2024-2025學年廣西壯族自治區(qū)柳州市高二上學期12月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年廣西壯族自治區(qū)柳州市高二上學期12月月考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，則的值為（）A．64 B．14 C．10 D．34．如圖，用四種不同顏色給矩形A、B、C、D涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）

A．12種 B．24種 C．48種 D．72種5．已知圓C：，直線l：．則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．6．當時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．87．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．對于，恒成立，則正數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．記數(shù)列的前n項和為，且，則（）A． B．數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列C．數(shù)列的前n項和為 D．數(shù)列的前2023項和為10．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取一個球.事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．與互斥 B．與互斥 C．與相互獨立 D．與相互獨立11．定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．的值是19C．函數(shù)有三個零點D．過只可以作兩條直線與圖象相切三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量滿足與的夾角為，則．13．高為8的正四棱錐的頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的表面積為．14．甲，乙，丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留；當球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中，投擲n次骰子后（），記球在甲手中的概率為，則；．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)當時，求的圖象在點處的切線方程；(2)若，時，求實數(shù)a的取值范圍.16．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點，N是AB的中點．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．17．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值及樣本成績的第75百分位數(shù)；(2)求樣本成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；(3)已知落在的平均成績是54，方差是7，落在的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績合并后的平均數(shù)和方差.18．在中，設(shè)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角B；(2)若，求面積的最大值；(3)求的取值范圍．19．極點與極線是法國數(shù)學家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓，極點Px0,y0（不是坐標原點）對應(yīng)的極線為.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的長軸長為，左焦點與拋物線的焦點重合，對于橢圓，極點對應(yīng)的極線為，過點的直線與橢圓交于，兩點，在極線上任取一點，設(shè)直線，，的斜率分別為，，（，，均存在）.(1)求極線的方程；(2)求證：；(3)已知過點且斜率為2的直線與橢圓交于，兩點，直線，與橢圓的另一個交點分別為，，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標.

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，所以．故選：C.2．【正確答案】D【詳解】因為，則，因此，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.3．【正確答案】C【詳解】由等差數(shù)列前項和公式，可知：，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)“當時，”可知：，所以.故選：C.4．【正確答案】C【詳解】先A區(qū)域，再涂B，涂C，涂D，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有種涂法.故選：C.5．【正確答案】A【分析】由題意可證直線l恒過的定點在圓內(nèi)，當時直線l被圓C截得的弦長最小，結(jié)合勾股定理計算即可求解.【詳解】直線l：，令，解得，所以直線l恒過定點，圓C：的圓心為，半徑為，且，即P在圓內(nèi)，當時，圓心C到直線l的距離最大為，此時，直線l被圓C截得的弦長最小，最小值為．故選A．6．【正確答案】C【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.故選：C7．【正確答案】D【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)、雙曲線的定義結(jié)合余弦定理計算即可.【詳解】由題意可知線段的中點為，且滿足，則，故為等腰三角形，又，則為正三角形，根據(jù)雙曲線定義知，設(shè)，則，在中，由余弦定理知，故選D.8．【正確答案】B【詳解】由恒成立可得，即恒成立，由，可得恒成立，令，則，由知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，則恒成立，即恒成立，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，，所以只需，即.故選：B9．【正確答案】ACD【詳解】數(shù)列的前n項和，當時，，而滿足上式，因此，對于A，，A正確；對于B，，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，B錯誤；對于C，，數(shù)列的前n項和，C正確；對于D，，則數(shù)列的前2023項和為，D正確.故選：ACD10．【正確答案】ABD【詳解】依題意從中有放回地隨機取兩次球，則可能結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個結(jié)果.事件包含的基本事件有：，，，，，共個；事件包含的基本事件有：，，，，，共個；事件包含的基本事件有：共個；事件包含的基本事件有：，，，，，共個；對于A：顯然事件與事件不可能同時發(fā)生，所以與互斥，故A正確；對于B：事件與事件不可能同時發(fā)生，所以與互斥，故B正確；對于C：因為，，，所以與不獨立，故C錯誤；對于D：因為，，，所以與相互獨立，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，因為，所以，所以，由題意可得，即，解得，故A正確；對于B，因為的對稱中心為，所以，設(shè)，仿寫得到，兩式相加得到，所以，故B正確；對于C，由A可得，所以，令，解得或2，所以，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，，且，所以有一個零點，故C錯誤；對于D，設(shè)切點為，則切線方程為，又切線過點，所以，化簡可得，即，解得或，即滿足題意的切點只有兩個，所以滿足題意的切線只有2條，故D正確；故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】，故答案為:13．【正確答案】128【詳解】如圖所示，設(shè)在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，因為正四棱錐的高為8，外接球的半徑為5，所以，，所以，，則，故中，邊的高為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為，故該正四棱錐的表面積為．故128．14．【正確答案】【分析】結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，結(jié)合題意，利用列舉法和分類討論，即可求解.【詳解】由題意，當投擲3次骰子后，球在甲手中，共有4中情況：①：甲甲甲甲，其概率為②：甲甲乙甲，其概率為③：甲乙甲甲，其概率為④：甲乙丙甲，其概率為所以投擲3次后，球在甲手中的概率為.記當投擲次骰子后，球在甲手中的概率為，再三次投擲后，即投擲次，球仍在甲手中的概率為，則，即，即又因為，當時，；當時，；當時，，所以.故；.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），，，，所以的圖象在點1,f1處的切線方程為，即.（2），則，當時，f'x>0，即在0,+∞當時，，與題意不符.當時，時，f'x>0，在上單調(diào)遞增；時，f'x<0，在上單調(diào)遞減.當時，取得最大值，且.由題意可得，解得.即實數(shù)的取值范圍為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，是的中點，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．17．【正確答案】(1)，第75百分位數(shù)為84；(2)眾數(shù)為75，中位數(shù)為75，平均數(shù)為74；(3)平均數(shù)為62，方差為37.【詳解】（1）由每組小矩形的面積之和為1，得，解得，成績在內(nèi)的頻率為，在內(nèi)的頻率為，顯然第75百分位數(shù)，由，解得，所以第75百分位數(shù)為84.（2）由，得樣本成績的眾數(shù)為75，成績落在[40,70)內(nèi)的頻率為，成績落在內(nèi)的頻率為，故中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，由，得樣本成績的中位數(shù)為75，由.得樣本成績的平均數(shù)為74.（3）由頻率分布直方圖知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，所以，總方差為.18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，根據(jù)正弦定理得：，且，可得，即，又因為，則，可得，整理可得，且B∈0,π，則，可得，解得.（2）由余弦定理得：，即，可得，解得，當且僅當時，等號成立，所以的面積為：，故面積的最大值為.（3）根據(jù)正弦定理得：，令，則，可得，將原式化為：，因為，則，可得，根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)得到，當時，原式取得最小值，；當時，原式取得最大值，；故的取值范圍為.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析；定點【詳解】（1）由橢圓的