11指定響應(yīng)時(shí)間為50s時(shí)的響應(yīng)曲線

（4）在同一繪圖窗口繪制多條階躍響應(yīng)曲線。繪制階躍響應(yīng)曲線時(shí)，若函數(shù)step（）中包含了多個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，缺省情況下，MATLAB會(huì)將所有數(shù)學(xué)模型的曲線繪制在一個(gè)圖形窗口中，且共用一個(gè)坐標(biāo)軸，如圖4.10所示。如果需要將兩條以上的階躍響應(yīng)曲線繪制在同一圖形窗口的不同子圖中，就要采用2.5節(jié)介紹的圖形窗口分割函數(shù)subplot（）將圖形窗口進(jìn)行分割，然后再繪制曲線。下面仍以例4.6為例，介紹如何將兩條階躍響應(yīng)曲線繪制在同一圖形窗口的兩個(gè)子圖中。請(qǐng)讀者比較一下下述幾種繪制階躍響應(yīng)曲線的命令及得到的結(jié)果。

①將圖形窗口分割成1行2列。在MATLAB命令窗口中輸入：>>subplot（1，2，1），step（tf（［124］，［11054］），′ro-′）;>>subplot（1，2，2），step（tf（［32］，［272］），′*′）;運(yùn)行后得到的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4.12（a）所示。②將圖形窗口分割成2行1列。在MATLAB命令窗口中輸入：>>subplot（2，1，1），step（tf（［124］，［11054］），′ro-′）;>>subplot（2，1，2），step（tf（［32］，［272］），′*-′）;運(yùn)行后得到的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4.12（b）所示。

③將圖形窗口分割成2行2列并在指定區(qū)域繪圖。在MATLAB命令窗口中輸入：>>subplot（2，2，1），step（tf（［124］，［11054］），′ro-′）;>>subplot（2，

2，

4），

step（tf（［32］，

［272］），

′*-′）;運(yùn)行后得到的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4.12（c）所示。

圖4.12在子圖中繪制階躍響應(yīng)曲線示意圖（a）圖形窗口分割成1行2列;（b）圖形窗口分割成2行1列（c）

圖形窗口分割成2行2列并在指定區(qū)域繪圖

2）函數(shù)dstep（）功能：求線性定常離散系統(tǒng)（單輸入單輸出或多輸入多輸出）的單位階躍響應(yīng)。格式：dstep（num，den）繪制單輸入單輸出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線dstep（nem，den，N）繪制單輸入單輸出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，且響應(yīng)點(diǎn)數(shù)N由用戶定義dstep（a，b，c，d，iu）繪制多輸入多輸出系統(tǒng)第iu個(gè)輸入信號(hào)作用下的單位階躍響應(yīng)曲線dstep（a，b，c，d，iu，N）繪制多輸入多輸出系統(tǒng)第iu個(gè)輸入信號(hào)下的單位響應(yīng)曲線，且響應(yīng)點(diǎn)數(shù)N由用戶定義［y，x］＝dstep（a，b，c，d，…）求多輸入多輸出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)值［y，x］＝dstep（num，den，…）求單輸入單輸出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)值

說(shuō)明：①這里的系統(tǒng)指線性定常離散系統(tǒng)。②單輸入單輸出系統(tǒng)只需給出傳遞函數(shù)分子向量和分母向量num，den;多輸入多輸出系統(tǒng)只需給出a，b，c和d陣即可。③缺省時(shí)響應(yīng)點(diǎn)數(shù)由MATLAB自動(dòng)選取。④不包含返回值時(shí)，只在屏幕上繪制響應(yīng)曲線;包含返回值y和x時(shí)，分別表示輸出向量y和狀態(tài)向量x的時(shí)間序列矩陣，

此時(shí)不繪制曲線，

只給出響應(yīng)數(shù)據(jù)值。

【例4.7】

已知線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

繪制其單位階躍響應(yīng)曲線。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>num＝［2，-3.4，1.5］;>>den＝［1，-1.6，0.8］;>>dstep（num，

den）

圖4.13離散時(shí)間控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線（a）

采用缺省離散點(diǎn)數(shù);（b）

指定離散點(diǎn)數(shù)

用戶可根據(jù)實(shí)際需要定義響應(yīng)點(diǎn)數(shù)N。將繪圖命令改寫(xiě)為>>dstep（num，den，70）%定義離散點(diǎn)個(gè)數(shù)為70運(yùn)行后得到的單位階躍響應(yīng)曲線如圖4.13（b）所示。

例4.8】

線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

繪制其單位階躍響應(yīng)曲線?！窘狻?/p>

在MATLAB命令窗口中輸入:>>a＝［-0.5572-0.7814;0.78140］;b＝［1-1;02］;c＝［1.96916.4493］;d＝［0］;>>dstep（a，

b，

c，

d）

>>dstep（a，b，c，d，1）運(yùn)行后得到的曲線如圖4.14（b）所示。

圖4.14單位階躍響應(yīng)曲線（a）

缺省繪制;（b）

指定輸入變量

3）函數(shù)stepplot（）功能：繪制線性定常系統(tǒng)（單輸入單輸出或多輸入多輸出）的單位階躍響應(yīng)（多輸入多輸出系統(tǒng)需對(duì)每一個(gè)輸入通道施加獨(dú)立的階躍輸入指令），并返回名稱為h的句柄圖形（handlegraphics）。

