重難點02有關(guān)實數(shù)與數(shù)軸的應用題（3種題型）（解析版）

重難點02有關(guān)實數(shù)與數(shù)軸的應用題（3種題型）【考點剖析】一．數(shù)軸（共9小題）1．（2022秋?東陽市月考）如圖所示，圓的周長為4個單位長度，在圓周的四等分點處標上字母A，B，C，D，先將圓周上的字母A對應的點與數(shù)軸上的原點重合，再將圓沿著數(shù)軸向右滾動，那么數(shù)軸上的2022所對應的點與圓周上字母（）所對應的點重合．A．A B．B C．C D．D【分析】圓沿著數(shù)軸向右滾動505周，再向右滾動2個單位后，即可判斷．【解答】解：∵2022÷4＝505……2，∴圓沿著數(shù)軸向右滾動505周，再向右滾動2個單位，與圓周上字母C重合．故選：C．【點評】本題考查數(shù)軸的有關(guān)知識，關(guān)鍵是判斷出圓沿著數(shù)軸向右滾動505周后，還需向右滾動2個單位．2．（2022秋?義烏市校級月考）點A、B在數(shù)軸上所對應的數(shù)分別是x、y，其中x、y滿足（x﹣3）2+|y+5|＝0．若點D是AB的中點，O為原點，數(shù)軸上有一動點P，|PD|、|PO|分別表示數(shù)軸上P與D，P與O兩點間的距離，則|PD|﹣|PO|的最小值是﹣1．【分析】由數(shù)軸的概念，非負數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵（x﹣3）2+|y+5|＝0，∴x﹣3＝0，y+5＝0，∴x＝3，y＝﹣5，∴點A、B在數(shù)軸上所對應的數(shù)分別是3，﹣5，∵點D是AB的中點，∴點D對應的數(shù)是﹣1，當點P在點D左邊時，|PD|﹣|PO|的值最小，最小值是﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查數(shù)軸的概念，非負數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是確定點P的位置：在點D的左邊．3．（2021秋?慈溪市期中）如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，C點表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，c滿足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝﹣2，b＝1，c＝7；（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)4表示的點重合；（3）點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，假設t秒鐘過后，若點A與點B之間的距離表示為AB，點A與點C之間的距離表示為AC，點B與點C之間的距離表示為BC，則AB＝3t+3，AC＝5t+9，BC＝2t+6．（用含t的代數(shù)式表示）（4）請問：3BC﹣2AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【分析】（1）利用絕對值和偶次方的非負性即可求出a，c，再利用題干條件即可求出b；（2）先將對稱點求出，再利用與點B重合的數(shù)和點B到對稱點的距離相等即可求解；（3）先將點A，B，C表示出來，即可得到AB，AC，BC；（4）利用（3）中AB和BC，代入式子即可得到定值．【解答】解：（1）∵|a+2|+（c﹣7）2＝0，∴a+2＝0，c﹣7＝0，解得a＝﹣2，c＝7，∵b是最小的正整數(shù)，∴b＝1，故答案為：﹣2，1，7；（2）∵（7+2）÷2＝4.5，∴對稱點為7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4，故答案為：4；（3）∵點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，點B和點C分別以每秒2個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，∴t秒鐘過后，點A表示的數(shù)為﹣2﹣t，點B表示的數(shù)為1+2t，點C表示的數(shù)為7+4t，∴AB＝1+2t﹣（﹣2﹣t）＝1+2t+2+t＝3t+3，AC＝7+4t﹣（﹣2﹣t）＝7+4t+2+t＝5t+9，BC＝7+4t﹣（1+2t）＝7+4t﹣1﹣2t＝2t+6，故答案為：3t+3，5t+9，2t+6；（4）不變，理由如下：由（3）知：AB＝3t+3，BC＝2t+6，∴3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）＝6t+18﹣6t﹣6＝12，∴3BC﹣2AB的值不隨著時間t的變化而改變．【點評】本題考查數(shù)軸，絕對值和偶次方的非負性，兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握表示兩點之間距離的方法．4．（2022秋?吳興區(qū)期中）【新知理解】點C在線段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，則稱點C是線段AB的“優(yōu)點”，線段AC，BC稱作互為“優(yōu)點“伴侶線段．例如，圖1，線段AB的長度為6，點C在AB上，AC的長度為2，則點C是線段AB的其中一個“優(yōu)點”．（1）若點C為圖1中線段AB的“優(yōu)點”AC＝6（AC＜BC），則AB＝18；（2）若點D也是圖1中線段AB的“優(yōu)點”（不同于點C），則AC＝BD（填“＝”或“≠”）【解決問題】如圖2，數(shù)軸上有一點E表示的數(shù)為1，向右平移3個單位到達點F；（3）若不同的兩點M，N都在線段OF上，且M，N均為線段OF的“優(yōu)點”，求線段MN的長；（4）如圖2，若點G在射線EF上，且線段GF與以E，F(xiàn)，G中某兩個點為端點的線段互為“優(yōu)點”伴侶線段，求點G表示的數(shù)（寫出所有可能）．【分析】（1）由BC＝2AC即可求解；（2）利用“優(yōu)點”定義求出BD即可；（3）分兩種情況討論，第一是點M在N左側(cè)，第二是點M在N右側(cè)，再由“優(yōu)點”定義求解即可；（4）分為兩種情況，一是點G在線段EF中間，可得出EG＝2GF或GF＝2EG，二是點G在線段EF右側(cè)，可得出EF＝2GF或GF＝2EF，求解即可．【解答】解：（1）∵點C為線段AB的“優(yōu)點”，AC＜BC，AC＝6，∴BC＝2AC＝12，∴AB＝AC+BC＝18，故答案為：18．（2）如圖，∵點D是線段AB的“優(yōu)點”，∴AD＝2BD，∴AB＝AD+BD＝2BD+BD＝3BD＝18，∴BD＝6，∵AC＝6，∴AC＝BD，故答案為：＝．（3）∵點E表示的數(shù)為1，向右平移3個單位到達點F，∴點F表示的數(shù)為4，∴OF＝4，當點M在點N左側(cè)時，則：MF＝2OM，ON＝2NF，∴OM＝NF＝OF＝，∵OF＝OM+MN+NF，∴MN＝，當點M在點N右側(cè)時，則：2MF＝OM，2ON＝NF，∴ON＝MF＝OF＝，∵OF＝ON+MN+MF，∴MN＝，綜上，線段MN的長為．（4）∵點E表示的數(shù)為1，點F表示的數(shù)為4，∴EF＝4﹣1＝3，①線段EG，GF互為“優(yōu)點“伴侶線段時，有EG＝2GF或GF＝2EG，當EG＝2GF時，EF＝EG+GF＝2GF+GF＝3GF＝3，∴GF＝1，∴點G表示的數(shù)為3，當GF＝2EG時，EF＝EG+GF＝EG+2EG＝3EG＝3，∴EG＝1，∴點G表示的數(shù)為2，②線段EF，GF互為“優(yōu)點“伴侶線段時，有EF＝2GF或GF＝2EF，當EF＝2GF時，GF＝1.5，∴點G表示的數(shù)為5.5，當GF＝2EF時，GF＝6，∴點G表示的數(shù)為10，綜上，點G表示的數(shù)為2或3或5.5或10．