離散型隨機(jī)變量及其分布列（1）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列（1）(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.可重復(fù)性可預(yù)知性隨機(jī)性1.隨機(jī)試驗(yàn)的概念復(fù)習(xí)引入一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：我們就稱這樣的試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn).2.樣本點(diǎn)與樣本空間的概念求隨機(jī)事件的概率時(shí)，我們往往需要為隨機(jī)試驗(yàn)建立樣本空間，并會(huì)涉及樣本點(diǎn)和隨機(jī)事件的表示問(wèn)題．類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果我們?cè)陔S機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與實(shí)數(shù)集之間建立某種對(duì)應(yīng)，將不僅可以為一些隨機(jī)事件的表示帶來(lái)方便，而且能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗(yàn)．探究一：隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量問(wèn)題1：請(qǐng)為以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系：(1)擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；(2)擲兩枚骰子，觀察兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和；(3)擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正、反面的情況；(4)隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，觀察出現(xiàn)“抽到次品”和“抽到正品”的情況.有些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與數(shù)值沒(méi)有直接關(guān)系，我們可以根據(jù)問(wèn)題的需要為每個(gè)樣本點(diǎn)指定一個(gè)數(shù)值．例如(3)，擲一枚硬幣，可將試驗(yàn)結(jié)果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示，定義那么這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)就建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系．問(wèn)題1：請(qǐng)為以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系：(3)擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正、反面的情況；(4)隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，觀察出現(xiàn)“抽到次品”和“抽到正品”的情況.有些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與數(shù)值沒(méi)有直接關(guān)系，我們可以根據(jù)問(wèn)題的需要為每個(gè)樣本點(diǎn)指定一個(gè)數(shù)值．又如(4)，隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義那么這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)就建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系．問(wèn)題1：請(qǐng)為以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系：(4)隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，觀察出現(xiàn)“抽到次品”和“抽到正品”的情況.對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，總可以把它的每個(gè)樣本點(diǎn)與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)．即通過(guò)引入一個(gè)取值依賴于樣本點(diǎn)的變量X，來(lái)刻畫樣本點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)樣本點(diǎn)的數(shù)量化．因?yàn)樵陔S機(jī)試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，所以變量X的取值也具有隨機(jī)性．探究：考察下列隨機(jī)試驗(yàn)及其引入的變量:試驗(yàn)1:從100個(gè)電子元件(至少含3個(gè)以上次品)中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，變量X表示三個(gè)元件中的次品數(shù)；試驗(yàn)2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間各是什么?各個(gè)樣本點(diǎn)與變量的值是如何對(duì)應(yīng)的?變量X,Y有哪些共同的特征?對(duì)于試驗(yàn)1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1組成長(zhǎng)度為3的字符串表示樣本點(diǎn)，則樣本空間Ω1＝{000,001,010,011,100,101,110,111}.各樣本點(diǎn)與變量X的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示.00100001001110010111011110121223Ω1X探究：考察下列隨機(jī)試驗(yàn)及其引入的變量:試驗(yàn)2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間各是什么?各個(gè)樣本點(diǎn)與變量的值是如何對(duì)應(yīng)的?變量X,Y有哪些共同的特征?對(duì)于試驗(yàn)2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出現(xiàn)“正面朝上”，則樣本空間Ω2＝{h,th,tth,ttth,???}.Ω2包含無(wú)窮多個(gè)樣本點(diǎn).各樣本點(diǎn)與變量Y的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示.thhtthttththh2134thhΩ2Ytt一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.在上面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).變量X，Y有如下共同點(diǎn):(1)取值依賴于樣本點(diǎn)；(2)所有可能取值是明確的.1.隨機(jī)變量的定義:試驗(yàn)1中隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,共有4個(gè)值；試驗(yàn)2中隨機(jī)變量Y的可能取值為1,2,3,???，有無(wú)限個(gè)取值，但可以一一列舉出來(lái).像這樣，可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量.

通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，例如X,Y,Z；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，例如x,y,z.2.離散型隨機(jī)變量的定義:3.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集.隨機(jī)變量的取值X(ω)隨著試驗(yàn)結(jié)果ω的變化而變化，這使我們可以比較方便地表示一些隨機(jī)事件.現(xiàn)實(shí)生活中，離散型隨機(jī)變量的例子有很多.例如，某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X，它的可能取值為0,1,2,???,10；某網(wǎng)頁(yè)在24h內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y，它的可能取值為0,1,2,???；等等.3.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系現(xiàn)實(shí)生活中還有大量不是離散型隨機(jī)變量的例子.例如，種子含水量的測(cè)量誤差X1；某品牌電視機(jī)的使用壽命X2；測(cè)量某一個(gè)零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的測(cè)量誤差X3.這些都是可能取值充滿了某個(gè)區(qū)間、不能一一列舉的隨機(jī)變量.本節(jié)我們只研究取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量.課本60頁(yè)下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示?若能，請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(1)拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和；(2)某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù)；(3)任意抽取一瓶標(biāo)有1500ml的飲料，其實(shí)際含量與規(guī)定含量之差.解：(1)點(diǎn)數(shù)之和X是離散型隨機(jī)變量，X的可能取值為2，3，???，12.{X＝k}表示擲出的點(diǎn)數(shù)之和為k.(2)進(jìn)球個(gè)數(shù)Y是離散型隨機(jī)變量，Y的可能取值為0，1，2，3，4，5.{Y＝k}表示射進(jìn)k個(gè)球.(3)誤差Z不是離散型隨機(jī)變量.練習(xí)判斷一個(gè)變量是否是離散型隨機(jī)變量的步驟：反思?xì)w納探究二：離散型隨機(jī)變量的分布列根據(jù)問(wèn)題引入合適的隨機(jī)變量，有利于我們簡(jiǎn)潔地表示所關(guān)心的隨機(jī)事件，并利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗(yàn)中的概率問(wèn)題.例如，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，X表示擲出的點(diǎn)數(shù)，則事件“擲出m點(diǎn)”可以表示為{X＝m}(m=1,2,3,4,5,6)，事件“擲出的點(diǎn)數(shù)不大于2”可以表示為{X≤2}，事件“擲出偶數(shù)點(diǎn)”可以表示為{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.由擲出各種點(diǎn)數(shù)的等可能性，我們還可以得到這一規(guī)律我們還可以用下表來(lái)表示.213456XP隨機(jī)變量X的概率分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，

???，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率為X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，簡(jiǎn)稱分布列.1.離散型隨機(jī)變量的分布列歸納總結(jié)由于函數(shù)可以用解析式、表格、圖象表示，所以離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用解析式、表格、圖象表示.2.分布列的表示：1.解析式法x2x1xnXPp2p1pn2.表格法3.圖象法上圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖.PX1023456根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì):3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)注：這個(gè)兩個(gè)性質(zhì)是判斷分布列是否正確的重要依據(jù).利用分布列和概率的性質(zhì)，可以計(jì)算由離散型隨機(jī)變量表示的事件的概率.例如，在擲骰子試驗(yàn)中，由概率的加法公式，得事件“擲出的點(diǎn)數(shù)不大于2”的概率為類似地，事件“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的概率為練習(xí)反思?xì)w納隨堂檢測(cè)則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為（

）

2.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22解析:P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.5.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.解:由分布列的性質(zhì)知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579|X－1|10123(1)2X＋1的分布列(2)|X－1|的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3|X－1|0123P0.10.30.30.3則由上表得兩個(gè)分布列為X012342X＋113579|X－1|10123課堂小結(jié)一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X