湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則直線l的方程為

A. B. C. D.2.“”是“方程表示的曲線為橢圓”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知圓C的方程為，若點(diǎn)在圓外，則m的取值范圍是

A. B.

C. D.4.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類(lèi)似今日的踢足球活動(dòng).已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，其中平面，，則該球的表面積為

A. B. C. D.5.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則的最大值是

A. B. C. D.6.已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為

A. B. C. D.7.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之差的絕對(duì)值是3”，則

A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立 C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立8.如圖所示，P是雙曲線右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，分別為其左、右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，圓C是的內(nèi)切圓，設(shè)圓與分別切于點(diǎn)D，E，當(dāng)圓C的面積為時(shí)，直線的斜率為

A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線都可以表示為

B.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程表示

C.直線的傾斜角越大，則其斜率越大

D.直線的傾斜角的取值范圍是10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足，則下列說(shuō)法正確的是

A.若平面，則最小值為1

B.若平面，則，

C.若，則P到平面的距離為

D.若，時(shí)，直線DP與平面所成角為，則11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點(diǎn)，P在第一象限，Q在第四象限，則

A.該雙曲線的漸近線方程為

B.若，則P到x軸的最大距離為

C.若，則的周長(zhǎng)為20

D.點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知圓及直線，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為

.13.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

.14.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，P是C在第一象限的圖象上的點(diǎn)，記，，，若，則橢圓C的離心率

.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)的距離之比為求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；過(guò)點(diǎn)作曲線的切線l，求切線l的方程．16.本小題15分的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量，，滿足求A；若角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D，AD長(zhǎng)為2，求的面積的最小值．17.本小題15分如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，為等邊三角形且垂直于底面求證：求平面SBC與平面SDC夾角的正弦值.18.本小題17分甲、乙、丙三位羽毛球愛(ài)好者決定進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每局兩人對(duì)戰(zhàn)，沒(méi)有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為因?yàn)榧资亲钊醯模宰屗麤Q定第一局的兩個(gè)比賽者甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個(gè)人比賽，每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個(gè)比賽的冠軍，比賽結(jié)束．若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率請(qǐng)幫助甲進(jìn)行第一局的決策甲乙、甲丙或乙丙比賽，使得甲最終獲得冠軍的概率最大．19.本小題17分對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；即對(duì)于確定的圓錐曲線，每一對(duì)極點(diǎn)與極線是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.根據(jù)上述材料回答下面問(wèn)題：已知橢圓，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，已知點(diǎn)G是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G對(duì)應(yīng)的極線與橢圓交于點(diǎn)A，若，，，證明：極線AB恒過(guò)定點(diǎn)；在的條件下，若該定點(diǎn)為極線AB的中點(diǎn)，求出此時(shí)的極線方程；若，，，極線AB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)P、Q分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線AQ、直線BP分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.答案和解析1.答案：C

解析：

解：因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，

所以，

則直線

l的方程為

，即，

故選：2.答案：B

解析：

解：若方程表示橢圓，

則滿足，即，

即且，此時(shí)成立，即必要性成立;

當(dāng)時(shí)，滿足，

但此時(shí)方程等價(jià)為，

表示的曲線為圓，不是橢圓，即充分性不成立；

故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.

故選：3.答案：D

解析：

解：由題意可得且，解得或，

故選4.答案：A

解析：

解：如圖所示：

取BC的中點(diǎn)D，PA的中點(diǎn)E，設(shè)球的球心為O，

由于平面ABC，，，，

則，，

過(guò)點(diǎn)D作平面ABC，過(guò)點(diǎn)E作AP的垂直平分線與DO交于點(diǎn)O，

故點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，

所以外接球的半徑，

所以，

故選：5.答案：D

解析：

解：由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，表示的點(diǎn)在單位圓上，

而表示該單位圓上的點(diǎn)到復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)Z的距離，

而為坐標(biāo)原點(diǎn)，單位圓的半徑為1，

故的最大值為：

故選：6.答案：A

解析：

解：點(diǎn)F為橢圓C：的左焦點(diǎn)，

，設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為，易知，

點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

，，

，

又，

，即的最大值為，

此時(shí)Q，，P共線且在線段QP上．

故選：7.答案：B

解析：

解：由題意可知，基本事件的總數(shù)為，

甲所包含的情況有，，，，，，

乙所包含的情況有，，，，，，

丙所包含的情況有，，，，，

丁所包含的情況有，，，，，，

甲

，乙，丙，丁，

甲丙，甲丁

，乙丙，丙丁，

有甲丁甲丁，

事件甲與事件丁相互獨(dú)立.

