黃金卷08（新高考八省專用）-【贏在高考黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學（解析版）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷黃金卷08（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】列舉法表示集合、交并補混合運算【分析】根據(jù)補集與并集的概念求解即可．【詳解】由題知，則，故．故選：D．2．已知復數(shù)z滿足z1?i=3+5i，則復數(shù)A．4+4i B．4?4iC．?1+4i D．?1?4i【答案】D【分析】由已知等式化簡求出z，從而可求出復數(shù)z.【詳解】因為z=所以z=?1?4i．故選：D．3．已知拋物線的焦點為，定點為拋物線上一動點，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】拋物線的焦點為，準線方程是，過點作準線的垂線，垂足為，過點作準線的垂線，垂足為，∵點在拋物線上，∴根據(jù)拋物線的定義得，∴，當且僅當共線時取等號，∴的最小值為8．故選：A．4．在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.5．如圖，圓為的外接圓，，為邊的中點，則（

）A．10 B．13 C．18 D．26【答案】B【解析】是邊的中點，可得，是的外接圓的圓心，，同理可得，．故選：B．6．設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構造函數(shù)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，即可判斷；【詳解】解：令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，即（當時取等號），所以，∴，又（當時取等號），所以當且時，有，∴，∴．故選：A7．已知數(shù)列各項為正數(shù)，滿足，，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，再結合，可得，進而可得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求出bn的通項，從而可求出數(shù)列an的通項，再利用裂項相消法求解即可.【詳解】因為，，所以，因為，所以，，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，，所以，所以數(shù)列的公差為，首項為，所以，所以，所以，則，所以.故選：C.8．已知定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有8個零點，則a的取值范圍為（

）A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）【答案】A【解析】函數(shù)在區(qū)間上恰有8個零點，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有8個交點由知，是R上周期為2的函數(shù)，作函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖像如下，由圖像知，當時，圖像有5個交點，故在上有3個交點即可，則；故，解得；故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．一組數(shù)據(jù)為，下列說法錯誤的是（

）A．眾數(shù)是6 B．中位數(shù)是C．平均數(shù)是7 D．標準差是【答案】ABC【解析】依題意，原數(shù)據(jù)組由小到大排列為：，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6或8，故A錯誤；中位數(shù)是6，故B錯誤；平均數(shù)為.故C錯誤；方差為，標準差為.故D正確.故選：ABC.10．如圖所示，正方體棱長為2，點P為正方形內(nèi)（不含邊界）一動點，角平分線交于點Q，點P在運動過程中始終滿足．下列說法中正確的為（

）A．直線與點P的軌跡無公共點B．存在點P使得C．三棱錐體積最大值為D．點P運動軌跡長為【答案】ABD【詳解】因為為的角平分線，在中，由正弦定理可知，設，則，所以，在中，由正弦定理可知，，因為，所以，且，設，，所以，所以，，所以，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)部的弧，且，點到該直線的距離為，所以與圓無公共點，A正確；若，設，所以，所以，所以，即，聯(lián)立，解得所以點滿足條件，所以B正確；若最大，則到距離最大，即到與圓的交點處，但不在正方形邊界上，所以最大值取不到，故C錯誤；令，得到點，又因為，所以，所以為等邊三角形，所以，因為為點的運動軌跡，所以，故D正確；故選:ABD11．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過作直線的垂線，垂足為P，O為坐標原點，且，過P作C的切線交直線于點Q，則（

）A．C的離心率為 B．C的離心率為C．△OPQ的面積為 D．△OPQ的面積為【答案】AC【分析】設，由題意可求得，，中，利用正弦定理求得，即可求得雙曲線得離心率；通過設點表示出，利用切線求得P，Q兩點坐標，可求△OPQ的面積．【詳解】直線和直線，是雙曲線C：的兩條漸近線，

設，則有，又垂直于漸近線，漸近線方程為，，，，而，，，在中，，由正弦定理：，，，，，A選項正確；雙曲線C的方程為：，漸近線為，過點的切線與雙曲線切于點，則有，又，均在雙曲線的漸近線上，故設，又，，，當點為切點時，由，切線斜率存在，設切線方程為，代入雙曲線方程，得令，得，解得，過點的切線方程為，切線方程代入，解得，切線方程代入，解得，，，則C選項正確.故選：AC【點睛】方法點睛：1.求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值．2.解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．第II卷（非選擇題）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式有關知識求得正確答案.【詳解】由于，所以的展開式中含的項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：13．已知實數(shù)成公差非零的等差數(shù)列，集合，，若，則的最大值為.【答案】【分析】實數(shù)成公差非零的等差數(shù)列，則直線過定點，由，點在以為直徑的圓上，可求圓外的點到圓上的點的最大距離.【詳解】成公差非零的等差數(shù)列，則，動直線變形為，令，解得，動直線過定點，直線的一個法向量為，若，則直線，點在以為直徑的圓上，圓心為中點，半徑，，則MN的最大值為.故答案為：