格式：h＝stepplot（sys）繪制sys的單位階躍響應(yīng)曲線并返回句柄圖形hh＝stepplot（sys，Tfinal）響應(yīng)時(shí)間為t＝0至t＝Tfinalh＝stepplot（sys，T）T為指定時(shí)間向量h＝stepplot（sys1，sys2，…，T）在一個(gè)圖形窗口中同時(shí)繪制系統(tǒng)sys1， sys2，…，的單位階躍響應(yīng)曲線并返 回句柄圖形h，時(shí)間向量T由用戶指定h＝stepplot（…，plotoptions）繪制單位階躍響應(yīng)曲線并返回句柄圖形

h，字符串“plotoptions”用來(lái)指定曲線的屬性說(shuō)明：①用戶可以通過(guò)返回的句柄h，在MATLAB命令窗口中應(yīng)用“setoptions”命令設(shè)置或修改圖形的屬性,也可以應(yīng)用“getoptions”命令得到當(dāng)前曲線的屬性。②函數(shù)stepplot（）同時(shí)適用于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)。③其他輸入?yún)?shù)的含義同函數(shù)step（）。④可設(shè)置或修改的圖形屬性可以通過(guò)在MATLAB命令窗口中輸入“helptimeoptions”命令來(lái)得到。⑤

也可以省略返回的句柄圖形h，

此時(shí)其功能和用法與函數(shù)step（）相同。

【例4.9】函數(shù)stepplot（）的應(yīng)用例子。對(duì)于例4.6所示的兩個(gè)線性定常系統(tǒng)

繪制其單位階躍響應(yīng)曲線，并應(yīng)用函數(shù)stepplot（）修改其屬性?！窘狻吭贛ATLAB命令窗口中輸入：>>G1＝tf（［124］，［11054］）;G2＝tf（［32］，［272］）;>>h＝stepplot（G1，′－′，G2，′－.′）;運(yùn)行后同樣得到單位階躍響應(yīng)曲線如圖4.8（b）所示。

通過(guò)下述MATLAB命令對(duì)圖4.8（b）中上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間的定義進(jìn)行修改:>>setoptions（h，′risetimelimits′，［01.0］）%定義響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值 ％的0第一次上升到100％ %所需要的時(shí)間為上升時(shí)間>>setoptions（h，′settletimethreshold′，0.05）

%定義誤差范圍為±5%還可以按照下述方法將圖形的標(biāo)題由缺省的“StepResponse”修改為“階躍響應(yīng)曲線”:>>p＝getoptions（h）;

%得到曲線的選項(xiàng)>>p.Title.String＝′階躍響應(yīng)曲線′;%改變選項(xiàng)中的圖形標(biāo)題

>>setoptions（h，

p）;

%將選項(xiàng)應(yīng)用于曲線

圖4.15修改屬性后的單位階躍響應(yīng)曲線

4）函數(shù)impulse（）功能：求線性定常系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。格式：impulse（sys）繪制系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)曲線impulse（sys，T）響應(yīng)時(shí)間T由用戶指定impulse（sys1，sys2，…，sysN）在同一個(gè)圖形窗口中繪制N個(gè)系統(tǒng)sys1， sys2，…，sysN的單位脈沖響應(yīng)曲線impulse（sys1，sys2，…，sysN，T）響應(yīng)時(shí)間T由用戶指定impulse（sys1，′PlotStyle1′，…，sysN，′PlotStyleN′） 曲線屬性用′PlotStyle′定義［y，t］＝impulse（sys）求系統(tǒng)sys單位脈沖響應(yīng)的數(shù)據(jù)值，包括 輸出向量y及相應(yīng)時(shí)間向量t［y，t，x］＝impulse（sys）求狀態(tài)空間模型sys單位脈沖響應(yīng)的 數(shù)據(jù)值，

包括輸出向量y，

狀態(tài)向量x及相應(yīng)時(shí)間向量t說(shuō)明：①線性定常系統(tǒng)sys，sys1，sys2，…，sysN可以為傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益及狀態(tài)空間等模型形式。②缺省時(shí)，響應(yīng)時(shí)間由函數(shù)根據(jù)系統(tǒng)的模型自動(dòng)確定,也可以由用戶指定，由t＝0開(kāi)始，至T秒結(jié)束。③對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模型，輸入信號(hào)為單位脈沖函數(shù)δ（t），對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)模型，輸入函數(shù)為單位脈沖序列。④

有關(guān)其他參數(shù)的說(shuō)明與函數(shù)step（）的相同。

【例4.10】已知兩個(gè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為

繪制它們的脈沖響應(yīng)曲線?！窘狻?/p>

在MATLAB命令窗口中輸入：

>>G1＝tf（［124］，［11054］）;G2＝tf（［32］，［272］）;>>impulse（G1，′ro′，G2，′b*′）%G1曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)型為“o”，G2

曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)型為“*”圖

4.16例4.10的單位脈沖響應(yīng)曲線

5）函數(shù)dimpulse（）功能：求線性定常離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。格式：dimpulse（num，den）繪制單輸入單輸出系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線dimpulse（num，den，N）繪制單輸入單輸出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，且響 應(yīng)點(diǎn)數(shù)N由用戶定義dimpulse（a，b，c，d，iu）繪制多輸入多輸出系統(tǒng)第iu個(gè)輸入信號(hào)作 用下的單位脈沖響應(yīng)曲線dimpulse（a，b，c，d，iu，N）繪制多輸入多輸出系統(tǒng)第iu個(gè)輸入信 號(hào)下的單位響應(yīng)曲線，且響應(yīng)點(diǎn)數(shù)由用戶定義［y，x］＝dimpulse（a，b，c，d，…）求多輸入多輸出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 數(shù)據(jù)值［y，x］＝dimpulse（num，den，…）求單輸入單輸出系統(tǒng)的單位階躍 響應(yīng)數(shù)據(jù)值

說(shuō)明：①這里的系統(tǒng)指線性定常離散系統(tǒng)。②num，den，a，b，c和d的含義與函數(shù)dstep（）的相同。③缺省時(shí)響應(yīng)點(diǎn)數(shù)由MATLAB自動(dòng)選取。④不包含返回值時(shí)，只在屏幕上繪制響應(yīng)曲線;包含返回值y和x時(shí)，分別表示輸出向量y和狀態(tài)向量x的時(shí)間序列矩陣，

此時(shí)不繪制曲線，

只給出響應(yīng)數(shù)據(jù)值。

【例4.11】

已知線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

計(jì)算并繪制其脈沖響應(yīng)曲線?！窘狻吭贛ATLAB命令窗口中輸入：>>num＝［124］;den＝［11054］;>>dimpulse（num，

den）

圖4.17例4.11的單位脈沖響應(yīng)

【例4.12】

線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

繪制其脈沖響應(yīng)曲線。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：

>>a＝［-0.5572-0.7814;0.78140］;b＝［1-1;02］;c＝［1.96916.4493］;d＝［0，0］;

>>dimpulse（a，b，c，d）運(yùn)行后得到的單位脈沖響應(yīng)曲線如圖4.18（a）所示。若只需繪制圖4.18（a）中兩條曲線中的第一條，可將上述命令改寫(xiě)為>>dimpulse（a，

b，

c，

d，

1）

圖4.18例4.12的單位脈沖響應(yīng)曲線（a）

兩個(gè)輸入序列同時(shí)作用;（b）第1個(gè)輸入序列作用

6）函數(shù)impulseplot（）功能：繪制線性定常連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)曲線，并返回句柄圖形h。格式：h＝impulseplot（sys）繪制系統(tǒng)sys的單位脈沖響應(yīng)曲線并 返回句柄圖形hh＝impulseplot（sys，Tfinal）響應(yīng)時(shí)間為t＝0至t＝Tfinalh＝impulseplot（sys，T）T為用戶指定時(shí)間向量h＝impulseplot（sys1，sys2，…，T）在一個(gè)圖形窗口中同時(shí)繪制系統(tǒng)sys1，sys2，…，的單位階躍響應(yīng)曲線并返回句柄圖形h，時(shí)間向量T由用戶指定

h＝impulseplot（…，plotoptions） 繪制單位階躍響應(yīng)曲線并返回句柄圖形h， 字符串“plotoptions”用來(lái)指定曲線的屬性說(shuō)明：①用戶可以通過(guò)返回的句柄圖形h，在MATLAB命令窗口中應(yīng)用“setoptions”命令設(shè)置或修改圖形的屬性,也可以應(yīng)用“getoptions”命令得到當(dāng)前曲線的屬性。②該函數(shù)同時(shí)適用于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)。③其他輸入?yún)?shù)的含義同函數(shù)impulse（）。④可設(shè)置或修改的圖形屬性可以通過(guò)在MATLAB命令窗口中輸入“helptimeoptions”命令來(lái)得到。⑤也可以省略返回的句柄圖形h，此時(shí)其功能和用法與函數(shù)impulse（）相同。函數(shù)impulseplot（）的應(yīng)用方法與函數(shù)stepplot（）的相同。

7）函數(shù)initial（）功能：求線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的的零輸入響應(yīng)（即初始條件響應(yīng)）。格式：

initial（sys，x0）繪制系統(tǒng)sys在初始條件x0作用下的響應(yīng)曲線

initial（sys，x0，T）

initial（sys1，sys2，…，sysN，x0）

initial（sys1，sys2，…，sysN，x0，T）

initial（sys1，′PlotStyle1′，…，sysN，′PlotStyleN′，x0）［y，t，x］＝initial（sys，x0）說(shuō)明：①該函數(shù)同時(shí)適用于線性定常連續(xù)系統(tǒng)和線性定常離散系統(tǒng)。②sys，sys1，sys2，…，sysN，T，PlotStyle1，y，t，x等參數(shù)的含義同函數(shù)step（）。

【例4.13】已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型和初始條件分別為

繪制其零輸入響應(yīng)曲線。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>a＝［-0.5572，-0.7814;0.7814，0］;b=［0;0］;>>c＝［1.9691，6.4493］;d=［0］;>>x0＝［1;0］;>>sys＝ss（a，b，c，d）;>>initial（sys，x0）運(yùn)行后得到的零輸入響應(yīng)曲線如圖4.19所示。

