第02講 整式與因式分解課件2025年中考數學復習

第一章

數與式

第02講整式與因式分解4大考點精講+專訓2大中考命題點+14大題型探究01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求列代數式代數式求值整式的加減冪的運算整式的乘除整式的混合運算★★★★★★★★★★★★能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示將具體數代入代數式進行計算能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超過二次)進行因式分解(指數為正整數).1.了解整數指數罪的意義和基本性質；2.理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則；3.能進行簡單的整式加減乘除運算；4.理解乘法公式，了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理；5.靈活運用多種方法化簡代數式.【考情分析】本專題包含整式的概念、整式的運算及因式分解，是中考的必考內容，試題形式多樣，難度不大，乘法公式的靈活運用是整式運算中的重要內容，同時在整式的化簡求值及因式分解中也都有所體現.整式求值計算中經常用到整體代入法，在應用的過程中注意觀察已知與所求間的關系，因式分解一般以填空題的形式出現，注意分解要徹底.因式分解★★★02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究整式的運算考點三因式分解考點四

整式的相關概念考點二代數式考點一代數式1.列代數式把問題中與數量有關的詞語，用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，這就是列代數式.代數式考點一定義代數式的書寫要求4）若代數式的最后結果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位.1）數字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；數與數相乘必須寫乘號.2）字母與數字相乘時，通常把數字寫在字母的前面；如果字母前面的數字是1或-1時，通常省略不寫.3）除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數.2.代數式的值代數式考點一根據問題的需要，用具體數值代替代數式中的字母，計算所得的結果叫做代數式的值.定義求代數式的值的步驟將指定的數值代替代數式里的字母，代入數值時，必須將相應的字母換成數值，其他的運算符號、原來的數字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；按照代數式指定的運算關系計算出結果，運算時，要分清運算種類及運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的.1）代入2）計算針對練習代數式考點一

C

方法指導對求值式子進行變形，并將已知條件轉化進行整體代值

解：

針對練習代數式考點一3．（2023·吉林長春·中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為

公里．（用含x的代數式表示）

220針對練習代數式考點一

03考點突破·考法探究整式的運算考點三因式分解考點四整式的相關概念考點二代數式考點一整式的相關概念單項式的次數單項式的系數1.

單項式整式的相關概念考點二由數字與字母、字母與字母的乘積組成的式子叫單項式.例：單項式的定義圓周率π是常數，單項式中出現π時，應看作系數，而不能當成字母；單項式中的數字因數叫做單項式的系數.一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數.注意注意單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關.∴次數不是14.

2＋3＋4=9

9次數：多項式的項定義在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項.2.多項式整式的相關概念考點二多項式的定義幾個單項式的和叫做多項式單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數；2）一個多項式是幾次、有幾項就叫幾次幾項式如3x2+x+7是二次三項式.把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來,叫做把多項式按這個字母降冪排列；若按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列．3.整式多項式的次數一個多項式中次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數注意升冪排列與降冪排列整式的相關概念考點二針對練習

3

1024

針對練習整式的相關概念考點二

452解

析03考點突破·考法探究整式的運算考點三因式分解考點四整式的相關概念考點二代數式考點一整式的運算1.同類項整式的運算考點三相同字母的指數也相同定義所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.判斷同類項的標準所含字母相同缺一不可.1）2）2.合并同類項定義把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并同類項法則同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母與字母的指數不變.一相加兩不變3.去括號與添括號整式的運算考點三添（去）括號法則：括號外是“+”，添(去)括號不變號；括號外是“-”，添(去)括號都變號.【補充】去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤.4.整式的加減運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.【補充說明】整式加減實際上就是：去括號、合并同類項；5.冪的運算整式的運算考點三其中“冪”的底數是“a”，而不是“”，指數相乘是指“3×2”1）同底數冪相乘：底數不變，指數相加，2）冪的乘方：底數不變，指數相乘，冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結論是“底數不變，指數相乘”．這里的“底數不變”是指“冪”的底數“a”不變．即4）同底數冪的除法：底數不變，指數相減，任何不等于0的數的0次冪都等于1，（a≠0）.

