2024-2025學年新教材高中數(shù)學第1章集合與常用邏輯用語1.3集合的基本運算第1課時并集與交集學案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE6-1.3集合的基本運算第1課時并集與交集學習目標核心素養(yǎng)1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡潔集合的并集和交集．(重點、難點)2．能運用Venn圖表達集合間的關(guān)系及運算，體會圖示對理解抽象概念的作用．(難點)1.借助Venn圖培育直觀想象素養(yǎng)．2．通過集合并集、交集的運算提升數(shù)學運算素養(yǎng).某班有學生20人，他們的學號分別是1,2,3，…，20，現(xiàn)有a，b兩本新書，已知學號是偶數(shù)的讀過新書a，學號是3的倍數(shù)的讀過新書b.問題：(1)問至少讀過一本書的有哪些同學？(2)同時讀了a，b兩本書的有哪些同學？提示：(1)至少讀過一本書的有學號為2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20的同學．(2)同時讀了a，b兩本書的有學號為6,12,18的同學．1．并集思索：(1)“x∈A或x∈B”包含哪幾種狀況？(2)集合A∪B的元素個數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個數(shù)和？提示：(1)“x∈A或x∈B”這一條件包括下列三種狀況：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用Venn圖表示如圖所示．(2)不等于，A∪B的元素個數(shù)小于或等于集合A與集合B的元素個數(shù)和．2．交集3．并集與交集的運算性質(zhì)并集的運算性質(zhì)交集的運算性質(zhì)A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝AA∩?＝?1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)集合A∪B中的元素個數(shù)就是集合A和集合B中的全部元素的個數(shù)和． ()(2)當集合A與集合B沒有公共元素時，集合A與集合B就沒有交集. ()(3)若A∪B＝A∪C，則B＝C. ()(4)A∩B?A∪B. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．設(shè)集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，則A∩B＝________，A∪B＝________.{5,8}{3,4,5,6,7,8}[∵A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∴A∩B＝{5,8}，A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．]3．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，則A∪B＝________，A∩B＝________.{x|x>－3}{x|2＜x＜4}[如圖故A∪B＝{x|x>－3}，A∩B＝{x|2＜x＜4}．]4．滿意{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于________．{2}或{1,2}[∵{1}∪B＝{1,2}，∴B可能為{2}或{1,2}．]并集概念及其應用【例1】(1)設(shè)集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故選D.(2)在數(shù)軸上表示集合M，N，如圖所示，則M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的2種基本方法1定義法：若集合是用列舉法表示的，可以干脆利用并集的定義求解；2數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸分析法求解.eq\o([跟進訓練])1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，則A∪B＝________.{0,1,2,3,4,5}[A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]交集概念及其應用【例2】(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為________．(1)A(2)2[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如圖，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故A∩B中有2個元素．]1．求集合交集的運算類似于并集的運算，其方法為：(1)定義法；(2)數(shù)形結(jié)合法．2．若A，B是無限連續(xù)的數(shù)集，多利用數(shù)軸來求解．但要留意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實點表示，不含有端點的值用空心點表示．eq\o([跟進訓練])2．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由題意知A∩B＝{0,2}．]3．設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．－1<a≤2 B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)>－1D[因為A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，在數(shù)軸上表示出兩個集合，如圖所示，易知a>－1.]集合交、并運算的性質(zhì)及綜合應用[探究問題]1．設(shè)A，B是兩個集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，則集合A與B具有什么關(guān)系？提示：A∩B＝A?A∪B＝B?A?B.2．若A∩B＝A∪B，則集合A，B間存在怎樣的關(guān)系？提示：若A∩B＝A∪B，則集合A＝B.【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[思路點撥]eq\x(A∪B＝A)eq\o(→,\s\up7(等價轉(zhuǎn)化))eq\x(B?A)eq\o(→,\s\up7(分B＝?和B≠?))eq\x(建立k的不等關(guān)系)eq\o(→,\s\up7(求交集))eq\x(得k的范圍)[解](1)當B＝?，即k＋1>2k－1時，k<2，滿意A∪B＝A.(2)當B≠?時，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).1．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∩B＝A”，試求k的取值范圍．[解]由A∩B＝A可知A?B.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，,2k－1≥k+1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，,k≥2，))所以k∈?.所以k的取值范圍為?.2．把本例條件“A∪B＝A”改為“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值為3.1．理解2個概念——并集、交集(1)對于并集，要留意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)分，它們是“相容”的．“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種狀況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由全部至少屬于A，B兩者之一的元素組成的集合．(2)A∩B中的元素是“全部”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分．特殊地，當集合A和集合B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.2．規(guī)避2個易錯點——交、并運算中的留意事項(1)對于元素個數(shù)有限的集合，可干脆依據(jù)集合的“交”“并”定義求解，但要留意集合元素的互異性．(2)對于元素個數(shù)無限的集合，進行交、并運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要留意端點值能否取到．1．設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，則(A∩B)∪C等于()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}D[因為A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，所以A∩B＝{1,2}．又C＝{2,3,4}，所以(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．]2．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，則A∩B＝()A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x＜4}C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x＜4}B[因為集合A＝{x|－3≤x＜4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，所以A∩B＝{x|－2≤x＜4}．]3．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}D[由Venn圖，可知陰影部分所表示的集合是M∪P.因為M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故選D.]4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，則A∩B＝________.{2}[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．]5．設(shè)A＝{x