圖4.19例4.13的零輸入響應(yīng)曲線

8）函數(shù)dinitial（）功能：計(jì)算線性定常離散時(shí)間狀態(tài)空間模型的零輸入響應(yīng)。格式：dinitial（a，b，c，d，x0）繪制系統(tǒng)（a,b,c,d）在初始 條件x0作用下的響應(yīng)曲線dinitial（a，b，c，d，x0，N）響應(yīng)點(diǎn)數(shù)N由用戶定義［y，x，N］＝dinitial（a，b，c，d，x0，…）不繪制曲線，返回輸出向量y，狀態(tài)向量x和響應(yīng)點(diǎn)數(shù)N的數(shù)據(jù)值說(shuō)明：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型只能以離散時(shí)間狀態(tài)空間模型形式給出。

【例4.14】已知線性離散時(shí)間控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型和初始條件分別為

采樣周期Ts＝0.1s，初始條件，繪制其零輸入響應(yīng)曲線?！窘狻吭贛ATLAB命令窗口中輸入：>>A＝［0.9429，-0.07593;0.07593，0.997］;B＝［0;0］;>>C＝［1.9696.449］;D＝0;>>x0＝［1;0］;>>dinitial（a，

b，

c，

d，

x0）;圖4.20例4.14的零輸入響應(yīng)曲線

9）函數(shù)initialplot（）功能：繪制線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間模型在初始條件x0作用下的零輸入響應(yīng)曲線，并返回句柄圖形h。格式：h＝initialplot（sys，x0）繪制系統(tǒng)sys在初始條件作用下的響應(yīng)曲 線并返回句柄圖形hh＝initialplot（sys，x0，Tfinal）響應(yīng)時(shí)間為t＝0至t＝Tfinalh＝initialplot（sys，x0，T）T為用戶指定時(shí)間向量h＝initialplot（sys1，sys2，…，x0，T）在一個(gè)圖形窗口中同時(shí)繪制系統(tǒng)sys1，sys2，…，在初始條件作用下的響應(yīng)曲線h＝initialplot（…，plotoptions）字符串“plotoptions”用來(lái)指定曲線的屬性

說(shuō)明：①該函數(shù)同時(shí)適用于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)。②也可以省略返回的句柄圖形h，此時(shí)其功能和用法與函數(shù)initial（）相同。③

其他用法與函數(shù)stepplot（）相同。

10）函數(shù)gensig（）功能：產(chǎn)生用于函數(shù)lsim（）的試驗(yàn)輸入信號(hào)。格式：［u，t］＝gensig（type，tau）產(chǎn)生以tau（單位為秒）為周期并由type確定形式的標(biāo)量信號(hào)u;t為由采樣周期組成的矢量;矢量u為這些采樣周期點(diǎn)的信號(hào)值［u，t］＝gensig（type，tau，Tf，Ts）Tf指定信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，Ts為采樣周期t之間的間隔

說(shuō)明：①由type定義的信號(hào)形式包括：′sin′為正弦波，′square′為方波，′pulse′為周期性脈沖。②返回值為數(shù)據(jù)，并不繪制波形圖。③

函數(shù)lism（）的用法見(jiàn)其后。

【例4.15】用函數(shù)gensig（）產(chǎn)生周期為5s，持續(xù)時(shí)間為30s，每0.1s采樣一次的正弦波。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>［u，t］＝gensig（′sin′，5，30，0.1）;%返回值為數(shù)據(jù)>>plot（t，u）;％根據(jù)返回值繪制波形圖>>axis（［030-22］）

％重新定義坐標(biāo)軸的量程

圖4.21正弦波信號(hào)

11）函數(shù)lism（）功能：求線性定常系統(tǒng)在任意輸入信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)。格式：lsim（sys，u，t）繪制系統(tǒng)sys的時(shí)間響應(yīng)曲線，輸入信號(hào)由u和t定 義，其含義見(jiàn)函數(shù)gensig（）的返回值lsim（sys，u，t，x0）繪制系統(tǒng)在給定輸入信號(hào)和初始條件x0同時(shí)作 用下的響應(yīng)曲線lsim（sys，u，t，x0，′zoh′）指定采樣點(diǎn)之間的插值方法為零階保 持器（zoh）

lsim（sys，u，t，x0，′foh′）指定采樣點(diǎn)之間的插值方法為一階 保持器（foh）

lsim（sys1，sys2，…，sysN，u，t）繪制N個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線

lsim（sys1，sys2，…，sysN，u，t，x0） 繪制N個(gè)系統(tǒng)在給定輸入信號(hào)和初始條件x0同時(shí)作用下的響應(yīng)曲線lsim（sys1，′PlotStyle1′，…，sysN，′PlotStyleN′，u，t） 曲線屬性用′PlotStyle′定義［y，t，x］＝lsim（sys，u，t，x0）y，t，x的含義同函數(shù)step（）

