人教B版數(shù)學(xué)必修五:《不等式的實(shí)際應(yīng)用》學(xué)案(含答案解析)_第1頁
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§3.4不等式的實(shí)際應(yīng)用自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理1.設(shè)a,b是兩個(gè)正數(shù),則eq\f(2ab,a+b)≤________≤________≤eq\r(\f(a2+b2,2)).2.已知x,y是正數(shù),如果xy是常數(shù)p,則x+y有最______值,且這個(gè)值是________;如果x+y是常數(shù)S,則xy有最______值,且這個(gè)值是________.3.解有關(guān)不等式應(yīng)用題的步驟(1)設(shè)未知數(shù).用字母表示題中的未知數(shù).(2)列不等式(組).找出題中的不等量關(guān)系,列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組).(3)解不等式(組).運(yùn)用不等式知識(shí)求解不等式(組),同時(shí)要注意未知數(shù)在實(shí)際問題中的取值范圍.(4)答.規(guī)范地寫出答案.自主探究向a克糖水中加入m克糖,糖水變得更甜了.你能把這一現(xiàn)象用一個(gè)不等式表示出來嗎?對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一和一次不等式或分式不等式有關(guān)的應(yīng)用題例1某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定:商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售;同時(shí),當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后,按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券:消費(fèi)金額(元)的范圍[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…獲得獎(jiǎng)券的金額(元)3060100130…根據(jù)上述促銷的方法,顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠.例如,購(gòu)買標(biāo)價(jià)為400元的商品,則消費(fèi)金額為320元,獲得的優(yōu)惠額為:400×0.2+30=110(元).設(shè)購(gòu)買商品得到的優(yōu)惠率=eq\f(購(gòu)買商品獲得的優(yōu)惠額,商品的標(biāo)價(jià)).試問:(1)若購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品,顧客得到的優(yōu)惠率是多少?(2)對(duì)于標(biāo)價(jià)在[500,800](元)內(nèi)的商品,顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)為多少元的商品,可得到不小于eq\f(1,3)的優(yōu)惠率?總結(jié)本題中的優(yōu)惠額實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分段函數(shù).變式訓(xùn)練1商場(chǎng)出售的A型冰箱每臺(tái)售價(jià)為2190元,每日耗電量為1度,而B型節(jié)能冰箱每臺(tái)售價(jià)雖比A型冰箱高出10%,但每日耗電量卻為0.55度.現(xiàn)將A型冰箱打折出售(打一折后的售價(jià)為原價(jià)的eq\f(1,10)),問商場(chǎng)至少打幾折,消費(fèi)者購(gòu)買才合算(按使用期為10年,每年365天,每度電0.40元計(jì)算)?知識(shí)點(diǎn)二和二次不等式有關(guān)的應(yīng)用問題例2汽車在行駛過程中,由于慣性作用,剎車后還要向前滑行一段距離才能停住,我們稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要因素,在一個(gè)限速為40千米/時(shí)以內(nèi)的彎道上,甲、乙兩車相向而行,發(fā)現(xiàn)情況不對(duì),同時(shí)剎車,但還是相撞了.事后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離為12米,乙車的剎車距離為超過10米,又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(米)與車速x(千米/時(shí))之間分別有如下關(guān)系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,問兩車相撞的主要責(zé)任是誰?總結(jié)解實(shí)際應(yīng)用問題,審題是關(guān)鍵,要把實(shí)際問題準(zhǔn)確提煉為相應(yīng)的不等式問題后再求解.變式訓(xùn)練2某省每年損失耕地20萬畝,每畝耕地價(jià)值24000元,為了減小耕地?fù)p失,決定按耕地價(jià)格的t%征收耕地占用稅,這樣每年的耕地?fù)p失可減少eq\f(5,2)t萬畝,為了既減少耕地的損失又保證此項(xiàng)稅收一年不少于9000萬元,t應(yīng)在什么范圍內(nèi)變動(dòng)?知識(shí)點(diǎn)三和均值不等式有關(guān)的應(yīng)用問題例3經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到,在交通繁忙的時(shí)段內(nèi),某公路段汽車的車流量y(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度v(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為y=eq\f(920v,v2+3v+1600)(v>0).(1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí),車流量最大?最大車流量為多少?(精確到0.1千輛/小時(shí))(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?