【點評】本題考查數(shù)軸相關(guān)知識點，解答本題需要分類討論多種情況，解題的關(guān)鍵是讀懂題中“優(yōu)點”，“優(yōu)點”伴侶線段的定義．5．（2022秋?寧波期中）如圖，圓的半徑為個單位長度．數(shù)軸上每個數(shù)字之間的距離為1個單位長度，在圓的4等分點處分別標上點A，B，C，D．先讓圓周上的點A與數(shù)軸上表示—1的點重合．（1）圓的周長為多少？（2）若該圓在數(shù)軸上向右滾動2周后，則與點B重合的點表示的數(shù)為多少？（3）若將數(shù)軸按照順時針方向繞在該圓上，（如數(shù)軸上表示—2的點與點B重合，數(shù)軸上表示—3的點與點C重合…），那么數(shù)軸上表示—2024的點與圓周上哪個點重合？【分析】（1）利用圓的周長公式計算；（2）滾動一周點B的對應數(shù)為2，以后每滾動一周，B點對應的數(shù)加4，由此規(guī)律即可求解；（3）此題需要尋找規(guī)律：每4個數(shù)一組，計算2024÷4，可得表示﹣2024的點是第506個循環(huán)組的第4個數(shù)D重合．【解答】解：（1）圓的周長＝2π?＝4個單位長度；（2）滾動一周后點B的對應數(shù)為2，滾動2周后點B對應的數(shù)是2+4＝6；（3）由圖可知，A點對應的數(shù)是﹣1，B點對應的數(shù)是﹣2，C點對應的數(shù)是﹣3，D點對應的數(shù)是﹣4，∴每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵2024÷4＝506，∴表示﹣2024的點是第506個循環(huán)組的第4個數(shù)D重合．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，關(guān)鍵在于觀察出每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，難點在于找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．6．（2022秋?義烏市月考）我們知道，|a|可以理解為|a﹣0|，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數(shù)軸上的兩個點A，B，分別用數(shù)a，b表示，那么A，B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|，反過來，式子|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點和表示數(shù)b的點之間的距離．利用此結(jié)論，回答以下問題：（一）數(shù)軸上表示數(shù)﹣8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是11．（二）數(shù)軸上點A用數(shù)a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是8或﹣3．（2）當|a+2|+|a﹣3|＝5時，這樣的整數(shù)a有6個．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是2025．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是2031．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|最小值是15．【分析】（一）根據(jù)兩點間距離的求法直接寫出即可；（二）（1）由題意可得a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，求出a的值即可；（2）根據(jù)絕對值的幾何意義可知﹣2≤a≤3時，|a+2|+|a﹣3|有最小值5，再由a是整數(shù)，求出符合條件的a的值即可；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義可知當﹣2022≤a≤3時，|a﹣3|+|a+2022|的最小值是2025；（4）根據(jù)絕對值的幾何意義可知當a＝3時，3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|有最小值2031；（5）根據(jù)絕對值的幾何意義可知當﹣1≤a≤2時，|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|有最小值15．【解答】解：（一）表示數(shù)﹣8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是|﹣8﹣3|＝11，故答案為：11；（二）（1）∵|a﹣3|＝5，∴a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，解得a＝5或a＝﹣2，∴a的值是5或﹣2，故答案為：5或﹣2；（2）∵|a+2|+|a﹣3|表示數(shù)軸上表示a的點與﹣2、3的點的距離之和，∴﹣2≤a≤3時，|a+2|+|a﹣3|有最小值5，∵a是整數(shù)，∴a的值有﹣2，﹣1，0，1，2，3，故答案為：6；（3）∵|a﹣3|+|a+2022|表示數(shù)軸上表示a的點與﹣2022、3的點的距離之和，∴當﹣2022≤a≤3時，|a﹣3|+|a+2022|的最小值是2025，故答案為：2025；（4）∵3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|＝|a﹣3|+|a﹣3|+|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|，∴當a＝3時，3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|有最小值2031，故答案為：2031；（5）∵|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|＝3|a+1|+|a+4|+4|a﹣2|，∴當﹣1≤a≤2時，|3a+3|+|a+4|+|4a﹣8|有最小值15，故答案為：15．【點評】本題考查數(shù)軸與實數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?西湖區(qū)期末）已知點A，B，C，D是同一數(shù)軸上的不同四點，且點M為線段AB的中點，點N為線段CD的中點．如圖，設數(shù)軸上點O表示的數(shù)為0，點D表示的數(shù)為1．（1）若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別是﹣5，﹣1，①若點C表示的數(shù)是3，求線段MN的長．②若CD＝1，請結(jié)合數(shù)軸，求線段MN的長．（2）若點A，B，C均在點O的右側(cè)，且始終滿足MN＝，求點M在數(shù)軸上所表示的數(shù)．