山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第二講排列與組合學(xué)案含解析

PAGE1-其次講排列與組合ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測學(xué)問梳理學(xué)問點一排列與排列數(shù)(1)排列的定義：從n個__不同__元素中取出m(m≤n)個元素，依據(jù)肯定的__依次__排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的__全部不同排列__的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號__Aeq\o\al(m,n)__表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__.(4)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，這里規(guī)定0?。絖_1__.學(xué)問點二組合與組合數(shù)(1)組合的定義：一般地，從n個__不同__元素中取出m(m＜n)個元素__合成一組__，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的__全部不同組合__的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號__Ceq\o\al(m,n)__表示．(3)組合數(shù)的計算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，這里規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝__1__.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝__Ceq\o\al(n－m,n)__；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m,n)__＋__Ceq\o\al(m－1,n)__.注：應(yīng)用公式化簡、求值、解方程、解不等式時，留意Aeq\o\al(m,n)、Ceq\o\al(m,n)中的隱含條件m≤n，且m，n∈N＋.重要結(jié)論對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個途徑考慮(1)以元素為主考慮，即先滿意特別元素的要求，再考慮其他元素．(2)以位置為主考慮，即先滿意特別位置的要求，再考慮其他位置．(3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論正確的是(BD)A．全部元素完全相同的兩個排列為相同排列B．兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同C．若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立D．kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)題組二走進教材2．(P27AA．144 B．120C．72 D．24[解析]“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.題組三考題再現(xiàn)3．(2024·安慶模擬)某單位要邀請10位老師中的6位參與一個會議，其中甲、乙兩位老師不能同時參與，則邀請的不同方法有(D)A．84種 B．98種C．112種 D．140種[解析]由題意分析不同的邀請方法有：Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)＝112＋28＝140(種)．4．(2024·晉中模擬)高三某班6名任課老師站在一排照相，要求甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的站法有多少種(A)A．144 B．72C．288 D．154[解析]甲與乙相鄰，則將甲乙“捆綁”，作為一個整體，并與另外的兩個人排列，有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)種方法；丙與丁不相鄰，采納插空法，有Aeq\o\al(2,4)種方法，依據(jù)分步計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)＝144種方法．5．(2024·新課標(biāo)Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有__16__種．(用數(shù)字填寫答案)[解析]解法一：從2位女生，4位男生中選3人，且至少有1位女生入選的狀況有以下2種：①2女1男：有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4種選法；②1女2男：有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種選法，故至少有1位女生入選的選法有4＋12＝16種．解法二：從2位女生，4位男生中選3人有Ceq\o\al(3,6)＝20種選法，其中選出的3人都是男生的選法有Ceq\o\al(3,4)＝4種，所以至少有1位女生入選的選法有20－4＝16種．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一排列問題——自主練透例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，不同的排列方法總數(shù)，分別為：(1)選其中5人排成一排；__2_520__(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；__5_040__(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；__3_600__(4)全體排成一排，女生必需站在一起；__576__(5)全體排成一排，男生互不相鄰；__1_440__(6)全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；__720__(7)全體排成一排，甲必需排在乙前面；__2_520__(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__[解析](1)從7個人中選5個人來排，是排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)分兩步完成，先選3人排在前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人排在后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，故共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．事實上，本小題即為7人排成一排的全排列，無任何限制條件．(3)優(yōu)先法：解法一：(元素分析法)甲為特別元素．先排甲，有5種方法；其余6人有Aeq\o\al(6,6)種方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600種．解法二：(位置分析法)排頭與排尾為特別位置．排頭與排尾從非甲的6個人中選2個排列，有Aeq\o\al(2,6)種方法，中間5個位置由余下5人和甲進行全排列，有Aeq\o\al(5,5)種方法，共有Aeq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(5,5)＝3600種．(4)(捆綁法)將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將4名女生進行全排列，也有Aeq\o\al(4,4)種方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576種．(5)(插空法)男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾空出5個空位中任選3個空位排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝1440種．(6)把甲、乙及中間3人看作一個整體，第一步先排甲、乙兩人，有Aeq\o\al(2,2)種方法；其次步從余下5人中選3人排在甲、乙中間，有Aeq\o\al(3,5)種；第三步把這個整體與余下2人進行全排列，有Aeq\o\al(3,3)種方法．故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝720種．(7)消序法：eq\f(A\o\al(7,7),2！)＝2520.(8)間接法：Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,7)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720.位置分析法：分甲在右端與不在右端兩類．甲在右端的排法有Aeq\o\al(6,6)(種)排法，甲不在右端的排法有5×5Aeq\o\al(5,5)(種)排法，∴共有Aeq\o\al(6,6)＋25Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中間的站法有__720__種；(2)甲、乙相鄰且丙不站排頭和排尾的站法有__960__種；(3)甲、乙相鄰且都與丙不相鄰的站法有__960__種．