2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1.2空間向量基本定理課時(shí)作業(yè)含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE5-課時(shí)作業(yè)(二)空間向量基本定理一、選擇題1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線．②向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面．③假如三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)于空間隨意一個(gè)向量p存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a，b是兩個(gè)不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底．A．0B．1C．2D．32．已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，p＝a＋b，q＝a－b，肯定可以與向量p，q構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是()A．a(chǎn)B．bC．cD．無法確定3.如圖所示，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點(diǎn)M在OA上，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，N為BC中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c4．對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是()A.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))D．以上皆錯(cuò)二、填空題5．下列命題是真命題的是________(填序號(hào))．①若A，B，C，D在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量；②若A，B，C，D不在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不是共線向量；③若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上；④若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上．6．已知空間的一個(gè)基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________.7.如圖，點(diǎn)M為OA的中點(diǎn)，{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))}為空間的一個(gè)基底，eq\o(DM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)＝________.三、解答題8．已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試推斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一個(gè)基底．9.如圖所示，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA′上，且CQQA′＝41，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).[尖子生題庫]10.如圖，空間四邊形ABCD中，點(diǎn)G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點(diǎn)，則eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))的化簡(jiǎn)結(jié)果為()A.eq\o(AF,\s\up6(→))B.eq\o(AH,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))D.eq\o(CF,\s\up6(→))課時(shí)作業(yè)(二)空間向量基本定理1．解析：①中當(dāng)b＝0時(shí)，a與c不肯定共線，故①錯(cuò)誤；②中a，b，c共面時(shí)，它們所在的直線平行于同一平面不肯定在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò)誤；③正確；④不對(duì)，a，b不共線．當(dāng)c＝λa＋μb時(shí)，a，b，c共面．答案：B2．解析：∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a與p，q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b與p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c與p，q不共面，故{c，p，q}可作為空間的一個(gè)基底，故選C.答案：C3．解析：eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(ON,\s\up12(→))－eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：B4．解析：∵eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up12(→))，∴3eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))，∴eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→)))＋(eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→)))∴eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))，∴eq\o(PA,\s\up12(→))＝－eq\o(PB,\s\up12(→))－eq\o(PC,\s\up12(→))，∴P，A，B，C四點(diǎn)共面．答案：B5．解析：①為真命題，A，B，C，D在一條直線上，向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))的方向相同或相反，因此eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是共線向量；②為假命題，A，B，C，D不在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))的方向不確定，不能推斷eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是否為共線向量；③為假命題，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))兩個(gè)向量所在的直線可能沒有公共點(diǎn)，所以A，B，C，D四點(diǎn)不肯定在一條直線上；④為真命題，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))兩個(gè)向量所在的直線有公共點(diǎn)A，且eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(AC,\s\up12(→))是共線向量，所以A，B，C三點(diǎn)共線．故填①④.答案：①④6．解析：因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1)).答案：1－17．解析：eq\o(DM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))，所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))8．解析：假設(shè)eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up12(→))＝xeq\o(OB,\s\up12(→))＋yeq\o(OC,\s\up12(→))成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因?yàn)閧e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程組無解．即不存在實(shí)數(shù)x，y，使得eq\o(OA,\s\up12(→))＝xeq\o(OB,\s\up12(→))＋yeq\o(OC,\s\up12(→))成立，所以eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))}能作為空間的一個(gè)基底．9．解析：連接AC，AD′，AC′(圖略)．(1)eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(AD′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋2eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up12(→))＋eq\o(AD′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＋(eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋2eq\o(AD,\s\up12(→))＋2eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up12(→))