【分析】（1）①先根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離可得AB的長，由線段中點的定義可得AM的長，同理得CN的長，由線段的和差關(guān)系可得MN的長；②存在兩種情況：C在D的左邊或右邊，同理根據(jù)線段的和差關(guān)系可得MN的長；（2）設點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b，點C表示的數(shù)為c，結(jié)合數(shù)軸上兩點間的距離公式，中點坐標公式和線段的和差關(guān)系列方程求解．【解答】解：（1）①如圖1，∵點A，B表示的數(shù)分別是﹣5，﹣1，∴AB＝﹣1﹣（﹣5）＝4，∵M是AB的中點，∴AM＝AB＝2，同理得：CD＝3﹣1＝2，CN＝CD＝1，∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝3﹣（﹣5）﹣2﹣1＝5；②若CD＝1，存在兩種情況：i）如圖2，點C在D的左邊時，C與原點重合，表示的數(shù)為0，∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝1﹣（﹣5）﹣2﹣＝；ii）如圖3，點C在D的右邊時，C表示的數(shù)為2，∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2﹣（﹣5）﹣2﹣＝；綜上，線段MN的長為或；（2）設點A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b，點C表示的數(shù)為c，∵點A、B、C、D、M、N是數(shù)軸上的點，且點M是線段AB的中點，點N是線段CD的中點，∴點M在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點N在數(shù)軸上表示，∴MN＝|﹣|，∵點A，B，C均在點O的右側(cè)，且始終滿足MN＝，∴2|﹣|＝a+b+c，整理，得|a+b﹣1﹣c|＝a+b+c，當a+b﹣1﹣c＝a+b+c時，解得c＝﹣（不符合題意，舍去），當﹣a﹣b+1+c＝a+b+c時，解得：a+b＝，∴點M在數(shù)軸上表示的數(shù)為＝，綜上，點M在數(shù)軸上所對應的數(shù)為．【點評】本題主要考查了數(shù)軸，數(shù)軸上的點的幾何意義，絕對值的意義等知識的應用．掌握數(shù)軸上兩點的距離公式是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?東陽市期末）數(shù)軸上的三個點，若其中一個點與其它兩個點的距離滿足2倍關(guān)系，則稱該點是其它兩個點的“友好點”，這三點滿足“友好關(guān)系”．已知點A、B表示的數(shù)分別為﹣2、1，點C為數(shù)軸上一動點．（1）當點C在線段AB上，點A是B、C兩點的“友好點”時，點C表示的數(shù)為﹣0.5；（2）若點C從點B出發(fā)，沿BA方向運動到點M，在運動過程中有4個時刻使A、B、C三點滿足“友好關(guān)系”，設點M表示的數(shù)為m，則m的范圍是﹣5＜m≤﹣3.5．【分析】（1）根據(jù)友好點的定義可得AB＝2AC，經(jīng)過計算可得答案；（2）當點C在線段AB上時，存在三個時刻，即AC＝CB或AC＝CB或AC＝2BC時，另一個時刻為點C在點A的左側(cè)時，分別計算出m的值可得取值范圍．【解答】解：（1）設點C表示的數(shù)為x，則AC＝x+2，AB＝1+2＝3，∵點A是B、C兩點的“友好點”，∴當AB＝2AC時，則3＝2（x+2），解得x＝﹣0.5，所以點C表示的數(shù)是﹣0.5，故答案為：﹣0.5；（2）當點C在線段AB上時，若A、B、C三點滿足“友好關(guān)系”，存在三個時刻，即AC＝CB或AC＝CB或AC＝2CB時，此時m＝﹣0.5或﹣1或0，∴另外一個時刻則點C在點A的左側(cè)時，則AB＝2AC或BC＝2AC，∴m＝﹣3.5或﹣5，∵只有四個時刻，∴m的取值范圍是﹣5＜m≤﹣3.5．故答案為：﹣5＜m≤﹣3.5．【點評】本題考查兩點間的距離，熟練掌握線段的和差以及運用一元一次方程是解題關(guān)鍵．9．（2021秋?武昌區(qū)期中）已知：在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車，快車長AB＝2（單位長度），慢車長CD＝4（單位長度），設正在行駛途中的某一時刻，如圖，以兩車之間的某點O為原點，取向右方向為正方向畫數(shù)軸，此時快車頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是a，慢車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是b．若快車AB以6個單位長度/秒的速度向右勻速繼續(xù)行駛，同時慢車CD以2個單位長度/秒的速度向左勻速繼續(xù)行駛，且|a+8|與（b﹣16）2互為相反數(shù)．（1）求此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距多少單位長度？（2）從此時刻開始算起，問再行駛多少秒鐘兩列火車行駛到車頭AC相距8個單位長度？（3）此時在快車AB上有一位愛動腦筋的七年級學生乘客P，他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時間t秒鐘，他的位置P到兩列火車頭A、C的距離和加上到兩列火車尾B、D的距離和是一個不變的值（即PA+PC+PB+PD為定值）．你認為學生P發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)論是否正確？若正確，求出這個時間及定值；若不正確，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a＝﹣8，b＝16，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求解；（2）根據(jù)時間＝路程和÷速度和，列式計算即可求解；（3）由于PA+PB＝AB＝2，只需要PC+PD是定值，從快車AB上乘客P與慢車CD相遇到完全離開之間都滿足PC+PD是定值，依此分析即可求解．【解答】解：（1）∵|a+8|與（b﹣16）2互為相反數(shù)，∴|a+8|+（b﹣16）2＝0，∴a+8＝0，b﹣16＝0，解得a＝﹣8，b＝16．∴此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距16﹣（﹣8）＝24單位長度；（2）（24﹣8）÷（6+2）＝16÷8＝2（秒）．或（24+8）÷（6+2）＝4（秒）答：再行駛2秒或4秒兩列火車行駛到車頭AC相距8個單位長度；（3）∵PA+PB＝AB＝2，當P在CD之間時，PC+PD是定值4，t＝4÷（6+2）＝4÷8＝0.5（秒），此時PA+PC+PB+PD＝（PA+PB）+（PC+PD）＝2+4＝6（單位長度）．故這個時間是0.5秒，定值是6單位長度．【點評】本題考查了數(shù)軸，涉及的知識點有：非負數(shù)的性質(zhì)，兩點之間的距離公式，路程問題，綜合性較強，有一定的難度．二．實數(shù)與數(shù)軸（共12小題）10．（2022秋?慈溪市期中）數(shù)軸上有A，B，C三個點，點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是1，點A到點B的距離與點C到點B的距離相等，那么點C表示的數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】設點C表示的數(shù)為x，根據(jù)數(shù)軸上點A到點B的距離與點C到點B的距離相等，列出方程求解即可．