說(shuō)明：①u和t由函數(shù)gensig（）產(chǎn)生，用來(lái)描述輸入信號(hào)特性，t為時(shí)間區(qū)間，u為輸入向量，其行數(shù)應(yīng)與輸入信號(hào)個(gè)數(shù)相等。②缺省時(shí)，函數(shù)lsim（）根據(jù)輸入信號(hào)u的平滑度自動(dòng)選擇采樣點(diǎn)之間的插值方法。用戶也可以指定采樣點(diǎn)之間的插值方法。③

在所繪制的響應(yīng)曲線中還繪制了輸入信號(hào)的波形。

【例4.16】

已知線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為

求其在指定方波信號(hào)作用下的響應(yīng)?！窘狻吭贛ATLAB命令窗口中輸入：>>［u，t］＝gensig（′square′，4，10，0.1）;>>G1＝tf（［251］，［123］）;G2＝tf（［1-1］，［115］）;>>lsim（G1，G2，′.′，u，t）運(yùn)行后得到的響應(yīng)曲線如圖4.22所示。

圖4.22例4.16指定方波信號(hào)作用下的響應(yīng)曲線

12）函數(shù)dlsim（）功能：求線性定常離散系統(tǒng)在任意輸入下的響應(yīng)。格式：

dlsim（a，b，c，d，u）繪制系統(tǒng)（a，b，c，d）在輸入序列u作用下的響應(yīng)曲線

dlsim（num，den，u）繪制分子向量和分母向量分別為num和den的脈沖傳遞函數(shù)模型在輸入序列u作用下的響應(yīng)曲線［y，x］＝dlsim（a，b，c，d，u）［y，x］＝dlsim（num，den，u）說(shuō)明：返回值y，x分別表示在MATLAB的命令窗口中依次得到的輸出向量y和狀態(tài)向量x的數(shù)據(jù)值，此時(shí)不繪制曲線，只給出解析結(jié)果。

13）函數(shù)lsimplot（）功能：求線性定常系統(tǒng)在任意輸入信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)，并返回句柄圖形h。格式：

h＝lsimplot（sys，u，t）繪制系統(tǒng)sys的時(shí)間響應(yīng)曲線并返回句柄圖形h，輸入信號(hào)由u和t定義，其含義見(jiàn)函數(shù)gensig（）的返回值

h＝lsimplot（sys，u，t，x0）繪制系統(tǒng)sys的時(shí)間響應(yīng)曲線并返回句柄圖形h，輸入信號(hào)由u和t定義，x0為初始條件

h＝lsimplot（sys1，sys2，…，u，t）繪制系統(tǒng)sys1，sys2，

…的時(shí)間響應(yīng)曲線并返回句柄圖形hh＝lsimplot（sys1，sys2，…，u，t，x0）繪制系統(tǒng)sys1，sys2，…的時(shí)間響應(yīng)曲線并返回句柄圖形h，輸入信號(hào)由u和t定義，x0為初始條件h＝lsimplot（…，plotoptions）字符串“plotoptions”用來(lái)指定曲線的屬性h＝lsimplot（sys，u，t，x0，′zoh′）指定采樣點(diǎn)之間的插值方法為零階保持h＝lsimplot（sys，u，t，x0，′foh′）指定采樣點(diǎn)之間的插值方法為線性插值說(shuō)明：①用戶可以通過(guò)所返回的句柄h，在MATLAB命令窗口中應(yīng)用“setoptions”命令設(shè)置或修改圖形的屬性，也可以應(yīng)用“getoptions”命令得到當(dāng)前曲線的屬性。②該函數(shù)同時(shí)適用于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)。③也可以省略返回的句柄圖形h，此時(shí)其功能和用法與函數(shù)lsim（）相同。④

其應(yīng)用方法與stepplot（）相同。

3.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析主要是指穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算。如前所示，只有當(dāng)sE（s）的極點(diǎn)均位于s左半平面（包括原點(diǎn)）時(shí)，才可以根據(jù)拉氏變換的終值定理，應(yīng)用式（4.4）求取系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差通常多采用靜態(tài)誤差系數(shù)法。設(shè)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)，則靜態(tài)誤差系數(shù)的定義如下:

(1）

靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp：

（4.5）

(2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv:（4.6）

(3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka:（4.7）

可見(jiàn)，計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是求極限問(wèn)題，MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中提供了求極限的函數(shù)limit（），其調(diào)用格式及功能如表4.2所示。

表4.2求極限函數(shù)limit()的用法

4.2控制系統(tǒng)的頻域分析

4.2.1基本概念

1.頻率特性設(shè)穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G（s），在諧波輸入信號(hào)r（t）＝Asin（ωt+φ）作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出為css(t)=A｜G(jω)｜sin(ωt+φ+∠G(jω))定義在諧波輸入作用下，式（4.8）中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值之比｜G(jω)｜為幅頻特性，相位之差∠G(jω)為相頻特性，并稱｜G(jω)｜∠G(jω)（即G（jω))為系統(tǒng)的頻率特性。

G（jω）還可表示為

2.頻率特性的幾何表示

(1）幅相頻率特性曲線（NyquistDiagram）也稱為幅相曲線、極坐標(biāo)圖或奈奎斯特曲線。它以橫軸為實(shí)軸，以縱軸為虛軸構(gòu)成復(fù)平面。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率ω由-∞變化至+∞時(shí)，向量G（jω）的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的軌跡就是幅相曲線。由于幅頻特性為ω的偶函數(shù)，相頻特性為ω的奇函數(shù)，則ω從0變化至+∞和ω從0變化至-∞的幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，因而一般只繪制ω從0變化至+∞的幅相曲線。

