《動(dòng)態(tài)規(guī)劃步驟》課件

動(dòng)態(tài)規(guī)劃步驟動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種常用的算法設(shè)計(jì)技巧，可以用來解決許多問題，包括最短路徑問題、背包問題等。什么是動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。重疊子問題在求解過程中，一些子問題被反復(fù)計(jì)算。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用領(lǐng)域最優(yōu)路徑規(guī)劃例如，尋找最短路徑，最省時(shí)間路徑，最省油路徑等。資源分配優(yōu)化例如，分配人力、物力、資金，以獲得最佳效益。背包問題例如，選擇哪些物品裝入背包，以最大化價(jià)值。序列比對例如，比較兩個(gè)DNA序列，找出它們的最大公共子序列。動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本思想1將問題分解將大問題分解成若干個(gè)相互重疊的子問題。2解決子問題從最小的子問題開始，逐步解決每個(gè)子問題。3存儲(chǔ)結(jié)果將每個(gè)子問題的解存儲(chǔ)起來，避免重復(fù)計(jì)算。4自底向上利用存儲(chǔ)的子問題解，自底向上地求解原問題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決問題步驟11.定義子問題將原問題分解為更小的、相互關(guān)聯(lián)的子問題。22.確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述子問題之間的關(guān)系，如何由子問題的解得到原問題的解。33.初始化邊界條件確定最小的子問題的解，作為遞歸的起點(diǎn)。44.自底向上求解根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，從邊界條件開始，逐步計(jì)算所有子問題的解。55.輸出最終結(jié)果將最后計(jì)算出的子問題解組合起來，得到原問題的最終解。1.定義子問題子問題動(dòng)態(tài)規(guī)劃的精髓在于將復(fù)雜問題拆解為多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的子問題，并逐個(gè)解決這些子問題。關(guān)聯(lián)性這些子問題的解是相互關(guān)聯(lián)的，解決較小的子問題可以幫助解決更大的子問題。子問題需滿足的條件重疊子問題之間可以有重疊部分，但不能有相互依賴關(guān)系。獨(dú)立性每個(gè)子問題都可以獨(dú)立解決，不需要依賴其他子問題的答案。最優(yōu)性子問題的最優(yōu)解可以用來構(gòu)建原問題的最優(yōu)解。如何定義子問題分解問題將原問題分解成更小的子問題，確保子問題之間相互獨(dú)立，且解決所有子問題即可解決原問題。重疊子問題確保子問題之間存在重疊，這樣可以利用子問題的解來加速解決其他子問題，提高效率。最優(yōu)子結(jié)構(gòu)原問題的最優(yōu)解可以由子問題的最優(yōu)解組合而成，這是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心思想之一。2.確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的作用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心，它描述了不同狀態(tài)之間的關(guān)系，以及如何從較小子問題的解推導(dǎo)出較大子問題的解。建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程需要仔細(xì)分析問題的遞歸結(jié)構(gòu)，并找出狀態(tài)之間遞推關(guān)系。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程作用連接子問題狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程將問題分解成多個(gè)子問題，并定義子問題之間的關(guān)系。它就像一個(gè)橋梁，將子問題連接起來，最終得出問題的完整解。遞推求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程使得我們可以通過已知的子問題結(jié)果，遞推地計(jì)算出更大的子問題結(jié)果，直到最終求解出整個(gè)問題的答案。如何建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程識(shí)別子問題關(guān)系分析子問題之間的依賴關(guān)系，找出當(dāng)前子問題的解如何由前一個(gè)子問題的解推導(dǎo)出來。定義狀態(tài)變量用狀態(tài)變量來表示子問題的解，并定義狀態(tài)變量之間的關(guān)系。表達(dá)推導(dǎo)關(guān)系用數(shù)學(xué)公式或邏輯表達(dá)式來描述狀態(tài)變量之間的推導(dǎo)關(guān)系，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。3.初始化邊界條件1基準(zhǔn)邊界條件是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的起點(diǎn)，如同山峰的頂端，為后續(xù)的求解提供初始值。2可靠正確定義邊界條件，是確保算法正確性和有效性的關(guān)鍵。