故選：8.答案：D

解析：

解：設(shè)圓C與x軸相切于，

由題意可知，，，

所以，

則，

即，即，

所以點(diǎn)A為圓C與x軸的切點(diǎn)，

設(shè)圓C的半徑為，因?yàn)閳AC的面積為，則，

因?yàn)椋裕?/p>

于是，

因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，

所以，所以，

即直線

的斜率為

故選：9.答案：AD

解析：

解：對(duì)于A，經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn)，的直線都可以用方程表示，故A正確；

對(duì)于B，不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直的直線都可以用方程表示，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，傾斜角為的直線斜率大于傾斜角為的直線斜率，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，直線的斜率，則，即，則

故D正確.

故選：10.答案：BC

解析：

解：連接，，BP，，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，，，

則，，

設(shè)平面的法向量為，則，

令，則

則，即，

對(duì)于A，若平面，則，，

所以，

所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B，因?yàn)槠矫妫耘c共線.

又，，

所以，可以得到，，B正確;

對(duì)于C，若，則，則，

則P到平面的距離為，C正確;

對(duì)于D，若時(shí)，，，

則，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

綜上，，D錯(cuò)誤.

故選：11.答案：ACD

解析：

解：對(duì)選項(xiàng)由雙曲線的方程為知，其漸近線方程為，故A正確;對(duì)選項(xiàng)設(shè)，，又，

則，

即，解得，到x軸的最大距離為，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C，由雙曲線的定義得：

，

所以，

故的周長(zhǎng)為，故C正確;

對(duì)于D，設(shè)，可得，由雙曲線的漸近線方程為，

可得點(diǎn)P到兩漸近線的距離之積為，故D正確.

故選：12.答案：

解析：

解：根據(jù)題意，直線l：，可化為直線l：，

則不論a取何值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)，記此定點(diǎn)為點(diǎn)P，即，

又由，得點(diǎn)在圓C內(nèi)，

故當(dāng)直線l垂直CP時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，

可知圓C：的圓心為，

所以，則，

故直線l的方程為：

故答案為：13.答案：3

解析：

解：圓的圓心為，半徑為2，

過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，如圖所示：

由拋物線的定義可知：，

則，

所以當(dāng)M，Q，P，N共線且Q在M，P之間時(shí)，取得最小值

故答案為：14.答案：

解析：解：設(shè)點(diǎn)，則，，且，

可得，易知點(diǎn)、，

所以，，

則，

，，

所以，

所以，則，可得

故答案為：15.答案：解設(shè)，由題意得，即，

化簡(jiǎn)得，

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程為；

由知化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，

若切線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，即直線l方程為，

因?yàn)橹本€l與圓相切，所以，解得，

所以直線l的方程為，

若切線l的斜率不存在，則

所以直線l的方程為或

解析：本題考查與圓相關(guān)的軌跡問(wèn)題，圓的切線方程，屬于中檔題.

設(shè)，根據(jù)題中幾何關(guān)系得，再利用兩點(diǎn)間距離公式從而可求解；由求出圓心，半徑，設(shè)出直線方程，再結(jié)合直線與圓相切從而可求解.16.答案：解：因?yàn)椋?/p>

所以，

由正弦定理得，

所以，所以，因?yàn)?，故平分，，，，即，，由基本不等式可得：，得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

，

即的面積的最小值為

解析：本題考查了向量平行坐標(biāo)計(jì)算，正弦定理、基本不等式求最值、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

由得出等式，再由正、余弦定理即可解出；把的面積用等積法表示可得關(guān)系，再利用基本不等式得出bc的最小值，即得面積最小值．17.答案：解：證明：因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，平面ABC，，所以平面SAB，又因?yàn)槠矫鍿AB，所以；

取AB中點(diǎn)O，為等邊三角形且垂直于底面，交線為AB，則，與同理得平面ABCD，又因?yàn)?，，，可設(shè)，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O與BC平行的直線為y軸，分別以O(shè)B、SO所在直線為x軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

得，，，，，，；

設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為，則，

即，可?。?/p>

設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為，則，

即，可取，設(shè)平面SBC與平面SDC夾角為，則，

所以平面SBC與平面SDC夾角的正弦值為

解析：本題考查了線線垂直的判定，平面與平面所成角的向量求法，屬于中檔題.

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可證；

建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面SBC與平面SDC的一個(gè)法向量，根據(jù)平面與平面所成角的向量求法可求.18.答案：解：若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為，②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為，所以“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率為

；

若第一局甲乙比，甲獲得冠軍的情況有三種：甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，所以甲能獲得冠軍的概率為，若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率為

，若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，

則甲獲得冠軍的概率即第問(wèn)的結(jié)果，

因?yàn)椋?/p>

所以甲第一局選擇和乙比賽，最終獲得冠軍的概率最大.

解析：本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生得概率，概率的基本性質(zhì)，屬于中檔題.若甲指定第一局由乙丙對(duì)戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，分別求出概率，再相加即可；分別求出甲能獲得冠軍的概率，若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率，若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率，即第問(wèn)的結(jié)果比較大小得出結(jié)果.19.答案：解：右焦點(diǎn)