【解答】解：設點C表示的數(shù)為x，由題意得，x﹣1＝1﹣（﹣），解得x＝，故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，主要利用了數(shù)軸上兩點間的距離的表示，是基礎題．11．（2022秋?杭州期中）如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊長作一個正方形，以表示數(shù)2的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點A和點B，則點A表示的數(shù)是2﹣，B表示的數(shù)是2+．【分析】先求出單位正方形的對角線的長，設點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為y，則（2﹣x）和（y﹣2）是單位正方形的對角線的長，求出x和y即可．【解答】解：如圖：由題意可知：CD＝CB＝CA＝＝，設點A表示的數(shù)為x，則：2﹣x＝，解得x＝2﹣，即點A表示的數(shù)為2﹣；點B表示的數(shù)為y，則：y﹣2＝，解得y＝2+．故答案為：2，2+．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的有關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出CD的長．12．（2022秋?北侖區(qū)期中）如圖，一只螞蟻從A點沿數(shù)軸向右直爬2個單位長度到達點B，點A表示﹣，設點B所表示的數(shù)為m，（1）求m的值．（2）求|m﹣3|+m+2的值．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點運動規(guī)律：右加左減的規(guī)律可求出m的值；（2）主要將m的值代入到代數(shù)式中即可，只要注意運算的順序和絕對值的計算方法即可．【解答】解：（1）∵螞蟻從點A沿數(shù)軸向右直爬2個單位到達點B，∴點B所表示的數(shù)比點A表示的數(shù)大2，∵點A表示，點B所表示的數(shù)為m，∴m＝﹣+2；（2）|m﹣3|+m+2＝|﹣+2﹣3|﹣+2+2＝1﹣﹣+4＝5．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算以及實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)已知得出m的值是解題關(guān)鍵．13．（2022秋?越城區(qū)期中）如圖，在數(shù)軸上表示2、的對應點分別為C、B，點C是AB的中點，則點A表示的數(shù)是（）A．﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．﹣2【分析】利用數(shù)軸知識列等式，求出A表示的數(shù)．【解答】解：∵在數(shù)軸上表示2、的對應點分別為C、B，點C是AB的中點，設A點表示的數(shù)為a，∴BC＝AC，∴﹣2＝2﹣a，∴a＝4﹣，故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識．14．（2021秋?吳興區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD的面積為5，點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1．現(xiàn)以A為圓心，AB為半徑畫圓，和數(shù)軸交于點E（E在A的右側(cè)），則點E表示的數(shù)為（）A．3.2 B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的邊長是面積的算術(shù)平方根得AD＝AE＝，結(jié)合A點所表示的數(shù)及AE間距離可得點E所表示的數(shù)．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為5，且AD＝AE，∴AD＝AE＝，∵點A表示的數(shù)是1，且點E在點A的右側(cè)，∴點E表示的數(shù)為1+．故選：B．【點評】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸及兩點間距離，根據(jù)兩點間距離及點的位置判斷出點所表示的數(shù)是關(guān)鍵．15．（2022秋?義烏市校級月考）若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離表示為AB，即AB＝|a﹣b|．利用數(shù)軸回答下列問題：（1）①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是3；數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為|x+2|．②若x表示一個有理數(shù)，且﹣2＜x＜2，則|x﹣2|+|x+2|＝4．③當|x﹣1|+|x+2|＝10﹣|y﹣3|﹣|y+4|時，求xy的最大值和最小值．（2）實數(shù)a、b、c滿足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，當x為何值時，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|的值最小，并求最小值．【分析】（1）①根據(jù)兩點間距離的求法直接求解即可；②根據(jù)題意可得|x﹣2|+|x+2|＝2﹣x+x+2＝4；③根據(jù)絕對值的幾何意義可知﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤3，再求解即可；（2）根據(jù)題意可得a＜0，c＞0，b＜0，則當x＝c時，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|有最小值為﹣a﹣b．【解答】解：（1）①表示2和5兩點之間的距離是|2﹣5|＝3，表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，故答案為：3，|x+2|；②∵﹣2＜x＜2，∴|x﹣2|+|x+2|＝2﹣x+x+2＝4，故答案為：4；③∵|x﹣1|+|x+2|表示數(shù)軸上表示x的點到表示2的點的距離與到1的點的距離之和，當﹣2≤x≤1時，|x﹣1|+|x+2|有最小值3，∵|y﹣3|+|y+4|表示數(shù)軸上表示y的點到表示3的點的距離與到﹣4的點的距離之和，∴﹣4≤y≤3時，|y﹣3|+|y+4|的最小值為7，∵|x﹣1|+|x+2|＝10﹣|y﹣3|﹣|y+4|，∴﹣2≤x≤1，﹣4≤y≤3，∴xy的最大值為8，最小值為﹣6；（2）∵a＜b＜c，ac＜0，∴a＜0，c＞0，∵|c|＜|b|＜|a|，∴b＜0，∴|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|表示數(shù)軸上表示x的點到表示a、c、﹣b的點的距離之和，當x＝c時，|x﹣a|+|x+b|+|x﹣c|有最小值為﹣a﹣b．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?拱墅區(qū)月考）【方法感悟】閱讀下面材料：點A，B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為|AB|．如圖1，從數(shù)軸上看，若點A，B表示的分別是1，4，則|AB|＝|4﹣1|＝3或|AB|＝|1﹣4|＝3；若點A，B表示的數(shù)分別是﹣1，4，則|AB|＝|4﹣（﹣1）|＝4+1＝5或|AB|＝|﹣1﹣4|＝|﹣5|＝5；若點A，B表示的數(shù)分別是﹣1，﹣4，則|AB|＝|（﹣1）﹣（﹣4）|＝|﹣1+4|＝3或|AB|＝|﹣4﹣（﹣1）|＝|﹣4+1|＝3．