(2）對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱為伯德曲線或伯德圖（BodeDiagram），它由對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線組成，是工程中廣泛使用的一組曲線。兩條曲線的橫坐標(biāo)相同，均按照l(shuí)gω分度，單位為弧度/秒（rad/s）。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)按照L（ω）＝20lg|G（jω）|線性分度，單位為分貝（dB）;對(duì)數(shù)相頻特性曲線的縱坐標(biāo)按照∠G（jω）線性分度，單位為度（°）。

(3）對(duì)數(shù)幅相曲線又稱尼柯?tīng)査骨€或尼柯?tīng)査箞D（NicholsChart）。其特點(diǎn)是縱坐標(biāo)為L(zhǎng)（ω），單位為分貝（dB）;橫坐標(biāo)為∠G（jω），單位為度（°）;頻率ω為參變量。

3.頻域穩(wěn)定性分析

頻域分析法中的一個(gè)重要內(nèi)容是穩(wěn)定性分析。穩(wěn)定性分析包括線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別和穩(wěn)定裕度的計(jì)算。頻域穩(wěn)定性的判別依據(jù)是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。穩(wěn)定裕度包括相角裕度γ和幅值裕度h。它們的定義分別如下（見(jiàn)圖4.23）：

圖4.23穩(wěn)定裕度的定義（a）幅相頻率特性曲線上穩(wěn)定裕度的定義;（b）對(duì)數(shù)頻率特性曲線上穩(wěn)定裕度的定義

(1）相角裕度γ。設(shè)系統(tǒng)的截止頻率為ωc，即|G(jωc)H(jωc)|=1（4.10）

定義相角裕度為

γ=180°+∠G(jωc)H(jωc)（°）

（4.11）

(2）

幅值裕度h。設(shè)系統(tǒng)的穿越頻率為ωx，

即

∠G(jωx)H(jωx)=(2k+1)π(k=0,±1,…)（4.12）

定義幅值裕度為

（4.13）

對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，幅值裕度定義如下

h=-20log｜G(jωx)H(jωx)｜

(dB)（4.14）

MATLAB提供了大量的繪制線性定常系統(tǒng)頻率特性曲線的函數(shù)，有些函數(shù)在繪制頻率特性曲線的同時(shí)，還給出了系統(tǒng)是否穩(wěn)定以及穩(wěn)定裕度的信息。

4.2.2頻域分析方法

表4.3系統(tǒng)頻率響應(yīng)繪制及分析函數(shù)列表

1.函數(shù)allmargin（）功能：計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度及截止頻率（或穿越頻率）。格式：

S＝allmargin（sys）提供單輸入單輸出開(kāi)環(huán)模型sys的

說(shuō)明：①返回變量S包括：

·GMFrequency：對(duì)數(shù)相頻特性曲線與－180°線相交的穿越頻率ωx（單位為弧度/秒(rad/s)）;

·GainMargin：幅值裕度，其單位不是分貝（dB），若采用分貝表示，則需按照20×lg（GainMargin）進(jìn)行換算;

·PMFrequency：對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與0dB線相交的截止頻率ωc（單位為rad/s）;

·PhaseMargin：相位裕度（單位為°(度)）;

·DelayMargin（DMFrequency）：延遲裕度（連續(xù)系統(tǒng)時(shí)單位為s，離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)為采樣周期的倍數(shù)）及相應(yīng)的臨界頻率（單位為rad/s）;

·Stable：相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（含臨界穩(wěn)定）時(shí)其值為1，否則為0。②當(dāng)輸出為無(wú)窮大時(shí)，用inf表示。③sys不能為頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)模型。④

該函數(shù)適用于任何單輸入單輸出系統(tǒng)。

【例4.17】

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

計(jì)算其穩(wěn)定裕度及相應(yīng)的穿越頻率ωx和截止頻率ωc。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>num＝［8，0.8］;>>den＝［152019150］;>>sys＝tf（num，den）;

%建立傳遞函數(shù)模型>>S＝allmargin（sys）

運(yùn)行結(jié)果為:S＝

GainMargin:5.4337GMFrequency:1.8856PhaseMargin:117.7136PMFrequency:0.0633DelayMargin:32.4813DMFrequency:0.0633

Stable:1將穩(wěn)定裕度表示為分貝（dB）形式。在MATLAB命令窗口中輸入：

>>20*log10（5.4337）運(yùn)行結(jié)果為:ans＝

14.7019即，幅值裕度h＝5.4337（或14.7019dB），穿越頻率ωx＝1.8856弧度/秒，相位裕度γ＝117.7136°，截止頻率ωc＝0.0633弧度/秒。2.函數(shù)bode（）功能：計(jì)算并繪制線性定常連續(xù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線（即Bode圖）。格式：

bode（sys）繪制系統(tǒng)sys的Bode圖

bode（sys，w）繪制系統(tǒng)sys的Bode圖，頻率范圍由向量w指定

bode（sys1，sys2，…，sysN）在同一個(gè)圖形窗口中繪制系統(tǒng)sys1，sys2，…，sysN的Bode圖

bode（sys1，sys2，…，sysN，w）在同一個(gè)圖形窗口中繪制系統(tǒng)sys1，sys2，…，sysN的Bode圖，頻率范圍由向量w指定

bode（sys1，′PlotStyle1′，…，sysN，′PlotStyleN′） ′PlotStyle′用來(lái)指定所繪制曲線的屬性［mag，phase，w］＝bode（sys）得到幅值向量mag，相位向量phase（度）及相應(yīng)頻率向量w的數(shù)據(jù)值，