冪的運算法則中底數a的規(guī)定（m，n都是整數）即即（m，n都是整數）3）積的乘方：把積中每一個因式分別乘方，再把所得的積相乘（n為整數）即（a≠0，m，n都為整數）5）零指數冪：即例如：注意底數a可以是單項式，也可以是多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，6.整式的乘除整式的運算考點三多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．.單項式乘單項式運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.實質乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.單項式乘多項式運算法則：1）2）3）多項式乘多項式運算法則：實質利用乘法的分配律將單項式乘多項式轉化為單項式乘單項式即即①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；

②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號.且結果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．6.整式的乘除整式的運算考點三4）單項式除以單項式運算法則：一般地,單項式相除,把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.5）多項式除以單項式運算法則：實質把多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式.一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.b7.乘法公式整式的運算考點三1）【平方差公式】兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.平方差公式即等號右邊是一個二項式，這個二項式是左邊兩個二項式中相同項與相反項的平方差.特點等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；右側涂色部分的面積為所以可以得到.2）【平方差公式的推導】①用多項式的乘法推導平方差公式②通過面積法推導平方差公式：a涂色部分的面積7.乘法公式整式的運算考點三【補充】常見驗證平方差公式的幾何圖形baa+ba-b圖1ba圖2baba圖3圖47.乘法公式整式的運算考點三3）【完全平方公式】完全平方公式兩個數的和（或差）的平方等于這兩數的平方和加上（或減去）這兩數乘積的兩倍即特點右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.左邊是兩數的和（或差）的平方口訣首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號同前方.完全平方式的常見變形（①-⑤基礎必須掌握）：

②③④⑤①②如圖乙所示，邊長為a-b的小正方形的面積是它的面積還可以看成是由兩個小正方形與兩個長方形的和，①如圖甲所示是一個邊長為a+b的正方形，面積為4）【平方差公式的推導】7.乘法公式整式的運算考點三①用多項式的乘法推導完全平方公式：②通過面積法推導完全平方公式：它的面積還可以看成是由大的正方形面積減去兩個小的長方形面積，即.8.整式的混合運算整式的運算考點三先乘方，再乘除，后加減，有括號時，先算括號里的，去括號時，先去小括號，再去中括號，最后去大括號.定義運算順序含有整式的加減、乘除及乘方的多種運算叫做整式的混合運算整式的運算考點三針對練習

D

A整式的運算考點三針對練習

解析：依題意這個多項式為

故答案為：

整式的運算考點三針對練習03考點突破·考法探究整式的運算考點三因式分解考點四整式的相關概念考點二代數式考點一因式分解1.因式分解因式分解考點四1）因式分解分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可.2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算，且因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.補充說明2.公因式因式分解考點四準確找出多項式各項的公因式.公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式.定義多項式的各項中都含有相同的因式，我們把這個相同的因式就叫做公因式.注意3.提公因式法分解因式如果多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外，將多項式寫成公因式與另一個多項式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫提公因式法即：定義實質：關鍵：乘法分配律的逆用.4.公因式法分解因式因式分解考點四定義運用平方差公式、完全平方公式將一個多項式分解因式的方法叫作公式法.逆用平方差法分解因式：逆用完全平方公式分解因式：5.因式分解的一般步驟：觀察是否有公因式公因式提取有觀察多項式觀察剩余項平方差公式完全平方公式檢查每個多項式是否都分解徹底沒有三項兩項一提二套三檢查針對練習因式分解考點四

B

通過因式分解，得到乘積的形式，找到能被整除的數或式

B針對練習因式分解考點四

204題型精研·考向洞悉實際問題中的代數式題型01實數的基礎命題點一求代數式的值題型02整式的加減題型03冪的混合運算題型04整式的乘除題型05乘法公式的應用題型06整式的化簡求值題型07整式的混合運算題型08判斷因式分解的正誤題型09因式分解題型10因式分解的應用題型11命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式方法指導代數式的書寫要求4）若代數式的最后結果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位.1）數字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；數與數相乘必須寫乘號.2）字母與數字相乘時，通常把數字寫在字母的前面；如果字母前面的數字是1或-1時，通常省略不寫.3）除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數.命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式

