2024-2025學(xué)年廣東省茂名市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省茂名市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t的值是（

）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)，且，若能被13整除，則等于（

）A．0 B．1 C．11 D．126．已知，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．47．若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且，則當(dāng)時(shí)，下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．8．如圖,點(diǎn),分別是雙曲線C:(,)的左、右焦點(diǎn),M是C右支上的一點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)P,的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為Q,若,則C的離心率為(

)A． B．3 C． D．二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．是第二象限角B．函數(shù)的最小正周期是C．若，則D．若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為10．一個(gè)盒子中裝有個(gè)黑球和個(gè)白球（均為不小于2的正整數(shù)），現(xiàn)從中先后無放回地取2個(gè)球.記“第一次取得黑球”為，“第一次取得白球”為，“第二次取得黑球”為，“第二次取得白球”為，則（

）A． B．C． D．11．中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．若為銳角三角形，則取值范圍是D．若為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為12．函數(shù)，下列說法正確的有（

）A．最小值為B．C．當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根D．當(dāng)時(shí)，若的兩根為，則三、填空題13．在3000和7000間有個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的5的倍數(shù)．14．已知?，則?15．已知圓：與圓關(guān)于直線：對(duì)稱，且圓上任一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)之間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為．16．若點(diǎn)P、Q分別在函數(shù)y＝ex和函數(shù)y＝lnx的圖象上，則P、Q兩點(diǎn)間的距離的最小值是．四、解答題17．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)中內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，求A的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)．18．（1）有3臺(tái)車床加工同一型專的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2?3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1?2?3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個(gè)零件，求在取到的零件是次品的前提下是第1臺(tái)車床加工的概率.（2）設(shè)驗(yàn)血診斷某種疾病的誤診率為5%，即若用表示驗(yàn)血為陽性，表示受驗(yàn)者患病，則，若受檢人群中有0.5%患此病，即，求一個(gè)驗(yàn)血為陽性的人確患此病的概率19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角的余弦值.20．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足，記直線的斜率為，直線的斜率為，求.22．設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若為正數(shù)，且存在使得，求的取值范圍.1．A【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，即可求值.【詳解】.故選：A2．D【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，由可得且，解得，則，因此，.故選：D.3．C【分析】根據(jù)平面向量基本定理得到，進(jìn)而得2，根據(jù)待定系數(shù)法即可.【詳解】∵四點(diǎn)共面∴必存在唯一一組有序?qū)崝?shù)對(duì)使得，∴，即∵四點(diǎn)不共面∴，否則三點(diǎn)共線，即四點(diǎn)共面，與題意不符，∴，則有，故而，∴.故選：C.4．C【分析】利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的定義可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，易知該數(shù)列的公比為，則，即，解得.故選：C.5．B【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理推理計(jì)算作答.【詳解】，而是整數(shù)，是13的倍數(shù)，即能被13整除，因此能被13整除，而，即，所以，即.故選：B6．B【分析】根據(jù)得到，然后利用基本不等式求最值即可.【詳解】設(shè)，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.7．D【分析】構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性再比較大小可得答案.【詳解】令，則，由于的正負(fù)不確定，所以的正負(fù)不確定，不能判斷的單調(diào)性，故AC錯(cuò)誤；令，由，則，所以為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，故B錯(cuò)誤D正確；故選：D.8．D【分析】利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及雙曲線的定義即可獲解【詳解】如圖,設(shè)內(nèi)切圓與的兩外兩個(gè)交點(diǎn)為R,S,則所以,即又PO垂直平分,所以即,所以又,所以離心率.故選：D9．ABD【分析】A：根據(jù)負(fù)角的定義和象限角的范圍進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；C：根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可；D：利用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A：根據(jù)象限角的范圍，為第二象限角，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以函數(shù)的最小正周期是，故B正確；對(duì)于C：若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形的半徑為6，所以扇形的面積為，故D正確.故選：ABD.10．BC【分析】將一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率；第一次取黑球，第二次取黑球的概率等一一列舉出來，再利用條件概率公式即可作出判斷.【詳解】第一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率第一次取黑球，第二次取黑球的概率；第一次取黑球，第二次取白球的概率，故A錯(cuò)誤；第一次取白球，第二次取黑球的概率；第一次取白球，第二次取白球的概率；第二次取得黑球的概率；第二次取得白球的概率；，故B正確；；，，故C正確；；故D錯(cuò)誤.故選:BC11．BCD【分析】由數(shù)量積的定義及面積公式求得A角，然后根據(jù)三角形的條件求解判斷各ABC選項(xiàng)，利用，平方后應(yīng)用基本不等式求得最大值，判斷D．【詳解】因?yàn)?，所以，，又，所以，A錯(cuò)；若，則，三角形有兩解，B正確；若為銳角三角形，則，，所以，，，，C正確；若D為邊上的中點(diǎn)，則，，又，，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確．故選：BCD．本題考查解三角形的應(yīng)用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是解題關(guān)鍵．