【歸納】若點A，B表示的數(shù)分別是x1，x2則|AB|＝|x1﹣x2|或|AB|＝|x2﹣x1|．【知識遷移】（1）如圖1，點A，B表示的數(shù)分別是﹣4.5，b，且|AB|＝3，則b＝﹣1.5或﹣7.5；（2）如圖2，點A，B表示的數(shù)分別是x1，x2，若把AB向左平移|AB|個單位，則點A與﹣50重合：若把AB向右平移|AB|個單位，則點B與70重合，那么x1＝﹣10，x2＝30；【拓展應用】（3）一天，美羊羊去問村長爺爺?shù)哪挲g，村長爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，116歲了，哈哈！”美羊羊納悶，請問村長爺爺現(xiàn)在到底是多少歲？美羊羊現(xiàn)在又是幾歲？請寫出解題思路．（4）結(jié)合幾何意義，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|最小值．【分析】（1）根據(jù)題意可得|﹣4.5﹣b|＝3，求出b的值即可；（2）由題意可得方程﹣50＝2x1﹣x2，70＝2x2﹣x1，求解方程即可；（3）由題意可得，求解方程組即可求解；（4）由絕對值的幾何意義可得，當x＝3時，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的值最小．【解答】解：（1）∵點A，B表示的數(shù)分別是﹣4.5，b，∴|﹣4.5﹣b|＝3，解得b＝﹣1.5或b＝﹣7.5，故答案為：﹣1.5或﹣7.5；（2）∵點A，B表示的數(shù)分別是x1，x2，∴|AB|＝x2﹣x1，當AB向左平移|AB|個單位后，﹣50＝x1﹣（x2﹣x1）＝2x1﹣x2，當AB向右平移|AB|個單位后，70＝x2+（x2﹣x1）＝2x2﹣x1，解得x1＝﹣10，x2＝30，故答案為：﹣10，30；（3）設美羊羊現(xiàn)在x歲，則存在爺爺現(xiàn)在y歲，由題意可得，解得，∴村長爺爺現(xiàn)在64歲，，美羊羊現(xiàn)在12歲；（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|表示數(shù)軸上表示x的點與表示數(shù)1、2、3、4、5的距離和，當x＝3時，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的值最小，∴最小值為6，∴|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|最小值為6．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，兩點間的距離求法，絕對值的幾何意義，解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）如圖1，這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8．（1）圖中陰影部分是一個正方形ABCD，求出陰影部分的面積及其邊長．（2）把正方形ABCD放到數(shù)軸上．如圖2．使得A與1重合，那么D在數(shù)軸上表示的數(shù)為+1．（3）在（2）的條件下，把正方形ABCD沿數(shù)軸逆時針方向滾動．當點B第一次落在數(shù)軸上時，求點B在數(shù)軸上表示的數(shù)．【分析】（1）利用正方體的體積求得正方體的棱長，再利用正方形的性質(zhì)求得正方形ABCD的邊長及面積；（2）利用（1）的結(jié)論和數(shù)軸上點的特征解答即可；（3）利用正方形的性質(zhì)和數(shù)軸上點的特征解答即可．【解答】解：（1）∵立方體組成的魔方的體積為8，∴魔方的棱長為2，由題意：A，B，C，D為各棱的中點，∴AB＝BC＝CD＝DA＝＝，∴陰影部分的邊長為，陰影部分的面積為2；（2）由（1）知：AD＝，∵A與1重合，∴D在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣（﹣1）＝﹣+1，故答案為：+1；（3）∵正方形ABCD的邊長為，∴正方形ABCD沿數(shù)軸逆時針方向滾動，當點B第一次落在數(shù)軸上時，點B距離表示出數(shù)1的點的長度為3，∴此時點B對應的數(shù)為：﹣（3﹣1）＝﹣3+1，∴點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣3+1．【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，立方根的意義，熟練掌握數(shù)軸上的點與實數(shù)之間的對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?海曙區(qū)期中）長方形ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點B、C對應的數(shù)分別為﹣2和﹣1，CD＝2．若長方形ABCD繞著點C順時針方向在數(shù)軸上翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點D所對應的數(shù)為1；繞D點翻轉(zhuǎn)第2次；繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，則翻轉(zhuǎn)2022次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的是3033．【分析】找出翻轉(zhuǎn)后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)的規(guī)律，利用規(guī)律解答即可得出結(jié)論．【解答】解：翻轉(zhuǎn)1次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)為1，翻轉(zhuǎn)2次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)為2，翻轉(zhuǎn)3次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)為4，翻轉(zhuǎn)4次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)為5，翻轉(zhuǎn)5次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)為7，翻轉(zhuǎn)6次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)為8，??????，翻轉(zhuǎn)偶數(shù)次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)為3的倍數(shù)，即：翻轉(zhuǎn)2n次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)為3n﹣1，∵2022÷2＝1011，∴翻轉(zhuǎn)2022次后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的是1011×3﹣1＝3032，故答案為：3032．