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題型練5大題專(zhuān)項(xiàng)(三)統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題1.第五代移動(dòng)通信技術(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)5G)是最新一代蜂窩移動(dòng)通信技術(shù),也是繼2G、3G和4G系統(tǒng)之后的延伸.5G的性能目標(biāo)是高數(shù)據(jù)速率、減少延遲、節(jié)省能源、降低成本、提高系統(tǒng)容量和大規(guī)模設(shè)備連接.某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)5G相關(guān)知識(shí)的了解程度,隨機(jī)抽取男、女學(xué)生各50名進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)評(píng),所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示,并規(guī)定得分在80分以上為“比較了解”.(1)求a的值,并估計(jì)該大學(xué)學(xué)生對(duì)5G比較了解的概率.(2)已知對(duì)5G比較了解的樣本中男女比例為4∶1.完成下列2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為對(duì)5G比較了解與性別有關(guān).性別比較了解不太了解合計(jì)男性女性合計(jì)(3)用分層抽樣的方式從得分在50分以下的樣本中抽取6人,再?gòu)?人中隨機(jī)選取2人,求至少有1人得分低于40分的概率.附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8282.(2022新高考Ⅱ,19)在某地區(qū)進(jìn)行某種疾病調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡,得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)(2)估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病,其年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的16%,從該地區(qū)任選1人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),估計(jì)此人患這種疾病的概率(精確到0.0001).3.《中華人民共和國(guó)民法典》被稱(chēng)為“社會(huì)生活的百科全書(shū)”.在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位,也是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的基本法.某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法,組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國(guó)民法典》并組織知識(shí)競(jìng)賽.為了解學(xué)習(xí)的效果,現(xiàn)從高一、高二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)(單位:分),繪制成莖葉圖如圖所示.(1)通過(guò)莖葉圖分析哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好.(不要求計(jì)算,分析并給出結(jié)論)(2)根據(jù)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī),將其分為四個(gè)等級(jí):測(cè)試成績(jī)(單位:分)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀①?gòu)臉颖局腥稳?名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī),在成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的情況下,求這2名同學(xué)來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率.②現(xiàn)從樣本中成績(jī)?yōu)榱己玫膶W(xué)生中隨機(jī)抽取3人座談,記X為抽到高二年級(jí)的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.4.(2022四川石室中學(xué)模擬)某研究機(jī)構(gòu)為了解大學(xué)生對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣,從某大學(xué)隨機(jī)抽取了600人進(jìn)行調(diào)查,經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生與女生的人數(shù)之比為11∶13,對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的人數(shù)占抽取的總?cè)藬?shù)的23,女生中有75人對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣(1)完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下,認(rèn)為對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣與性別有關(guān)?性別是否有興趣合計(jì)有興趣沒(méi)有興趣男女75合計(jì)600(2)按性別用分層抽樣的方法從對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的學(xué)生中抽取8人,若從這8人中隨機(jī)選出3人作為冰壺運(yùn)動(dòng)的宣傳員,設(shè)X表示選出的3人中女生的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.8285.近年來(lái),移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額/元(0,1000](1000,2000]大于2000支付方式僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率.(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機(jī)抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說(shuō)明理由.6.某學(xué)校食堂為了解師生對(duì)某種新推出的菜品的滿(mǎn)意度,從品嘗過(guò)該菜品的學(xué)生和教師中分別隨機(jī)調(diào)查了20人,得到師生對(duì)該菜品的滿(mǎn)意度評(píng)分如下:教師:6063656769757777797982838687899293969696學(xué)生:4749525455576365666674747577808283849596根據(jù)師生對(duì)該菜品的滿(mǎn)意度評(píng)分,將滿(mǎn)意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):滿(mǎn)意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿(mǎn)意度等級(jí)不滿(mǎn)意滿(mǎn)意非常滿(mǎn)意假設(shè)教師和學(xué)生對(duì)該菜品的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)設(shè)數(shù)據(jù)中教師和學(xué)生評(píng)分的平均值分別為μ1和μ2,方差分別為η1和η2,試比較μ1和μ2,η1和η2的大小(結(jié)論不要求證明).(2)從全校教師中隨機(jī)抽取3人,設(shè)X為3人中對(duì)該菜品非常滿(mǎn)意的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(3)求教師的滿(mǎn)意度等級(jí)高于學(xué)生的滿(mǎn)意度等級(jí)的概率.7.某汽車(chē)公司擬對(duì)甲款高端汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬,得到科技改造投入x(單位:億元)與科技改造直接收益y(單位:億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)0<x≤17時(shí),建立了y與x的兩個(gè)回歸模型:模型①:y^=4.1x+11.8;模型②:y^=21.3x14.4;當(dāng)x>17時(shí),確定y與x滿(mǎn)足的線(xiàn)性回歸方程為y^=0.(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較當(dāng)0<x≤17時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測(cè)對(duì)甲款汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程y^=4.1x+11.y^=21.314.4∑182.479.2附:相關(guān)指數(shù)R2=1∑i=1n(yi(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)科技改造投入不少于20億元時(shí),國(guó)家給予公司補(bǔ)貼收益10億元,以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù),比較科技改造投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小.