用列表的方式，分別寫出甲乙變化前后的數量再根據要求列出代數式是解題關鍵方法指導命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式【例1】（2022·河北·中考真題）如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數是甲盒所剩棋子數的2倍，則a＝

；甲棋盒乙棋盒原來現在10810-a8+a列表【解析】

（1）命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式

甲棋盒乙棋盒原來現在列表1【解析】（2）m2mm-a2m+a第一次變化后，乙比甲多

命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式

甲棋盒乙棋盒原來第一次拿第二次拿列表2【解析】（2）m黑2m白m黑-a黑2m白+a黑

m黑-a黑+a混合2m白+a黑-a混合

命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式【變式】（2023·山東臨沂·中考真題）大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金，當她工作滿20天后因故結束實習，結算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金．(1)這臺M型平板電腦價值多少元？(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現金，她應獲得多少報酬（用含m的代數式表示）？

這是一題代數式與方程結合體；用代數式表示相關量，找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵方法指導

命題點一整式及其相關計算題型01實際問題中的代數式

C

命題點一整式及其相關計算題型02求代數式的值.求代數式的值的步驟：將指定的數值代替代數式里的字母，代入數值時，必須將相應的字母換成數值，其他的運算符號、原來的數字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；代入按照代數式指定的運算關系計算出結果，運算時，要分清運算種類及運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的計算命題點一整式及其相關計算題型02求代數式的值.【解析】

方法指導

命題點一整式及其相關計算題型02求代數式的值.

通過因式分解，得到乘積的形式，整體代值

通過等式變形，得到a2+1與2b的關系，代數式化簡得出代數式的值命題點一整式及其相關計算題型03整式的加減

命題點一整式及其相關計算題型03整式的加減

作差比較法命題點一整式及其相關計算題型03整式的加減

DD理解同類項定義和合并法則命題點一整式及其相關計算題型03整式的加減3．（2023·湖北宜昌·中考真題）在日歷上，某些數滿足一定的規(guī)律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為a，則下列敘述中正確的是（

）．日一二三四五六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

D日歷中的數字規(guī)律是解題關鍵：同一行中后面的數字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三個數，方法指導

【解析】命題點一整式及其相關計算題型04冪的混合運算計算時可能用到以下公式：1）2）3）4）5）同底數冪的運算法則只適用于同底數冪的乘除，當底數不同時要看能否化成同底數，若不能則不能用同底數冪的運算法則進行計算.注意命題點一整式及其相關計算題型04冪的混合運算

【解析】C

解題的關鍵：熟練掌握整式乘除的各類運算法則方法指導

命題點一整式及其相關計算題型04冪的混合運算

A

命題點一整式及其相關計算題型05整式的乘除類型法則例樣單項式×單項式單項式×多項式多項式×多項式單項式÷單項式多項式÷單項式方法技巧系數相乘，字母相乘利用乘法分配律，化為單項式×單項式1.要按一定順序進行,注意做到不重不漏,確定積中每項的符號時,按“同號得正,異號得負”的法則確定.2.多項式與多項式相乘,仍得多項式，有同類項時要合并同類項.運算順序：首先將系數相除，然后將同底數冪相除，最后將被除式中單獨有的字母連同它的指數一起作為商的一個因式，系數相除時要注意先確定商的符號.1.多項式除以單項式所得商的項數與多項式的項數一致,在計算時不要漏項；2.計算時，多項式的各項要包括它前面的符號,注意符號的變化.命題點一整式及其相關計算題型05整式的乘除

【解析】B

本題考查整式的運算，根據法則計算逐一排查

命題點一整式及其相關計算題型05整式的乘除解題的關鍵：掌握整式的混合計算的運算順序，分式的混合計算關鍵是通分和約分∶（1）先根據單項式乘以多項式的計算法則和多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項即可得到答案；（2）先把小括號內的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡即可得到答案．方法指導

