第09講有理數(shù)的乘方（4種題型）（原卷版）

第09講有理數(shù)的乘方（4種題型）【知識(shí)梳理】有理數(shù)的乘方1、求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪。叫底數(shù)，叫指數(shù)，讀作：的次冪(的次方)。2、乘方的意義：表示個(gè)相乘。3、寫(xiě)法的注意：當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，底數(shù)一定要打括號(hào)，不然意義就全變了．如：＝()×()，表示兩個(gè)相乘．而＝，表示2個(gè)2相乘的積除以3的相反數(shù)．4、與－的區(qū)別．(1)表示個(gè)相乘，底數(shù)是，指數(shù)是，讀作：的次方．(2)－表示個(gè)乘積的相反數(shù)，底數(shù)是，指數(shù)是，讀作：的次方的相反數(shù)．如：底數(shù)是，指數(shù)是3，讀作(－2)的3次方，表示3個(gè)(－2)相乘．＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．底數(shù)是2，指數(shù)是3，讀作2的3次方的相反數(shù)．＝－(2×2×2)＝－8．注：與的結(jié)果雖然都是－8，但表示的含義并不同。5、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律．(1)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)．(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．(3)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．(4)0的奇數(shù)次冪，偶次冪都是0．所以，任何數(shù)的偶次冪都是正數(shù)或0。有理數(shù)的混合運(yùn)算1、有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。2、括號(hào)前帶負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)，即，三．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．【考點(diǎn)剖析】一．有理數(shù)的乘方（共11小題）1．（2022秋?南潯區(qū)期末）下列各組數(shù)中，運(yùn)算結(jié)果相等的是（）A．（﹣5）3與﹣53 B．23與32 C．﹣22與（﹣2）2 D．與2．（2022秋?蒼南縣期中）把寫(xiě)成冪的形式是．3．（2022秋?柯橋區(qū)月考）如果a，b，c是整數(shù)，且ac＝b，那么我們規(guī)定一種記號(hào)（a，b）＝c，例如32＝9，那么記作（3，9）＝2，根據(jù)以上規(guī)定，求（﹣3，﹣27）＝．4．（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）﹣33＝（）A．﹣9 B．9 C．﹣27 D．275．（2022秋?青田縣期末）一張紙的厚度為0.09mm，假設(shè)連續(xù)對(duì)折始終都是可能的，那么至少對(duì)折n次后，所得的厚度可以超過(guò)厚度為0.9cm的數(shù)學(xué)課本．則n的值為（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2022秋?文成縣期中）下面的計(jì)算錯(cuò)在哪里？指出錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并給出正確的解答過(guò)程．﹣3＝……①＝9÷1……②＝9……③錯(cuò)誤步驟的序號(hào)：；正確解答：；7．（2019秋?蕭山區(qū)期中）計(jì)算：23＝．8．（2020秋?義烏市校級(jí)月考）定義：如果10b＝n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b＝d（n）．（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝．（2）勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m，n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：d（12）＝，d（）＝，d（）＝．9．（2021秋?吳興區(qū)期中）已知三個(gè)互不相等有理數(shù)a，b，c，既可以表示為1，a，a+b的形式，又可以表示為0，，b的形式，則a2020b2021值是．10．（2020秋?吳興區(qū)校級(jí)期中）請(qǐng)你研究以下分析過(guò)程，并嘗試完成下列問(wèn)題．13＝1213+23＝9＝32＝（1+2）213+23+33＝36＝62＝（1+2+3）213+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2（1）13+23+33+…+103＝（2）13+23+33+…+203＝（3）13+23+33+…+n3＝（4）計(jì)算：113+123+133+…+203的值．11．（2020秋?蕭山區(qū)期中）閱讀下列各式：（a?b）2＝a2b2，（a?b）3＝a3b3，（a?b）4＝a4b4…．回答下列三個(gè)問(wèn)題：①驗(yàn)證：（2×）100＝，2100×（）100＝；②通過(guò)上述驗(yàn)證，歸納得出：（a?b）n＝；（a?b?c）n＝；③請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：（﹣0.125）2019×22018×42017．二．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共5小題）12．（2022秋?麗水期中）已知a，b滿足|a+3|+（b﹣2）2＝0，則a+b的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣513．（2022秋?青田縣期中）若|m+1|+（n﹣3）2＝0，則mn的值為（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣314．（2021秋?蘭山區(qū)校級(jí)月考）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，則yx＝．15．（2022秋?蘭溪市期中）已知（a﹣2）2與|b+1|互為相反數(shù)，求（a﹣b）a+b的值．16．（2022秋?衢州期中）已知，則（ab）2022＝．三．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共9小題）17．（2022秋?臨海市期末）我國(guó)倡議的“一帶一路”惠及約為4400000000人，用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)為．18．（2023?杭州）杭州奧體中心體育場(chǎng)又稱“大蓮花”，里面有80800個(gè)座位．?dāng)?shù)據(jù)80800用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8.8×104 B．8.08×104 C．8.8×105 D．8.08×10519．（2023?路橋區(qū)校級(jí)二模）2022年12月28日，臺(tái)州市域鐵路S1線開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，標(biāo)志著臺(tái)州城市發(fā)展邁入軌道時(shí)代臺(tái)州市域鐵路S1線全長(zhǎng)約52.4公里，總投資約228.19億元，是連接椒江區(qū)、路橋區(qū)及溫嶺市之間重要的城市快速通道．其中數(shù)據(jù)228.19億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.22819×1010 B．0.22819×1011 C．2.2819×1010 D．2.2819×101120．（2023?鄖陽(yáng)區(qū)模擬）2022年5月10日凌晨，長(zhǎng)征7號(hào)火箭托舉著天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船發(fā)射升空，在距地面390000米的高度，與空間站完成自主交會(huì)對(duì)接任務(wù)．390000用科學(xué)記數(shù)法表示為．21．（2022秋?拱墅區(qū)月考）北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館國(guó)家速滑館“冰絲帶”近12000平方米的冰面采用分模塊控制技術(shù)．可根據(jù)不同項(xiàng)目分區(qū)域、分標(biāo)準(zhǔn)制冰．將數(shù)據(jù)12000用科學(xué)記數(shù)法表示為．22．（2023?余姚市二模）中國(guó)空間站2022年建成，軌道高度為400～450千米．“450千米”用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A．4.5×105米 B．0.45×107米 C．45×105米 D．4.5×107米23．（2021秋?越城區(qū)校級(jí)月考）一次自然災(zāi)害導(dǎo)致大約20萬(wàn)人受困，急需準(zhǔn)備一批帳篷和糧食進(jìn)行援助．估計(jì)每頂帳篷可以住10人，平均每人每天需要糧食0.4千克，共維持15天，那么有關(guān)部門(mén)需要籌集多少頂帳篷？多少噸糧食？（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）24．（2022秋?慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以達(dá)到3×108m/s，如果我們用光速行駛3.6×103s，請(qǐng)問(wèn)我們行駛的路程為多少m？25．（2022秋?永嘉縣校級(jí)月考）已知一個(gè)U盤(pán)的名義內(nèi)存為10GB，平均每個(gè)視頻的內(nèi)存為512MB，平均每首音樂(lè)的內(nèi)存為10.24MB，平均每篇文章的內(nèi)存為10.24KB．現(xiàn)該U盤(pán)已存16個(gè)視頻，50首音樂(lè)．若該U盤(pán)的內(nèi)存的實(shí)際利用率為90%，求還可以存文章的最多篇數(shù)（用科學(xué)記數(shù)法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）四．科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（共1小題）26．（2021秋?平陽(yáng)縣期中）用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315×103，這個(gè)數(shù)原來(lái)是（）A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）的相反數(shù)為（

