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PAGE5-課時作業(yè)(二)空間向量基本定理一、選擇題1.下列命題中正確的個數(shù)是()①若a與b共線,b與c共線,則a與c共線.②向量a,b,c共面,即它們所在的直線共面.③假如三個向量a,b,c不共面,那么對于空間隨意一個向量p存在有序實數(shù)組{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.④若a,b是兩個不共線的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),則{a,b,c}構成空間的一個基底.A.0B.1C.2D.32.已知向量{a,b,c}是空間的一個基底,p=a+b,q=a-b,肯定可以與向量p,q構成空間的另一個基底的是()A.aB.bC.cD.無法確定3.如圖所示,空間四邊形OABC中,eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,eq\o(OC,\s\up6(→))=c,點M在OA上,且eq\o(OM,\s\up6(→))=2eq\o(MA,\s\up6(→)),N為BC中點,則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a-eq\f(2,3)b+eq\f(1,2)cB.-eq\f(2,3)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b-eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a+eq\f(2,3)b-eq\f(1,2)c4.對空間任一點O和不共線三點A、B、C,能得到P,A,B,C四點共面的是()A.eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OP,\s\up6(→))=-eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))D.以上皆錯二、填空題5.下列命題是真命題的是________(填序號).①若A,B,C,D在一條直線上,則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量;②若A,B,C,D不在一條直線上,則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不是共線向量;③若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量,則A,B,C,D四點必在一條直線上;④若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量,則A,B,C三點必在一條直線上.6.已知空間的一個基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m與n共線,則x=________,y=________.7.如圖,點M為OA的中點,{eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→)),eq\o(OD,\s\up6(→))}為空間的一個基底,eq\o(DM,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OC,\s\up6(→))+zeq\o(OD,\s\up6(→)),則有序實數(shù)組(x,y,z)=________.三、解答題8.已知{e1,e2,e3}是空間的一個基底,且eq\o(OA,\s\up6(→))=e1+2e2-e3,eq\o(OB,\s\up6(→))=-3e1+e2+2e3,eq\o(OC,\s\up6(→))=e1+e2-e3,試推斷{eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一個基底.9.如圖所示,在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AA′,\s\up6(→))=c,P是CA′的中點,M是CD′的中點,N是C′D′的中點,點Q在CA′上,且CQQA′=41,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1)eq\o(AP,\s\up6(→));(2)eq\o(AM,\s\up6(→));(3)eq\o(AN,\s\up6(→));(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).[尖子生題庫]10.如圖,空間四邊形ABCD中,點G為△BCD的重心,E,F(xiàn),H分別為邊CD,AD和BC的中點,則eq\o(AG,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))的化簡結果為()A.eq\o(AF,\s\up6(→))B.eq\o(AH,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))課時作業(yè)(二)空間向量基本定理1.解析:①中當b=0時,a與c不肯定共線,故①錯誤;②中a,b,c共面時,它們所在的直線平行于同一平面不肯定在同一平面內,故②錯誤;③正確;④不對,a,b不共線.當c=λa+μb時,a,b,c共面.答案:B2.解析:∵a=eq\f(1,2)p+eq\f(1,2)q,∴a與p,q共面,∵b=eq\f(1,2)p-eq\f(1,2)q,∴b與p,q共面,∵不存在λ,μ,使c=λp+μq,∴c與p,q不共面,故{c,p,q}可作為空間的一個基底,故選C.答案:C3.解析:eq\o(MN,\s\up12(→))=eq\o(ON,\s\up12(→))-eq\o(OM,\s\up12(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up12(→))+eq\o(OC,\s\up12(→)))-eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up12(→))=eq\f(1,2)(b+c)-eq\f(2,3)a=-eq\f(2,3)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c.答案:B4.