命題點一整式及其相關計算題型05整式的乘除

C

命題點一整式及其相關計算題型06乘法公式的應用【例1】（2023·四川攀枝花·中考真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數恒等式：

其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個D方法指導解題的關鍵：恒等式等號左右兩邊的代數式表示用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積．

D命題點一整式及其相關計算題型06乘法公式的應用

方法指導解題的關鍵：正確應用乘法公式化簡運算。完全平方公式平方差公式命題點一整式及其相關計算題型06乘法公式的應用

【解析】

命題點一整式及其相關計算題型07整式的化簡求值整體代入法/間接代入法求值從題中條件中不易直接得到某個字母的具體值，可以將原式化為已知條件中字母間的關系，然后將某個式子的值作為一個整體代入計算.將已知的代數式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數式中計算求值給未知數賦予一些特殊值，將其代入等式中，得到所求代數式的形式，從而求出代數式的值.一般情況下，多是代入-1、0、1這三個值.【整體代入法】【間接代入法】【賦值法】命題點一整式及其相關計算題型07整式的化簡求值

2028．方法指導解題的關鍵：利用一元二次方程的解滿足方程以及根與系數關系求得：??2+2024??=4，??+??=?2024命題點一整式及其相關計算題型07整式的化簡求值【變式】

2023方法指導解題的關鍵：利用等式變形得到相關代數式，再整體代入進行降次

命題點一整式及其相關計算題型07整式的化簡求值

1

2

分式約分運算等式變形命題點一整式及其相關計算題型08整式的混合運算

方法指導解題的關鍵：熟記特殊角的三角函數值、平方差公式

命題點一整式及其相關計算題型08整式的混合運算

命題點一整式及其相關計算題型08整式的混合運算

以新定義為背景考查了整式混合運算的應用以及學生應用知識的能力，解題關鍵是要理解新定義，能根據條件找出合適的“勾股和數”．命題點一整式及其相關計算題型09判斷因式分解的正誤

C

解：

命題點一整式及其相關計算題型09判斷因式分解的正誤方法指導解題的關鍵：結合多項式的特征，靈活選用合適的分解因式方法;熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法A

解：

命題點一整式及其相關計算題型09判斷因式分解的正誤

CCA命題點一整式及其相關計算題型10因式分解

方法指導解題的關鍵：熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法

多項式乘以多項式需要展開后合并同類項，再因式分解

命題點一整式及其相關計算題型10因式分解解：方法指導解題的關鍵：通過觀察，分析、歸納發(fā)現其中的變化規(guī)律；應用因式分解進行簡便運算或化簡

兩個連續(xù)的奇數平方差能被8整除

命題點一整式及其相關計算題型10因式分解

方法指導計算類證明題解題的關鍵：通過代換和因式分解將問題轉換為完全平方式形式，進而利用非負數性質得到結論04題型精研·考向洞悉圖形類規(guī)律探索題型01規(guī)律探索及新定義問題命題點二數字類規(guī)律探索題型02數式中的新定義問題題型03命題點二規(guī)律探索及新定義題型01圖形類規(guī)律探索【例1】（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個點……

容易發(fā)現，三角點陣中前4行的點數之和為10．

命題點二規(guī)律探索及新定義題型01圖形類規(guī)律探索【例1】（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個點……

容易發(fā)現，三角點陣中前4行的點數之和為10．

根據圖形，總結規(guī)律，列式計算方法指導36120

（1）解：三角點陣中前8行的點數之和：

前15行的點數之和：

命題點二規(guī)律探索及新定義題型01圖形類規(guī)律探索【例1】（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個點……

容易發(fā)現，三角點陣中前4行的點數之和為10．

不能得出關于n的一元二次方程，利用根的判別式方法指導命題點二規(guī)律探索及新定義題型01圖形類規(guī)律探索【例1】（2024·四川涼山·中考真題）閱讀下面材料，并解決相關問題：下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個點……

容易發(fā)現，三角點陣中前4行的點數之和為10．

利用第（1）的方法得出前n排花盆總數的計算公式，再列方程求解方法指導

方法遷移命題點二規(guī)律探索及新定義題型01圖形類規(guī)律探索