總結(jié)不等式的應(yīng)用性問題,最值問題是重點(diǎn),要讀懂題意、理解實(shí)際背景、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),抽象歸納出其中的數(shù)量關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型,常用均值不等式求解.變式訓(xùn)練3某商品進(jìn)貨價(jià)每件50元,據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,當(dāng)銷售價(jià)格(每件x元)在50<x≤80時(shí),每天售出的件數(shù)P=eq\f(105,x-402),若想每天獲得的利潤(rùn)最多,銷售價(jià)格每件應(yīng)定為多少元?1.解有關(guān)不等式的實(shí)際問題時(shí),若文字較長(zhǎng),數(shù)據(jù)較多,要學(xué)會(huì)正確地梳理數(shù)據(jù),準(zhǔn)確地找出數(shù)據(jù)之間的主要聯(lián)系,建立能反映問題實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)模型,再利用不等式求解.2.解不等式實(shí)際應(yīng)用題的思路eq\x(實(shí)際問題)eq\o(→,\s\up7(建模),\s\do5(審題、抽象、轉(zhuǎn)化))eq\x(數(shù)學(xué)問題)eq\o(→,\s\up7(解題利用不等式),\s\do5(推理運(yùn)算))eq\x(數(shù)學(xué)問題答案)eq\o(→,\s\up7(檢驗(yàn)))eq\x(實(shí)際問題結(jié)論)課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.如圖所示,某汽車運(yùn)輸公司剛買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn),據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位:10萬元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系.則每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年,其營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大?()A.3年B.4年C.5年D.6年2.某公司租地建倉(cāng)庫(kù),每月土地費(fèi)用與倉(cāng)庫(kù)到車站距離成反比,而每月貨物的運(yùn)輸費(fèi)用與倉(cāng)庫(kù)到車站距離成正比.如果在距離車站10km處建倉(cāng)庫(kù),則土地費(fèi)用和運(yùn)輸費(fèi)用分別為2萬元和8萬元,那么要使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站()A.5km處B.4km處C.3km處D.2km處3.把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段,各自圍成一個(gè)正三角形,那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是()A.eq\f(3,2)eq\r(3)cm2B.4cm2C.3eq\r(2)cm2D.2eq\r(3)cm24.做一個(gè)面積為1平方米,形狀為直角三角形的框架,有下列四種長(zhǎng)度的鋼管供選用,其中最合理(夠用且最省料)的是()A.4.7米B.4.8米C.4.9米D.5米二、填空題5.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,其中一條側(cè)棱長(zhǎng)為1,另兩條側(cè)棱長(zhǎng)的和為4,則此三棱錐體積的最大值是______.6.用兩種材料做一個(gè)矩形框,按要求其長(zhǎng)邊和寬邊選用價(jià)格每米分別為3元和5元的材料,且長(zhǎng)和寬必須為整數(shù),現(xiàn)預(yù)算花費(fèi)不超過100元,則做成的矩形框的最大面積是________.三、解答題7.某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境,計(jì)劃建一個(gè)八邊形的休閑小區(qū),它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字型地域.現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ上建一花壇,造價(jià)為4200元/m2,在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價(jià)為210元/m2,再在四個(gè)空角上鋪草坪,造價(jià)為80元/m2(1)設(shè)總造價(jià)為S元,AD的邊長(zhǎng)為xm,試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)計(jì)劃至少要投入多少元,才能建造這個(gè)休閑小區(qū).§3.4不等式的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)梳理1.eq\r(ab)eq\f(a+b,2)2.小2eq\r(p)大eq\f(1,4)S2自主探究解設(shè)原來a克糖水中含糖b克,加入m克糖后,糖水濃度變大了,用不等式表示為eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m)(其中a,b,m均為正數(shù),且a>b).證明如下:eq\f(b+m,a+m)-eq\f(b,a)=eq\f(ab+m-ba+m,aa+m)=eq\f(ma-b,aa+m),又a,b,m均為正數(shù)且a>b,∴a-b>0,m(a-b)>0,a(a+m)>0,∴eq\f(ma-b,aa+m)>0.因此,eq\f(b+m,a+m)>eq\f(b,a),也就是糖水濃度更大了,糖水變得更甜了.對(duì)點(diǎn)講練例1解(1)eq\f(1000×0.2+130,1000)=33%.(2)設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為x元,則500≤x≤800,消費(fèi)額:400≤0.8x≤640,由已知得①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0.2x+60,x)≥\f(1,3),400≤0.8x<500))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0.2x+100,x)≥\f(1,3),500≤0.8x≤640)).