2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)柳州市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)柳州市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的值為（）A．64 B．14 C．10 D．34．如圖，用四種不同顏色給矩形A、B、C、D涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）

A．12種 B．24種 C．48種 D．72種5．已知圓C：，直線l：．則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．6．當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．87．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的右支上有一點(diǎn)與雙曲線的左支交于，線段的中點(diǎn)為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．對(duì)于，恒成立，則正數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A． B．?dāng)?shù)列是公差為1的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的前2023項(xiàng)和為10．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個(gè)球.事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．與互斥 B．與互斥 C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立11．定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．，B．的值是19C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．過(guò)只可以作兩條直線與圖象相切三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量滿足與的夾角為，則．13．高為8的正四棱錐的頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的表面積為．14．甲，乙，丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時(shí)，球在甲手中，投擲n次骰子后（），記球在甲手中的概率為，則；．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.16．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．17．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值及樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；(2)求樣本成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；(3)已知落在的平均成績(jī)是54，方差是7，落在的平均成績(jī)?yōu)?6，方差是4，求兩組成績(jī)合并后的平均數(shù)和方差.18．在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角B；(2)若，求面積的最大值；(3)求的取值范圍．19．極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德?迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)Px0,y0（不是坐標(biāo)原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，對(duì)于橢圓，極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在極線上任取一點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，（，，均存在）.(1)求極線的方程；(2)求證：；(3)已知過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：C.2．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，則，因此，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3．【正確答案】C【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可知：，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”可知：，所以.故選：C.4．【正確答案】C【詳解】先A區(qū)域，再涂B，涂C，涂D，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有種涂法.故選：C.5．【正確答案】A【分析】由題意可證直線l恒過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可求解.【詳解】直線l：，令，解得，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)，圓C：的圓心為，半徑為，且，即P在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，圓心C到直線l的距離最大為，此時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為．故選A．6．【正確答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C7．【正確答案】D【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)、雙曲線的定義結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【詳解】由題意可知線段的中點(diǎn)為，且滿足，則，故為等腰三角形，又，則為正三角形，根據(jù)雙曲線定義知，設(shè)，則，在中，由余弦定理知，故選D.8．【正確答案】B【詳解】由恒成立可得，即恒成立，由，可得恒成立，令，則，由知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，則恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以只需，即.故選：B9．【正確答案】ACD【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，數(shù)列的前n項(xiàng)和，C正確；對(duì)于D，，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為，D正確.故選：ACD10．【正確答案】ABD【詳解】依題意從中有放回地隨機(jī)取兩次球，則可能結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)結(jié)果.事件包含的基本事件有：，，，，，共個(gè)；事件包含的基本事件有：，，，，，共個(gè)；事件包含的基本事件有：共個(gè)；事件包含的基本事件有：，，，，，共個(gè)；對(duì)于A：顯然事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，故A正確；對(duì)于B：事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，，所以與不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，，，所以與相互獨(dú)立，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，由題意可得，即，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，所以，設(shè)，仿寫(xiě)得到，兩式相加得到，所以，故B正確；對(duì)于C，由A可得，所以，令，解得或2，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，，且，所以有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)可得，即，解得或，即滿足題意的切點(diǎn)只有兩個(gè)，所以滿足題意的切線只有2條，故D正確；故選：ABD.12．【正確答案】【詳解】，故答案為:13．【正確答案】128【詳解】如圖所示，設(shè)在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，因?yàn)檎睦忮F的高為8，外接球的半徑為5，所以，，所以，，則，故中，邊的高為，所以該正四棱錐的側(cè)面積為，故該正四棱錐的表面積為．故128．14．【正確答案】【分析】結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，結(jié)合題意，利用列舉法和分類討論，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)投擲3次骰子后，球在甲手中，共有4中情況：①：甲甲甲甲，其概率為②：甲甲乙甲，其概率為③：甲乙甲甲，其概率為④：甲乙丙甲，其概率為所以投擲3次后，球在甲手中的概率為.記當(dāng)投擲次骰子后，球在甲手中的概率為，再三次投擲后，即投擲次，球仍在甲手中的概率為，則，即，即又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.故；.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），，，，所以的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，即.（2），則，當(dāng)時(shí)，f'x>0，即在0,+∞當(dāng)時(shí)，，與題意不符.當(dāng)時(shí)，時(shí)，f'x>0，在上單調(diào)遞增；時(shí)，f'x<0，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取得最大值，且.由題意可得，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．17．【正確答案】(1)，第75百分位數(shù)為84；(2)眾數(shù)為75，中位數(shù)為75，平均數(shù)為74；(3)平均數(shù)為62，方差為37.【詳解】（1）由每組小矩形的面積之和為1，得，解得，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，在內(nèi)的頻率為，顯然第75百分位數(shù)，由，解得，所以第75百分位數(shù)為84.（2）由，得樣本成績(jī)的眾數(shù)為75，成績(jī)落在[40,70)內(nèi)的頻率為，成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，故中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，由，得樣本成績(jī)的中位數(shù)為75，由.得樣本成績(jī)的平均數(shù)為74.（3）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，所以，總方差為.18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理得：，且，可得，即，又因?yàn)?，則，可得，整理可得，且B∈0,π，則，可得，解得.（2）由余弦定理得：，即，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積為：，故面積的最大值為.（3）根據(jù)正弦定理得：，令，則，可得，將原式化為：，因?yàn)?，則，可得，根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，原式取得最小值，；當(dāng)時(shí)，原式取得最大值，；故的取值范圍為.19．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)【詳解】（1）由橢圓的