【點評】本題主要考查了數(shù)軸的簡單應用，找出翻轉(zhuǎn)后，落在數(shù)軸上的兩點所對應的數(shù)中較大的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?溫州期中）操作探究：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示），（1）折疊紙片，使表示1的點與表示﹣1的點重合，則表示﹣2的點與表示2的點重合；（2）折疊紙片，使表示﹣1的點與表示3的點重合，回答以下問題：①表示5的點與表示﹣3的點重合；②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為13（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，此時點A表示的數(shù)是﹣；點B表示的數(shù)是．③表示點與表示2﹣的點重合；（3）已知數(shù)軸上P，Q兩點表示的數(shù)分別為﹣1和3，有一只電子小蝸牛從P點出發(fā)以每秒2個單位的速度向右移動，運動多少秒時，它到點P的距離是到點Q的距離的2倍？【分析】（1）根據(jù)題意確定紙片是沿著0點進行折疊的，再求解即可；（2）①由題意確定紙片是沿著表示1的點進行折疊的，再求解即可；②設點A表示的數(shù)是x，則點B表示的數(shù)是x+13，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得＝1，求出x的值再求解即可；③由①的折痕點，可求出表示點與表示2﹣的點重合；（3）設運動時間為t秒，小電子小蝸牛運動的點表示的數(shù)為x，則x＝﹣1+2t，根據(jù)題意列出方程|x+1|＝2|x﹣3|，求出x后再求t的值即可求解．【解答】解：（1）∵表示1的點與表示﹣1的點重合，∴紙片是沿著0點進行折疊的，∴表示﹣2的點與表示2的點重合，故答案為：2；（2）①∵表示﹣1的點與表示3的點重合，又∵＝1，∴紙片是沿著表示1的點進行折疊的，∴表示5的點與表示﹣3的點重合，故答案為：﹣3；②設點A表示的數(shù)是x，則點B表示的數(shù)是x+13，∵A、B兩點經(jīng)折疊后重合，∴＝1，解得x＝﹣，∴﹣+13＝，∴點A表示的數(shù)是﹣，點B表示的數(shù)是，故答案為：﹣，；③∵紙片是沿著表示1的點進行折疊的，∴表示點與表示2﹣的點重合，故答案為：2﹣；（3）設運動時間為t秒，小電子小蝸牛運動的點表示的數(shù)為x，∴x＝﹣1+2t，∵它到點P的距離是到點Q的距離的2倍，∴|x+1|＝2|x﹣3|，解得x＝7或x＝，當x＝時，2t﹣1＝，解得t＝，當x＝7時，2t﹣1＝7，解得t＝4，∴運動4秒或秒時，它到點P的距離是到點Q的距離的2倍．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊后對應的點表示的數(shù)，確定折痕點是解題的關(guān)鍵．20．（2021秋?諸暨市期末）期末復習過程中，七（1）班的張老師設計了一個數(shù)學問題，涉及本冊中多個知識點和多種數(shù)學思想，請聰明的你來解答一下吧．（1）若一個數(shù)x的立方等于﹣8，請求出x的值．（2）請利用整體思想和方程思想進行解題．①若（1）中的x的值也是關(guān)于x的一元一次方程x﹣3＝5x﹣p的解，那么關(guān)于y的一元一次方程（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p的解為y＝6．②在如圖所示的“幻方”中，每個小三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，現(xiàn)將①中的x，y填入如圖所示的位置，則（a﹣b）+（d﹣c）的值為多少？（3）在（2）的條件下，在數(shù)軸上標注x，y所表示的數(shù)的對應點，分別記作A，B，已知P點從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向B點運動，Q點從B點出發(fā)，以4個單位每秒的速度在A、B兩點之間做往返運動，P、Q兩點同時開始運動，當Q點第一次返回到B點時，兩點同時停止運動，若記數(shù)軸的原點為O，則P點運動幾秒后OQ＝2OP？【分析】（1）根據(jù)乘方的意義解答即可；（2）①把x＝﹣2代入第一個方程求出p的值，再把p的值代入第二個方程可得y的值；②根據(jù)題意可得a﹣2+m＝b+6+m，d+n﹣2＝c+6+n，經(jīng)過整理可得a﹣b＝8，d﹣c＝8，再計算即可；（3）分兩種情況：當0≤t≤2時，OP＝2﹣t，OQ＝|6﹣4t|；當2＜t≤4時，OP＝t﹣2，OQ＝|4t﹣10|，再根據(jù)題意列出方程可得t的值．【解答】解：（1）∵（﹣2）3＝﹣8，∴x＝﹣2，答：x的值是﹣2；（2）①把x＝﹣2代入方程x﹣3＝5x﹣p得，﹣1﹣3＝﹣10﹣p，解得p＝﹣6．把p＝﹣6代入方程（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）﹣p得，（y﹣8）﹣3＝5（y﹣8）+6，解得y＝6，故答案為：6；②每個小三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，而x＝﹣2，y＝6，∴a﹣2+m＝b+6+m，即a﹣b＝6+m+2﹣m＝8，d+n﹣2＝c+6+n，即d﹣c＝6+n﹣n+2＝8，∴（a﹣b）+（d﹣c）＝8+8＝16；（3）設運動時間為t秒，①當0≤t≤2時，OP＝2﹣t，OQ＝|6﹣4t|，∴|6﹣4t|＝2（2﹣t），解得t＝1或；②當2＜t≤4時，OP＝t﹣2，OQ＝|﹣2+4（t﹣2）|＝|4t﹣10|，∴|4t﹣10|＝2（t﹣2），解得t＝3或；綜上，P點運動1秒或秒或秒或3秒后，OQ＝2OP．【點評】本題考查了一元一次方程的應用及數(shù)軸，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．21．（2022秋?鄞州區(qū)期中）“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學思想．如：|3﹣（﹣2）|表示3與﹣2差的絕對值，實際上也可以理解為3與﹣2在數(shù)軸上所對應的兩個點之間的距離．進一步地，數(shù)軸上兩個點A，B所對應的數(shù)分別用a，b表示，那么A，B兩點之間的距離表示為AB＝|a﹣b|．利用此結(jié)論，回答以下問題：（1）數(shù)軸上﹣2和5這兩點之間的距離為7．（2）若x表示一個實數(shù)，|x+2|+|x﹣4|的最小值為6．（3）直接寫出所有符合條件的x，使得|x﹣2|+|x+5|＝9，則x的值為3或﹣6．【分析】（1）利用數(shù)軸直觀得出答案．（2）x在﹣2到4之間值最小，兩點之間線段最短．（3）2到﹣5之間是7，與9相差2，分到兩段中，每段加1，得出結(jié)果．【解答】解：（1）|（﹣2）﹣5|＝7．（2）當x＜﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2＞6；當﹣2≤x≤4時，|x+2|+|x﹣4|＝6；當x＞4時，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2＞6，故|x+2|+|x﹣4|最小值為6．（3）當x＜﹣5時，|x﹣2|+|x+5|＝﹣（x﹣2）﹣（x+5）＝﹣2x﹣3＝9，解方程得：x＝﹣6；當﹣5≤x≤2時，|x﹣2|+|x+5|＝7，無解；當x＞2時，|x﹣2|+|x+5|＝2x+3＝9，解方程得：x＝3．故x的值為﹣6或3．【點評】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，絕對值的幾何意義，解本題的關(guān)鍵是分段討論．