不等式組①無解,不等式組②的解為625≤x≤750.因此,當(dāng)顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)在[625,750]元內(nèi)的商品時(shí),可得到不小于eq\f(1,3)的優(yōu)惠率.變式訓(xùn)練1解設(shè)商場(chǎng)將A型冰箱打x折出售,則消費(fèi)者購(gòu)買A型冰箱需耗資2190×eq\f(x,10)+365×10×1×0.4(元),購(gòu)買B型冰箱需耗資2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4(元).依題意,得2190×eq\f(x,10)+365×10×1×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4.解不等式,得x≤8.因此,商場(chǎng)應(yīng)將A型冰箱至少打八折出售,消費(fèi)者購(gòu)買才合算.例2解由題意知,對(duì)于甲車,令0.1x+0.01x2=12,解得x=30或x=-40(舍去).即甲車的車速是30千米/時(shí),沒有超過限速.對(duì)于乙車,令0.05x+0.005x2>10,解得x>40或x<-50(舍去),即乙車超過了限速40千米/時(shí),故乙車應(yīng)負(fù)主要責(zé)任.變式訓(xùn)練2解由題意可列不等式如下:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20-\f(5,2)t))·24000·t%≥9000?3≤t≤5.所以t%應(yīng)控制在3%到5%范圍內(nèi).例3解(1)依題意,y=eq\f(920,3+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v+\f(1600,v))))≤eq\f(920,3+2\r(1600))=eq\f(920,83),當(dāng)且僅當(dāng)v=eq\f(1600,v),即v=40時(shí),上式等號(hào)成立,所以ymax=eq\f(920,83)≈11.1(千輛/小時(shí)).(2)由條件得eq\f(920v,v2+3v+1600)>10,整理得v2-89v+1600<0,即(v-25)(v-64)<0,解得25<v<64.故當(dāng)v=40千米/小時(shí)時(shí),車流量最大,最大車流量約為11.1千輛/小時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/小時(shí)且小于64千米/小時(shí).變式訓(xùn)練3解設(shè)銷售價(jià)定為每件x元(50<x≤80),每天獲得利潤(rùn)y元,則y=(x-50)·P=eq\f(105x-50,x-402),令t=x-50,t∈(0,30].∴y=eq\f(105t,t+102)=eq\f(105t,t2+20t+100)=eq\f(105,t+\f(100,t)+20)≤eq\f(105,20+20)=2500.當(dāng)且僅當(dāng)t=10,即x=60時(shí),ymax=2500.∴要想每天獲得的利潤(rùn)最多,銷售價(jià)格每件應(yīng)定為60元.課時(shí)作業(yè)1.C[由圖象設(shè)y=a(x-6)2+11(a<0).當(dāng)x=4時(shí),y=7,∴4a∴a=-1.∴y=11-(x-6)2=-x2+12x-25∴eq\f(y,x)=12-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(25,x)))≤12-10=2.當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\f(25,x),即x=5時(shí),取“=”,故選C.]2.A[設(shè)倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站x千米處.由已知得y1=2=eq\f(k1,10),得k1=20,∴y1=eq\f(20,x),y2=8=k2·10,得k2=eq\f(4,5),∴y2=eq\f(4,5)x,∴y1+y2=eq\f(20,x)+eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))=8,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(20,x)=eq\f(4x,5),即x=5時(shí),費(fèi)用之和最?。甝3.D[設(shè)一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為xcm,則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4-x)cm,兩個(gè)三角形的面積和為S=eq\f(\r(3),4)x2+eq\f(\r(3),4)(4-x)2=eq\f(\r(3),2)[(x-2)2+4]≥2eq\r(3)(cm2).]4.C[設(shè)直角三角形框架的兩直角邊分別為a,b.則直角三角形框架的長(zhǎng)度為eq\r(a2+b2)+a+b≥eq\r(2ab)+2eq\r(ab)=(2+eq\r(2))eq\r(ab),∵eq\f(1,2)ab=1.∴ab=2,∴eq\r(a2+b2)+(a+b)≥(2+eq\r(2))eq\r(2)=2eq\r(2)+2.∵2eq\r(2)+2>4.8.∴應(yīng)選用4.9米長(zhǎng)的鋼管.]5.eq\f(2,3)解析設(shè)一條側(cè)棱長(zhǎng)為x,另一條長(zhǎng)為4-x,則V=eq\f(1,3)·eq\f(1,2)x(4-x)≤eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x+4-x,2)))2=eq\f(2,3).當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)“=”成立.6.40m解析設(shè)該矩形框長(zhǎng)為x,寬為y,則3x+5y≤50(x、y∈N*),故eq\r(3x·5y)≤eq\f(3x+5y,2)≤25,于是xy≤eq\f(125,3),又x、y∈N*,xy≤41,若xy=41,則只有x=41,y=1,與3x+5y≤50不符;若xy=40,則x=8,y=5或x=10,y=4,故矩形框的最大面

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