附:用最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程y^=b^x+a(3)科技改造后,甲款汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率X大幅提高,X服從正態(tài)分布N(0.52,0.012),公司對(duì)科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下:若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率不超過(guò)50%,則不予獎(jiǎng)勵(lì);若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過(guò)50%但不超過(guò)53%,則每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)2萬(wàn)元;若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過(guò)53%,則每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)5萬(wàn)元.求每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望.(附:隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μσ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545)
題型練5大題專(zhuān)項(xiàng)(三)統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題1.解(1)根據(jù)頻率和為1,得(0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004)×10=1,解得a=0.016;計(jì)算得分在80分以上的頻率為(0.016+0.004)×10=0.20,所以估計(jì)該大學(xué)學(xué)生對(duì)5G比較了解的概率為0.20.(2)根據(jù)題意知,對(duì)5G比較了解的人數(shù)有100×0.2=20,其中男性為20×44+1性別比較了解不太了解合計(jì)男性163450女性44650合計(jì)2080100計(jì)算K2=100×(16×46-所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為對(duì)5G比較了解與性別有關(guān).(3)用分層抽樣法從得分在50分以下的樣本中抽取6人,其中在區(qū)間[30,40)內(nèi)的有2人,記為A,B,在區(qū)間[40,50)內(nèi)的有4人,分別記為c,d,e,f.從這6人中隨機(jī)選取2人,所有可能的結(jié)果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef共15個(gè),則至少有1人得分低于40分的結(jié)果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf共9個(gè),故所求的概率P=92.解(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)由題圖,得這100位這種疾病患者中年齡位于區(qū)間[20,70)的頻率為(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病,其年齡位于區(qū)間[20,70)的概率為0.89.(3)設(shè)事件B為“任選1人年齡位于區(qū)間[40,50)”,事件C為“任選1人患這種疾病”,則P(C|B)=P(BC)P(B)=0故若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),估計(jì)此人患這種疾病的概率為0.0014.3.解(1)由題中莖葉圖知,高二年級(jí)的學(xué)生成績(jī)的平均分高于高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均分,高二年級(jí)的學(xué)生成績(jī)比較集中,而高一年級(jí)的學(xué)生成績(jī)比較分散,所以高二年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好.(2)①記事件A為“從樣本中任取2名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”,事件B為“這兩個(gè)同學(xué)來(lái)自同一個(gè)年級(jí)”,則P(A)=C112C402,P所以在成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的情況下,這2名同學(xué)來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率為P(B|A)=P②由題意X的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C43C103=130P(X=2)=C62C41C10所以X的分布列為X0123P1311數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×130+1×310+24.解(1)根據(jù)題意,男生有275人,女生有325人,對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的有400人,對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣的有200人,對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)沒(méi)有興趣的男生有125人,對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的男生有150人,對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的女生有250人,得到如下2×2列聯(lián)表.性別是否有興趣合計(jì)有興趣沒(méi)有興趣男150125275女25075325合計(jì)400200600所以K2=600×(150×75-125所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下,認(rèn)為對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)是否有興趣與性別有關(guān).(2)由(1)知對(duì)冰壺運(yùn)動(dòng)有興趣的有400人,其中男生有150人,女生有250人,則用分層抽樣的方法從中抽取8人,抽到的男生人數(shù)為8×150400女生人數(shù)為8×250400=所以X的所有可能取值為0,1,2,3,所以P(X=0)=C33C83=156P(X=2)=C31C52C8所以X的分布列為X0123P115155所以E(X)=0×156+1×1556+25.解(1)由題意知,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人,僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有10030255=40人.所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為40100=0.4(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知,事件C,D相互獨(dú)立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)·P(D)=0.4×(10.6)+(10.4)×0.6=0P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化,則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)=1答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無(wú)法確定有沒(méi)有變化.理由如下:事件E是隨機(jī)事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化.6.解(1)μ1=120×(60+63+65+67+69+75+77+77+79+79+82+83+86+87+89+92+93+96+96+96)=80μ2=120×(47+49+52+54+55+57+63+65+66+66+74+74+75+77+80+82+83+84+95+96)=69η1=120×[(6080.55)2+(6380.55)2+…+(9680.55)2+(9680.55)2]η2=120×[(4769.7)2+(4969.7)2+…+(9569.7)2+(9669.7)2]≈所以μ1>μ2,η1<η2.(2)教師對(duì)菜品非常滿(mǎn)意的概率P=520=14,則隨機(jī)變量XX可取0,1,2,3,且P(X=k)=C3kpk(1p)3所以P(X=0)=C301401-1P(X=2)=C321421-1所以分布列為X0123P272791所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0×2764+1×2764+2(3)記事件C:教師的滿(mǎn)意度等級(jí)高于學(xué)生的滿(mǎn)意度等級(jí),用A1,A2,A3分別表示教師對(duì)該菜品“不滿(mǎn)意”“滿(mǎn)意”“非常滿(mǎn)意”,用B1,B2,B3分別表示學(xué)生對(duì)該菜品“不滿(mǎn)意”“滿(mǎn)意”“非常滿(mǎn)意”,且A1,A2,A3,B1,B2,B3相互獨(dú)立,則P(A1)=520,P(A2)=1020,P(A3)=520,P(B1)=1020,P(B2)=820,P(B所以P(C)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=10即教師的滿(mǎn)意度等級(jí)
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