解析:∵eq\o(OP,\s\up12(→))=eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up12(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up12(→)),∴3eq\o(OP,\s\up12(→))=eq\o(OA,\s\up12(→))+eq\o(OB,\s\up12(→))+eq\o(OC,\s\up12(→)),∴eq\o(OP,\s\up12(→))-eq\o(OA,\s\up12(→))=(eq\o(OB,\s\up12(→))-eq\o(OP,\s\up12(→)))+(eq\o(OC,\s\up12(→))-eq\o(OP,\s\up12(→)))∴eq\o(AP,\s\up12(→))=eq\o(PB,\s\up12(→))+eq\o(PC,\s\up12(→)),∴eq\o(PA,\s\up12(→))=-eq\o(PB,\s\up12(→))-eq\o(PC,\s\up12(→)),∴P,A,B,C四點共面.答案:B5.解析:①為真命題,A,B,C,D在一條直線上,向量eq\o(AB,\s\up12(→)),eq\o(CD,\s\up12(→))的方向相同或相反,因此eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是共線向量;②為假命題,A,B,C,D不在一條直線上,則eq\o(AB,\s\up12(→)),eq\o(CD,\s\up12(→))的方向不確定,不能推斷eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是否為共線向量;③為假命題,因為eq\o(AB,\s\up12(→)),eq\o(CD,\s\up12(→))兩個向量所在的直線可能沒有公共點,所以A,B,C,D四點不肯定在一條直線上;④為真命題,因為eq\o(AB,\s\up12(→)),eq\o(AC,\s\up12(→))兩個向量所在的直線有公共點A,且eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))是共線向量,所以A,B,C三點共線.故填①④.答案:①④6.解析:因為m與n共線,所以存在實數(shù)λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc,于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1=λx,,-1=λy,,1=λ,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=-1)).答案:1-17.解析:eq\o(DM,\s\up12(→))=eq\o(OM,\s\up12(→))-eq\o(OD,\s\up12(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))-eq\o(OD,\s\up12(→)),所以有序實數(shù)組(x,y,z)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0,-1)).答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0,-1))8.解析:假設eq\o(OA,\s\up12(→)),eq\o(OB,\s\up12(→)),eq\o(OC,\s\up12(→))共面,由向量共面的充要條件知,存在實數(shù)x,y,使得eq\o(OA,\s\up12(→))=xeq\o(OB,\s\up12(→))+yeq\o(OC,\s\up12(→))成立,即e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.因為{e1,e2,e3}是空間的一個基底,所以e1,e2,e3不共面,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-3x+y=1,,x+y=2,,2x-y=-1,))此方程組無解.即不存在實數(shù)x,y,使得eq\o(OA,\s\up12(→))=xeq\o(OB,\s\up12(→))+yeq\o(OC,\s\up12(→))成立,所以eq\o(OA,\s\up12(→)),eq\o(OB,\s\up12(→)),eq\o(OC,\s\up12(→))不共面.故{eq\o(OA,\s\up12(→)),eq\o(OB,\s\up12(→)),eq\o(OC,\s\up12(→))}能作為空間的一個基底.9.解析:連接AC,AD′,AC′(圖略).(1)eq\o(AP,\s\up12(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))+eq\o(AA′,\s\up12(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))+eq\o(AD,\s\up12(→))+eq\o(AA′,\s\up12(→)))=eq\f(1,2)(a+b+c).(2)eq\o(AM,\s\up12(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))+eq\o(AD′,\s\up12(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))+2eq\o(AD,\s\up12(→))+eq\o(AA′,\s\up12(→)))=eq\f(1,2)a+b+eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up12(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up12(→))+eq\o(AD′,\s\up12(→)))=eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up12(→))+eq\o(AD,\s\up12(→))+eq\o(AA′,\s\up12(→)))+(eq\o(AD,\s\up12(→))+eq\o(AA′,\s\up12(→)))]=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))+2eq\o(AD,\s\up12(→))+2eq\o(AA′,\s\up12(→)))=eq\f(1,2)a+b+c.(4)eq\o(AQ,\s\up12(→))=eq\o(AC,\s\up12(→))+eq\o(CQ,\s\up12(→))=eq\o(AC,\s\up12(→))+eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up12(→))-eq\o(AC,\s\up12(→)))=eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up12(→))+eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up12(→))
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