但不繪制曲線

說(shuō)明：①缺省情況下，頻率范圍由MATLAB根據(jù)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)確定，也可由用戶利用向量w指定，其用法為w＝{wmin，wmax}。②系統(tǒng)sys既可以為單輸入單輸出系統(tǒng)，還可以為多輸入多輸出系統(tǒng)，其形式可以為傳遞函數(shù)模型、零極點(diǎn)增益模型或狀態(tài)空間模型。③不包含返回值時(shí)，

只在屏幕上繪制曲線。

【例4.18】

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為

將它們的Bode圖繪制在一張圖中?！窘狻吭贛ATLAB命令窗口中輸入：>>G1＝tf（［1］，［51］）;>>G2＝tf（［0.3］，［514］）;>>G3＝tf（［0.6］，［11］）;>>bode（G1，′o′，

G2，

′^′，

G3，′>′）;圖4.24例4.18系統(tǒng)的Bode圖

【例4.19】

線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

繪制其Bode圖。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>G＝tf（［10.17.5］，［10.12900］）;>>bode（G）

1）曲線上任一點(diǎn)參數(shù)值的確定用鼠標(biāo)左鍵單擊圖4.25中對(duì)數(shù)頻率特性曲線上的任一點(diǎn)，可得到單擊點(diǎn)的對(duì)數(shù)幅頻（或?qū)?shù)相頻）值及相應(yīng)的頻率值;用鼠標(biāo)左鍵按住并移動(dòng)圖中的“■”，還可以得到“■”所到達(dá)點(diǎn)的對(duì)數(shù)幅頻（或?qū)?shù)相頻）值及相應(yīng)的頻率值。

圖4.25Bode圖繪制及屬性設(shè)置示例

2）曲線顯示屬性的設(shè)置用鼠標(biāo)右鍵單擊圖4.25圖形框中任一處，彈出如圖4.26所示菜單，“Show”表示在圖形窗口中顯示對(duì)數(shù)幅頻特性曲線（Magnitude）和對(duì)數(shù)相頻特性曲線（Phase）。若只需顯示其中的任意一條曲線而隱藏另外一條，則取掉不顯示曲線前面的“√”即可。圖4.27為選擇只顯示對(duì)數(shù)相頻特性曲線（Phase）后得到的結(jié)果。

圖4.26在Bode圖上單擊右鍵彈出的菜單圖

4.27對(duì)數(shù)相頻特性曲線

3）添加網(wǎng)格線與前述相同，Bode圖中添加網(wǎng)格線的方法是，在圖4.26的彈出菜單中選中“Grid”，就可以為所繪制的曲線添加網(wǎng)格線。

【例4.20】

已知線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

繪制其Bode圖。

圖4.28例4.20的Bode圖（a）

缺省繪制;（b）

指定ω變化范圍

若還需要自定義頻率范圍，則可以將繪圖語(yǔ)句改寫(xiě)為

>>bode（zpk（z，p，k），′o′，{10^-2，10^5}）%指定頻率范圍為10-2～105

運(yùn)行后得到的Bode圖如圖4.28（b）所示。

【例4.21】

線性定常連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

繪制其Bode圖。【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>G＝［tf（［11］，［1332］）;tf（［103］，［111］）］;>>bode（G）

圖4.29例4.21的Bode圖

3.離散時(shí)間控制系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制

功能：繪制線性定常離散系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）。格式：

dbode（a，b，c，d，Ts，iu）繪制系統(tǒng)（a，b，c，d）第iu個(gè)輸入信號(hào)至全部輸出的Bode圖，Ts為采樣周期

dbode（a，b，c，d，Ts，iu，w）頻率范圍由向量w指定

dbode（num，den，Ts）繪制傳遞函數(shù)的Bode圖，Ts為采樣周期，其分子向量和分母向量分別為num，den

dbode（num，den，Ts，w）繪制傳遞函數(shù)模型的Bode圖，頻率范圍由向量w指定［mag，phase，w］＝dbode（a，b，c，d，Ts，…）計(jì)算系統(tǒng)的幅值向量mag，相位向量phase及相應(yīng)頻率w的數(shù)據(jù)值，但是不繪制曲線［mag，phase，w］＝dbode（num，den，Ts，…）計(jì)算傳遞函數(shù)的幅值向量mag，相位向量phase及相應(yīng)頻率w的數(shù)據(jù)值，但是不繪制曲線

說(shuō)明：①這里的系統(tǒng)指線性定常離散系統(tǒng)。②缺省情況下，頻率范圍由MATLAB根據(jù)數(shù)學(xué)模型自動(dòng)確定，也可以由向量w指定。③其他參數(shù)的意義同函數(shù)bode（）。④