）A． B．3 C． D．92．（2022秋·浙江·七年級(jí)期末）的意義是（

）A．2×3 B．2＋3 C．2＋2＋2 D．2×2×23．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）代數(shù)式可以表示為（

）A． B． C． D．n24．（2023春·浙江衢州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B．2021 C．1 D．5．（2022春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列對(duì)于式子的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（

）A．指數(shù)是2 B．底數(shù)是 C．冪為 D．表示2個(gè)相乘6．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）某種細(xì)胞每過(guò)秒便由個(gè)分裂成個(gè)．經(jīng)過(guò)分鐘，這種細(xì)胞由個(gè)分裂成（

）個(gè)．A． B． C． D．8．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）已知為正整數(shù)，計(jì)算的結(jié)果是（）A．1 B．-1 C．0 D．29．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，若，則的值（

）A．86.2 B． C． D．二、填空題10．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：_____．11．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)?？计谥校┌褜?xiě)成冪的形式是____________.12．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）若，則的值等于_____．13．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）的底數(shù)是_____，指數(shù)是_____，計(jì)算的結(jié)果是_____．14．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，則______________．15．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）一根米長(zhǎng)的木棒，小明第一次截去全長(zhǎng)的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，則第五次截去后剩下的木棒長(zhǎng)為_(kāi)_________米．三、解答題16．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：(1)；(2)；(3)；(4)．17．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．18．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）（1）計(jì)算下面兩組算式：①與；②與；（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開(kāi)去：等于什么?（直接寫(xiě)出結(jié)果）（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，等于什么?請(qǐng)你利用乘方的意義說(shuō)明理由．（4）利用上述結(jié)論，求的值．19．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）閱讀計(jì)算：閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三個(gè)問(wèn)題：(1)驗(yàn)證：（4×0.25）100＝；4100×0.25100＝．(2)通過(guò)上述驗(yàn)證，歸納得出：（）n＝；（）n＝．(3)請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：（﹣0.125）2015×22014×42014．20．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）先閱讀下列材料，再解答后面的問(wèn)題材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記為an．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為(即)．一般地，若(且)，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為(即)．如，則4叫做以3為底的對(duì)數(shù)，記為(即)．問(wèn)題：(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：=_________，=_________，=_________．(2)通過(guò)觀察（1），思考：、、之間滿足怎樣的關(guān)系式？(3)由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？＝______（且）．(4)利用（3）的結(jié)論計(jì)算＝______．21．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）閱讀材料，解決問(wèn)題：我們學(xué)習(xí)了乘方的定義和意義，根據(jù)乘方和乘法兩種運(yùn)算之間的轉(zhuǎn)化了解到：；；觀察上述算式，；可以得到：；類(lèi)比上述式子，你能夠得到：(1)，；(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：（m、n都是正整數(shù)）；我們把類(lèi)似于am和an這樣的式子叫同底數(shù)冪；因此可以得到“同底數(shù)冪的乘法”法則：“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”；(3)知識(shí)運(yùn)用：，；(4)已知，則的值是．22．（2022秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）概念學(xué)習(xí)規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，等．類(lèi)比有理數(shù)的