如同堅(jiān)實(shí)的巖石，為算法提供堅(jiān)固的基石。3簡化通過邊界條件，我們可以將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為易于處理的子問題。如同將復(fù)雜的路線分解為一個(gè)個(gè)清晰的路標(biāo)。邊界條件的重要性邊界條件為動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法提供了初始值，避免了循環(huán)依賴。正確定義邊界條件是保證動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法正確性的關(guān)鍵。邊界條件可以作為動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的起點(diǎn)，引導(dǎo)算法逐步推導(dǎo)出最終解。如何定義邊界條件起始狀態(tài)明確問題最基礎(chǔ)的初始狀態(tài)，例如，最短路徑問題的起點(diǎn)，或背包問題空的背包。特殊情況考慮子問題可能存在的特殊情況，例如，空字符串、空數(shù)組等，并定義其邊界條件。4.自底向上求解1構(gòu)建基礎(chǔ)從最小的子問題開始，逐步解決，并記錄結(jié)果。2累積結(jié)果利用已解決的子問題，構(gòu)建更大問題的解。3最終目標(biāo)最終獲得整個(gè)問題的最佳解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法思路1自底向上從最小的子問題開始逐步求解，最終得到最終問題的解。2存儲(chǔ)中間結(jié)果將每個(gè)子問題的解存儲(chǔ)起來，避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，將當(dāng)前問題的解與之前的子問題解聯(lián)系起來。如何實(shí)現(xiàn)自底向上求解確定初始條件先求解最小的子問題，即邊界條件。遞推過程根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，逐步求解更大規(guī)模的子問題。存儲(chǔ)中間結(jié)果將每個(gè)子問題的解存儲(chǔ)起來，避免重復(fù)計(jì)算。5.輸出最終結(jié)果1結(jié)果表達(dá)最終結(jié)果可能需要根據(jù)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化2子問題推導(dǎo)從子問題的結(jié)果推導(dǎo)出最終答案3輸出結(jié)果輸出最終結(jié)果，例如最大值、最小值等最終結(jié)果的表達(dá)形式最優(yōu)解找到的最佳解決方案，可能是一個(gè)值、一個(gè)路徑或一個(gè)策略。數(shù)據(jù)圖表通過圖表、表格或可視化工具呈現(xiàn)結(jié)果，以清晰直觀的方式展示信息。算法輸出根據(jù)問題需求，將算法輸出轉(zhuǎn)換為特定格式，例如文本、圖像或音頻。如何從子問題推導(dǎo)最終結(jié)果子問題求解動(dòng)態(tài)規(guī)劃通過自底向上求解，逐步解決子問題。最終結(jié)果將所有子問題的解組合起來，得出最終結(jié)果。動(dòng)態(tài)規(guī)劃工程實(shí)踐代碼實(shí)現(xiàn)將動(dòng)態(tài)規(guī)劃思路轉(zhuǎn)化為代碼，需要熟練掌握編程語言和算法實(shí)現(xiàn)技巧，確保代碼邏輯清晰，高效執(zhí)行。結(jié)果可視化通過圖表和數(shù)據(jù)可視化工具，將動(dòng)態(tài)規(guī)劃結(jié)果清晰呈現(xiàn)，方便理解和分析。團(tuán)隊(duì)協(xié)作在實(shí)際項(xiàng)目中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題通常需要多個(gè)成員協(xié)作，共同完成問題分析、算法設(shè)計(jì)、代碼實(shí)現(xiàn)和結(jié)果驗(yàn)證等工作。動(dòng)態(tài)規(guī)劃常見問題狀態(tài)定義錯(cuò)誤確保狀態(tài)定義完整，涵蓋所有必要信息，并能準(zhǔn)確反映問題要求。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程錯(cuò)誤仔細(xì)檢查狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，確保其邏輯正確，能夠正確描述狀態(tài)之間的關(guān)系。邊界條件設(shè)置錯(cuò)誤正確設(shè)置邊界條件，確保初始狀態(tài)和特殊情況能夠被正確處理。動(dòng)態(tài)規(guī)劃核心要點(diǎn)總結(jié)分解問題將問題分解成多個(gè)子問題，每個(gè)子問題都是原問題的簡化版本。狀態(tài)定義用狀態(tài)表示子問題的解，通常使用一個(gè)或多個(gè)變量來描述。狀態(tài)轉(zhuǎn)移通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來推導(dǎo)出較大子問題的解，利用已解決的較小子問題的解。邊界條件定義最小子問題的解，作為整個(gè)問題求解的初始值。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題示例分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛，例如：-最短路徑問題：尋找兩個(gè)點(diǎn)之間最短路徑。-背包問題：將盡可能多的物品裝入背包，在重量限制下最大化物品價(jià)值。