三．實數(shù)與數(shù)軸復雜應用題（共7小題）22．（2022秋?寧波期末）【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．研究數(shù)軸時，我們發(fā)現(xiàn)有許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A，B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點表示的數(shù)為．【知識應用】如圖，在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為5，點B表示的數(shù)為3，點C表示的數(shù)為﹣2，點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿數(shù)軸向右勻速運動．設運動時間為t秒t＞0，根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：①A，C兩點之間的距離AC＝7，線段BC的中點表示的數(shù)為．②用含t的代數(shù)式表示：t秒后點P表示的數(shù)為﹣2+2t．（2）若點M為PA的中點，當t為何值時，．【拓展提升】（3）在數(shù)軸上，點D表示的數(shù)為9，點E表示的數(shù)為6，點F表示的數(shù)為﹣4，點G從點D，點H從點E同時出發(fā)，分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸的負方向運動，且當它們各自到達點F時停止運動，設運動時間為t秒，線段GH的中點為點K，當t為何值時，HK＝3．【分析】（1）①根據(jù)兩點間距離公式、線段中點公式代入即可得到答案；②根據(jù)點P的運動方向和運動速度，結(jié)合點C表示的數(shù)即可得到結(jié)果；（2）點M表示為，根據(jù)題意得，解出t即可；（3）分兩種情況：①當0≤t≤5時，運動t秒后，點G表示的數(shù)為9﹣t，點H表示的數(shù)為6﹣2t，則點K表示的數(shù)為，根據(jù)HK＝3列出方程，求出t值；②當5≤t≤13時，運動t秒后，點G表示的數(shù)為9﹣t，點H表示的數(shù)為﹣4，則點K表示的數(shù)為，根據(jù)HK＝3列出方程，求出t值即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）①∵點A表示的數(shù)為5，點B表示的數(shù)為3，點C表示的數(shù)為﹣2，∴AC＝|5﹣（﹣2）|＝7，線段BC的中點表示的數(shù)為；故答案為：7，；②∵點P從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿數(shù)軸向右勻速運動，∴t秒后點P表示的數(shù)為﹣2+2t；故答案為：﹣2+2t；（2）∵點M為PA的中點，∴點M表示為，∵，∴，解得：t＝2或t＝1，∴當t的值為1或2時，；（3）①當0≤t≤5時，運動t秒后，點G表示的數(shù)為9﹣t，點H表示的數(shù)為6﹣2t，∵線段GH的中點為點K，∴點K表示的數(shù)為，∵HK＝3∴HK＝，解得：t＝3，②當5≤t≤13時，運動t秒后，點G表示的數(shù)為9﹣t，點H表示的數(shù)為﹣4，∵線段GH的中點為點K，∴點K表示的數(shù)為，∵HK＝3，∴HK＝，解得：t＝7，綜上，當t＝3或t＝7時，HK＝3．【點評】本題主要考查數(shù)軸、兩點距離公式、一元一次方程的應用，正確理解題意，找準等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．23．（2022秋?蓮都區(qū)期中）已知數(shù)軸上的A、B兩點分別對應的數(shù)字為a、b，且a、b滿足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0．（1）直接寫出a、b的值；（2）P從A出發(fā)，以每秒3個長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，何時P，A，B三點中其中一個點到另外兩個點的距離相等？求出相應的時間t；（3）數(shù)軸上還有一點C對應的數(shù)為36，若點P從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向C點運動，同時，Q從B點出發(fā)，以每秒1個長度的速度向正方向運動，點P運動到C點立即返回再沿數(shù)軸向左運動．當PQ＝10時，求P運動的時間．【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)P點運動時間設未知數(shù)列方程即可求解；（3）利用P點和Q點的運動情況借助數(shù)軸上兩點間的距離列方程即可求解．【解答】解：（1）∵|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0，∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，∴a＝4，b＝16；（2）當PA＝PB時，P是線段AB的中點，此時P點表示的數(shù)為：（4+16）÷2＝10，點P的運動時間為：（10﹣4）÷3＝2（秒），第二種情況：AB＝BP，∵AB＝16﹣4＝12，∴PB＝12，∴PA＝2PB＝24，∴點P的運動時間為：24÷3＝8（秒），綜上，點P的運動時間為2秒或8秒；（3）設ts時，PQ＝10，分四種情況討論：①點Q、點P向右運動，點P在點Q左側(cè)，3t﹣t＝16﹣4﹣10，解得：t＝1；②點Q、點P向右運動，點P在點Q右側(cè)，3t﹣t＝16﹣4+10，解得：t＝11，∵點P到達點C的時間為（36﹣4）÷3＝，11，∴t＝11不合題意，舍去；③點P向左運動，點P在點Q右側(cè)，12+t+10+3t﹣32＝32，解得：t＝；∵t＞，而，∴不合題意，舍去．④點P向左運動，點P在點Q左側(cè)，12+t﹣10+3t﹣32＝32，解得：t＝，綜上所述，當PQ＝10時，P點運動的時間為：1或．【點評】本題考查了一元一次方程的應用、數(shù)軸上兩點之間的距離、非負數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩點間距離找等量關(guān)系．24．（2021秋?平陽縣期中）如圖1，數(shù)軸上有A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點A表示的數(shù)是﹣x，點B表示的數(shù)是3x﹣4，點P，Q是數(shù)軸A，B之間的動點，且點P以每秒4個單位的速度運動，點Q以每秒3個單位的速度運動，設運動時間為t秒．（1）當數(shù)軸沿原點折疊時，點A與點B重合，則點A表示的數(shù)為﹣2．（2）若x＝22時，點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，相向而行，點P到達點B時，點P，Q同時停止運動，當t為何值時，A，B兩點之間的距離是P，Q兩點之間距離的6倍．（3）若點P，Q同時從點A出發(fā)，在線段AB上各自做不間斷的往返運動（即只要動點與線段AB的某一端點重合則立即轉(zhuǎn)身以同樣的速度向另一點運動）．①如圖2，點P與點Q第一次重合于點C，第二次重合于點D，且點C與點D之間的距離為40，求線段AB的長；②在①的基礎上，當t＝2021時，點P，Q兩點之間的距離是點A，P兩點之間的距離的倍．