在用正弦定理解三角形時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)兩解的情形，實(shí)際上不一定要死記結(jié)論，可以按正常情況求得，然后根據(jù)的大小關(guān)系判斷角是否有兩種情況即可．12．BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得其單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，進(jìn)而判斷出ABC的正誤．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，若的兩根為，則，即證，設(shè)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其與最值即可得出結(jié)論．【詳解】解：，定義域，，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)．和時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，函數(shù)單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象如下所示：對(duì)于A．可得時(shí)，，因此函數(shù)無最小值；對(duì)于B．，函數(shù)單調(diào)遞增，，，，因此B正確；對(duì)于C．當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根，因此C不正確；對(duì)于D．因?yàn)椋?dāng)時(shí)，方程有兩根為，則有，故，因?yàn)?，則要證，則只要證明即可，即證，即證，不妨設(shè)，則即證，令，只需證，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，所以，因此當(dāng)時(shí)，若的兩根為，則，故D正確．故選：BD．13．392【分析】由兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解．【詳解】滿足5的倍數(shù)的個(gè)位為0或5，當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，千位有4種情況，共有種，當(dāng)個(gè)位是5時(shí)，千位有3種情況，共有種，故共有個(gè)滿足題意的數(shù)，故39214．##【分析】先由的范圍及的值確定的范圍，再利用三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系求得，從而利用正弦的倍角求得.【詳解】因?yàn)?，所以?，又?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以?是第一象限角，即?，所以?，所以?.故15．2或6.【詳解】分析：由兩圓對(duì)稱可得到圓的圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓上任一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)之間距離的最小值為兩圓的圓心距減去兩半徑可得實(shí)數(shù)的值．詳解：設(shè)圓的圓心為，∵圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，∴，解得，∴圓的圓心為．∴．∵圓上任一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)之間距離的最小值為為，∴，解得或．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是得到圓N的圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)幾何圖形間的關(guān)系求解．解答直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系問題時(shí)，可充分考慮幾何圖形的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線的距離求解．16．【分析】利用兩函數(shù)互為反函數(shù)，轉(zhuǎn)化為直線到曲線的距離結(jié)合切線求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，故函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，兩點(diǎn)間的最短距離是點(diǎn)到直線的最短距離的2倍，設(shè)曲線上斜率為1的切線為，，由得，即切點(diǎn)為，兩點(diǎn)間的最短距離為故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式得到，進(jìn)而求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先求出，從而得到，由列出方程，求出的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)樗裕?解得，,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?，所以，所以，故，由題意知，，所以，即，所以．18．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式及條件概率的計(jì)算公式求解作答.（2）由條件概率的公式代入計(jì)算與，進(jìn)而求出和，再利用公式求解作答.【詳解】（1）記為“零件為第（）臺(tái)車床加工”的事件，為“任取一個(gè)零件為次品”的事件，，且兩兩互斥，，，所以，因此，所以在取到的零件是次品的前提下是第1臺(tái)車床加工的概率.（2）由，得，，又，得，則，所以驗(yàn)血陽性的人確患此病的概率為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件可推出，利用中線的性質(zhì)即可得解；（2）證明，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角公式求解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則，

又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)椋?，所以四邊形是正方形，所以，即是等腰三角形，則，所以，即，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以由直角三角形性質(zhì)易得（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，如圖，以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成的角的余弦值為.20．(1)，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列代入計(jì)算；（2）利用錯(cuò)位相減法可得，討論n的奇偶結(jié)合恒成立問題運(yùn)算處理．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，則可得，解得所以．因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，，則公差，所以．故，（2）由（1）得：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為①所以②由①-②得：，所以．不等式恒成立，化為成立，令且為遞增數(shù)列，即轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，取，所以．當(dāng)時(shí)，恒成立，取，，所以．綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是．21．(1)或(2)【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上求參數(shù)，即可得雙曲線方程，進(jìn)而寫出漸近線方程；（2）設(shè)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，結(jié)合是雙曲線上一點(diǎn)及，整理化簡(jiǎn)即可求值.【詳解】（1）由題意得，，解得.所以雙曲線方程為：，于是其漸近線為或，即或.（2）設(shè)，，因?yàn)椋?/p>

所以，整理得.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以.22．(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)及函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）可得函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，及，求導(dǎo)可得函數(shù)單調(diào)性與的取值范圍.【詳解】（1），（），①當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)，；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上