不包含返回值時(shí)，只在屏幕上繪制曲線。

【例4.22】

離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

采樣周期Ts＝0.5s，繪制其Bode圖。【解】在MATLAB命令窗口中輸入：>>dbode（［10.17.5］，［10.12900］，0.5）運(yùn)行后得到的Bode圖如圖4.30所示。

圖

4.30例4.22的Bode圖

4.函數(shù)bodemag（）功能：計(jì)算線性定常連續(xù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。格式：bodemag（sys）繪制系統(tǒng)sys的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線bodemag（sys，w）頻率范圍由w向量指定bodemag（sys1，sys2，…，sysN，w）在同一個(gè)圖形窗口中繪制系統(tǒng)sys1，sys2，…，sysN的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，頻率范圍由w向量指定bodemag（sys1，′PlotStyle1′，…，sysN，PlotStyleN′）曲線的屬性由′PlotStyle′設(shè)置說(shuō)明：

各輸入?yún)?shù)的意義與函數(shù)bode（）相同。

【例4.23】

兩個(gè)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為

繪制其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線?！窘狻吭贛ATLAB命令窗口中輸入：>>G1＝tf（［11］，［1331］）;G2＝tf（［103］，［111］）;>>bodemag（G1，′o′，G2，′*′）運(yùn)行后得到的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖4.31所示。

圖4.31例4.23的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

5.函數(shù)bodeasym（）功能：繪制單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。格式：

bodeasym（sys）繪制系統(tǒng)sys的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線

bodeasym（sys，PlotStr）字符串PlotStr用來(lái)定義曲線的屬性說(shuō)明：①每次只能繪制一個(gè)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線。②

字符串可定義的曲線屬性見(jiàn)函數(shù)plot（）。

【例4.24】

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

繪制其對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線?！窘狻吭贛ATLAB命令窗口中輸入：>>G＝tf（［103］，［111］）;>>bodeasym（G）

運(yùn)行后得到的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如圖4.32（a）所示。由圖可見(jiàn)，缺省情況下繪制的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線不是很清晰。可以通過(guò)對(duì)函數(shù)添加曲線屬性的方法改變所繪制的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，如將繪圖語(yǔ)句更改為

>>bodeasym（G，′>′）運(yùn)行后得到的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如圖4.32（b）所示。

圖4.32例4.24的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線（a）

缺省繪制;（b）

指定線型繪制

6.函數(shù)margin（）功能：計(jì)算單輸入單輸出開(kāi)環(huán)模型（連續(xù)時(shí)間、離散時(shí)間）對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的頻域指標(biāo)。格式：margin（sys）繪制Bode圖并將穩(wěn)定裕度及相應(yīng)頻率標(biāo)示在圖上［Gm，Pm，Wcg，Wcp］＝margin（sys）不繪制曲線，僅返回穩(wěn)定裕度 數(shù)據(jù)值［Gm，Pm，Wcg，Wcp］＝margin（mag，phase，w）

w的含義同函數(shù) bode（）

說(shuō)明：①返回值中，Gm為幅值裕度，Pm為相位裕度（度），Wcg為截止頻率ωx，Wcp為穿越頻率ωc。若將幅值裕度用分貝（dB）表示，則有：Gm＝20×lg（Gm）（分貝）。②返回值中，無(wú)窮大用Inf表示。③該函數(shù)同時(shí)適用于線性定常連續(xù)系統(tǒng)和線性定常離散系統(tǒng)。④在繪制的Bode圖中，穩(wěn)定裕度所在位置將用垂直線標(biāo)示出來(lái)。⑤

每次只能計(jì)算或繪制一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

【例4.25】重新計(jì)算例4.17，已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

計(jì)算其穩(wěn)定裕度。

【解】在MATLAB命令窗口中輸入:>>sys1＝tf（［8，0.8］，［152019150］）;>>［Gm，Pm，Wcg，Wcp］＝margin（sys1）運(yùn)行結(jié)果為:Gm＝

5.4337Pm＝

117.7136Wcg＝

1.8856Wcp＝

0.0633若省略上述MATLAB命令的返回值，即在MATLAB命令窗口中輸入:

>>margin（sys1）運(yùn)行后得到的Bode圖如圖4.33所示?？梢?jiàn)在繪制Bode圖的同時(shí)，還計(jì)算出了穩(wěn)定裕度指標(biāo)，并用垂直線標(biāo)示了穩(wěn)定裕度的位置。

圖4.33例4.25所示連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的Bode圖及穩(wěn)定裕度

【例4.26】

線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

已知采樣周期Ts＝0.1s。繪制其Bode圖并計(jì)算穩(wěn)定裕度?！窘狻吭贛ATLAB命令窗口中輸入：>>G＝tf（［0.047980.0464］，［1-1.810.9048］，0.1）;>>margin（G）運(yùn)行后得到系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Bode圖如圖4.34所示。

圖4.34例4.26所示離散時(shí)間系統(tǒng)的Bode圖及穩(wěn)定裕度

7.函數(shù)nyquist（）

功能：計(jì)算并繪制線性定常系統(tǒng)的幅相頻率特性