14．已知函數(shù)f(x)=①f(x)②f(x)③f(x)④f(x)在區(qū)間(?正確結論的序號為.【答案】②③【分析】先由圖象求出A,B，接著將點0,2代入函數(shù)f(x)結合正弦函數(shù)性質(zhì)和φ<π2求得φ，再由f(?π6)=1和T4>π6求出ω，進而求得函數(shù)f(x)解析式，對于①，計算f(π【詳解】由圖得A=5?12=2，將點0,2代入函數(shù)f(x)得2sin所以φ=2kπ-π6所以φ=?π6又f(?π6所以ωπ又由圖像可知T4>π所以0<ω<3，所以ω=2對于①，因為f(π6)=2sin2×π6對于②，因為f(π3對于③，令2kπ+π所以函數(shù)f(x)故當k=0時，函數(shù)f(x因為[π2,5π6]?π對于④，x∈(?5π12,π所以2sin(2x?π6)+3∈1,3，所以f(故答案為：②③.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于由圖象求出函數(shù)f(x)的解析式，而求ω是本題難點，故求函數(shù)f(x)的解析式的關鍵在于求出ω，通過圖像特征得出四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）構造函數(shù)，利用導函數(shù)與單調(diào)性、最值的關系即可證明.【詳解】（1）,，,所以切點為，由點斜式可得，，所以切線方程為：.（2）由題可得，設，，所以當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即.16．（15分）如圖，在三棱柱中，中，側(cè)面為正方形，平面平面，，.(1)求證：；(2)若點在棱上，且平面與平面夾角的余弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）由為正方形，推出，再由面面垂直推出線線垂直，再證明線面垂直，推出線線垂直；（2）以為原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面法向量求解即可.【詳解】（1）因為側(cè)面為正方形，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知，，，，故以為原點，分別以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，.設，其中.則，所以，又.設平面的一個法向量為，則，所以，令，，所以.由題意，為平面的一個法向量.設平面與平面的夾角為，所以，解得或（舍）.所以.17．（15分）已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)P和Q是橢圓C上異于A,B的兩點，四邊形APBQ是平行四邊形，直線AP?AQ分別交y軸于點M和點【答案】(1)x(2)3【分析】（1）題目告訴了橢圓焦距和頂點，即知道了a,c，再由（2）由對稱性可設P(x1,y1)，則Q(?x1,?【詳解】（1）由已知a=2,c=1，所以b2=（2）如圖所示，因為四邊形APBQ是平行四邊形，所以線段AB與線段PQ的中點重合，所以P?設Px1,y1，則Q所以直線AP的方程為y=令x=0，得y=2又kAQ=y1x令x=0，得y=2四邊形AMFN面積為12MN=2因為點P在橢圓上，所以x124所以x12將②代入①得MN=所以當y1=±3所以四邊形AMFN面積的最小值為3318．（17分）某校為了解該校學生“停課不停學”的網(wǎng)絡學習效率，隨機抽查了高一年級100位學生的某次數(shù)學成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：(1)估計這100位學生的數(shù)學成績的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）(2)根據(jù)整個年級的數(shù)學成績可以認為學生的數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算，（1）中樣本的標準差s的近似值為10，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，現(xiàn)任抽取一位學生，求他的數(shù)學成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量，則，，）(3)該年級1班的數(shù)學老師為了能每天督促學生的網(wǎng)絡學習，提高學生每天的作業(yè)質(zhì)量及學習數(shù)學的積極性，特意在微信上設計了一個每日作業(yè)小程序，每當學生提交的作業(yè)獲得優(yōu)秀時，就有機會參與一次小程序中”玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學后可根據(jù)獲得積分的多少向老師領取相應的小獎品.小程序頁面上有一列方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均為，依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15格（獎勵5分）時，游戲結束，每天的積分自動累加，設小兔子跳到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求（獲勝的概率）的值.【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，【解析】（1）；（2）由，∴，，.（3）小兔子開始在第1格，為必然事件，，點一下開始按鈕，小兔子跳1格即移到第2格的概率為，即，小兔子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種情況.①小兔子先跳到第格，又點一下開始按鈕跳了2格，其概率為；②小兔了先跳到第格，又點一下開始按鈕跳了1格，其概率為；∵，∴．∴當時，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴，．∴獲勝的概率．19．（17分）對于集合和常數(shù)，定義：為集合A相對的的“正弦標準差”．(1)若集合，，求A相對的的“正弦標準差”；(2)若集