（請直接寫出答案）【分析】（1）根據(jù)題意得﹣x+3x﹣4＝0，解方程即可求解；（2）當x＝22時，A，B兩點之間的距離為＝|3x﹣4+x|＝84，根據(jù)題意，P，Q兩點之間的距離為84÷6＝14，先用t表示出P在數(shù)軸上可表示：﹣22+4t，Q在數(shù)軸上可表示：62﹣3t，①當點P在點Q左邊時，得：62﹣3t+22﹣4t＝14，②當點P在點Q右邊時，得：﹣22+4t﹣62+3t＝14，解方程即可求解；（3）①當點P與點Q第一次重合時，P，Q一共走2AB，同理當P，Q第二次重合時，一共走4AB，設第一次重合所用時間為t，則4t+3t＝2AB，則第二次重合所用時間為2t，則CD＝AC﹣AD＝3t﹣8t+2AB＝40，得方程7t﹣5t＝40，即可求解；②先求出點P、Q每次在點A相遇時需要的時間為：70×2÷（4﹣3）＝140秒，此時2021÷140＝14……61，當點P、Q每次在相遇時需要的時間為：70×2÷（4+3）＝20，此時61÷20＝3……1，P、Q剛剛相遇已經(jīng)過了1秒，則PQ＝（3+4）×1＝7，此時AP＝70×4﹣61×4＝36，即可求解．【解答】解：（1）∵數(shù)軸沿原點折疊時，點A與點B重合，∴﹣x+3x﹣4＝0，解得：x＝2，∴點A表示的數(shù)是﹣x＝﹣2，故答案為：﹣2；（2）當x＝22時，3x﹣4＝62，A，B兩點之間的距離為＝|3x﹣4+x|＝84，∵A，B兩點之間的距離是P，Q兩點之間距離的6倍時，∴P，Q兩點之間的距離為84÷6＝14，根據(jù)題意得：P在數(shù)軸上可表示：﹣22+4t，Q在數(shù)軸上可表示：62﹣3t．①當點P在點Q左邊時，得：62﹣3t+22﹣4t＝14，解得t＝10，②當點P在點Q右邊時，得：﹣22+4t﹣62+3t＝14，解得t＝14綜上所述，當t＝10秒或者14秒時，A，B兩點之間的距離是P，Q兩點之間距離的6倍；（3）①當點P與點Q第一次重合時，P，Q一共走2AB，同理當P，Q第二次重合時，一共走4AB，設第一次重合所用時間為t，∴AC＝3t，4t+3t＝2AB，則第二次重合所用時間為2t，∴AD＝4×2t﹣2AB＝8t﹣2AB，∵C，D兩點距離為40，∴CD＝AC﹣AD＝3t﹣8t+2AB＝40，∴7t﹣5t＝40，t＝20，∴AB＝70，∴A，B兩點之間的距離為70．②由AB＝70，則當點P、Q每次在點A相遇時需要的時間為：70×2÷（4﹣3）＝140秒，此時2021÷140＝14……61，而此時可以看作t＝61秒，當點P、Q每次在相遇時需要的時間為：70×2÷（4+3）＝20，此時61÷20＝3……1，即p、Q剛剛相遇已經(jīng)過了1秒，則PQ＝（3+4）×1＝7，此時AP＝70×4﹣61×4＝36，則PQ是AP的．故答案為：．【點評】本題考查了數(shù)軸，列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系求解．25．（2022秋?富陽區(qū)期中）如圖數(shù)軸上有兩個點A、B，分別表示的數(shù)是﹣2，4．請回答以下問題：（1）A與B之間距離為6，A，B中點對應的數(shù)為1，B點向左平移7個單位對應的數(shù)為﹣3．（2）若點C對應的數(shù)為﹣3，只移動C點，要使得A，B，C其中一點到另兩點之間的距離相等，請寫出所有的移動方法．（3）若點P從A點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向左做勻速運動，點Q從B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度向左做勻速運動，P，Q同時運動：①當點P運動多少秒時，點P和點Q重合？②當點P運動多少秒時，P，Q之間的距離為3個單位長度？【分析】（1）利用數(shù)軸知識做即可；（2）分情況討論C點的運動，再根據(jù)距離來判斷符合題意的可能情況；（3）設未知數(shù)，應用一元一次方程方程，分情況解決所有的可能．【解答】解：（1）由圖可知：A與B之間距離為：4﹣（﹣2）＝4+2＝6，A，B中點對應的數(shù)為：1，B點向左平移7個單位對應的數(shù)為：﹣3，故答案為：6，1，﹣3；（2）當C點移動到﹣8位置時，A點到B、C兩點的距離相等，都是6；當C點移動到1位置時，C點到B、A兩點的距離相等，都是3；當C點移動到10位置時，B點到A、C兩點的距離相等，都是6；（3）①設點P運動t秒時，點P和點Q重合，根據(jù)題意，得3t+6＝5t，解得t＝3（秒），答：點P運動3秒時，點P和點Q重合；②設點P運動t秒時，P，Q之間的距離為3個單位長度，P，Q之間的距離為3個單位長度有兩種可能，當Q在P的右邊時，根據(jù)題意得5t﹣3t＝6﹣3，t＝1.5（秒），當Q在P的左邊時，根據(jù)題意得5t﹣3t＝6+3，t＝4.5（秒），∴當點P運動1.5秒或4.5秒時，P，Q之間的距離為3個單位長度．【點評】本題考查了一元一次方程的應用和數(shù)軸的知識，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的知識，一元一次方程的應用．26．（2022秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知數(shù)軸上三點A、B、C分別對應的數(shù)為a、b、c．（1）點A、點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)互為相反數(shù)，且A、B兩點之間距離為4．①若A、C兩點之間距離為2，且點C在點A的左側(cè)，則點C所表示的數(shù)為﹣4．②點D位于點C的左側(cè)，且點D到B、C兩點的距離之和為7，則點D所表示的數(shù)為﹣．③數(shù)軸上是否存在點P，使得點P到A、B、C三點的距離之和為9．若存在，請直接寫出點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)，若不存在請說明理由．（2）點B、點C在數(shù)軸上所表示的數(shù)互為相反數(shù)．請判斷下列兩個代數(shù)式的結(jié)果是正數(shù)還是負數(shù)，并說明理由．①a（b+c）+ac；②|c+a|﹣|a+b|．【分析】（1）根據(jù)題意可得出點A所對應的數(shù)為﹣2，點B對應的數(shù)為2；①根據(jù)兩點間的距離可得出點C所表示的數(shù)；②設點D所表示的數(shù)為x，根據(jù)題意建立方程，求解即可；③設點P所對表示的數(shù)為m，對點P的位置進行討論，再表達點P到點A，B，C三點的距離之和為9，建立方程，由此可得出結(jié)論；（2）結(jié)合數(shù)軸可得出c＜a＜0＜b，且b+c＝0，再依次判斷給出代數(shù)式的正負即可．【解答】解：（1）點A、點B在數(shù)軸上所表示的數(shù)互為相反數(shù)，且A、B兩點之間距離為4，∴點A所表示的數(shù)為﹣2，點B所表示的數(shù)為2，①∵A、C兩點之間距離為2，且點C在點A的左側(cè)，∴點C所表示的數(shù)為﹣2﹣2＝﹣4；故答案為：﹣4；②設點D所表示的數(shù)為x，∵點D在點C的左側(cè)，∴﹣4﹣x+2﹣x＝7，解得x＝﹣．故答案為：﹣．③存在，理由如下：設點P所對表示的數(shù)為m，當點P在點C左側(cè)時，﹣4﹣m+（﹣2﹣m）+2﹣m＝9，解得m＝﹣，符合題意；當點P在點C，A之間時，m﹣（﹣4）+（﹣2﹣m）+2﹣m＝9，解得m＝﹣5，不合題意，舍去；當點P在AB之間時，m﹣（﹣4）+m﹣（﹣2）+2﹣m＝9，解得m＝1，符合題意；當點P在點B的右側(cè)時，m﹣（