[解析](1)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)＝720；(2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝960；(3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝960.名師點撥?求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法干脆法把符合條件的排列數(shù)干脆列式計算優(yōu)先法優(yōu)先支配特別元素或特別位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法考點二組合問題——師生共研例2(1)(2024·廣東中山模擬)從10名高校畢業(yè)生中選3個人擔(dān)當(dāng)村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為(B)A．85 B．49C．56 D．28(2)(2024·福建寧德聯(lián)考)福建省第十六屆運動會于2024年在寧德召開，組委會預(yù)備在會議期間將A，B，C，D，E，F(xiàn)這六名工作人員安排到兩個不同的地點參與接待工作．若要求A，B必需在同一組，且每組至少2人，則不同的安排方法有(D)A．15種 B．18種C．20種 D．22種[解析](1)∵丙沒有入選，∴可把丙去掉，總?cè)藬?shù)變?yōu)?個．∵甲、乙至少有1人入選，∴可分為兩類：一類是甲、乙兩人只選一人的選法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,7)＝42(種)，另一類是甲、乙都入選的選法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,7)＝7(種)，依據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有42＋7＝49(種)．(2)先從兩個不同的地點選出一地點安排A，B兩人，有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)狀況，再將剩余4人分入兩地有三種狀況，4人都去A，B外的另一地點，有1種狀況；有3人去A，B外的另一地點，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)狀況；有2人去A，B外的另一地點，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)狀況．綜上，共有2×(1＋4＋6)＝22(種)，故選D．[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入選的選法有__56__種；②甲、乙都不入選的選法有__56__種．[解析]①Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝56②Ceq\o\al(3,8)＝56名師點撥?組合問題常有以下兩類題型改變：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必需非常重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用干脆法和間接法都可以求解，通常用干脆法分類困難時，考慮逆向思維，用間接法處理．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2024·海南省聯(lián)考)樓道里有9盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞互不相鄰的燈，為了行走平安，第一盞和最終一盞不關(guān)，則關(guān)燈方案的種數(shù)為(A)A．10 B．15C．20 D．24(2)(2024·遼寧沈陽東北育才學(xué)校模擬)某地區(qū)高考改革，實行“3＋2＋1”模式，即“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目“1”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“2”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中隨意選擇兩門學(xué)科，則一名學(xué)生的不同選科組合有(C)A．8種 B．12種C．16種 D．20種[解析](1)問題等價于將這3盞關(guān)著的燈插入4盞亮著的燈形成的5個空檔中，所以關(guān)燈方案共有Ceq\o\al(3,5)＝10種．(2)若一名學(xué)生只選物理和歷史中的一門，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種組合；若一名學(xué)生物理和歷史都選，則有Ceq\o\al(1,4)＝4種組合；因此共有12＋4＝16種組合．故選C．考點三排列、組合的綜合應(yīng)用——多維探究角度1相鄰、相間問題例3(1)(2024·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出依次有如下要求：節(jié)目甲必需排在前三位，且節(jié)目丙、丁必需排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出依次的編排方案共有__120__種．(2)(2024·湖南師范高校附屬中學(xué)模擬)某班上午有五節(jié)課，分別支配語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課．要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是(A)A．16 B．24C．8 D．12[解析](1)①當(dāng)甲在首位，丙、丁捆綁，自由排列，共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝48種；②當(dāng)甲在其次位，首位不能是丙和丁，共有3×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36種；③當(dāng)甲在第三位，前兩位分為是丙、丁和不是丙、丁兩種狀況，共Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)＝36種，因此共48＋36＋36＝120種．(2)依據(jù)題意，分三步進行分析，①要求語文與化學(xué)相鄰，將語文和化學(xué)看成一個整體，考慮其依次，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)狀況；②將這個整體與英語全排列，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)狀況，排好后，有3個空位；③數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，有2個空位可選，在剩下的2個空位中任選1個，支配物理，有2種狀況，則數(shù)學(xué)、物理的支配方法有2×2＝4(種)，則不同排課方案的種數(shù)是2×2×4＝16，故選A．角度2特別元素(位置)問題例4(1)(2024·山西大同模擬)從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，假如甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法種數(shù)為(C)A．Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(4,8) B．Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(5,9)C．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9) D．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,8)(2)(2024·重慶模擬)從5名學(xué)生中選出4名分別參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競賽，其中甲不能參與生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為(D)A．48 B．72C．90 D．96[解析](1)先排第1號瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有Ceq\o\al(1,8)種方法，再排剩余的瓶子，有Aeq\o\al(5,9)種方法，故不同的放法共Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)種，故選C．(2)由于甲不參與生物競賽，則支配甲參與另外3場競賽或甲不參與任何競賽．①當(dāng)甲參與另外3場競賽時，共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝72(種)選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參與任何競賽時，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)選擇方案．綜上所述，全部參賽方案有72＋24＝96(種)．[引申]本例(2)若增加“且乙不參與數(shù)學(xué)競賽”，則不同的參賽方法種數(shù)為__78__.[解析]①甲、乙都參賽有Ceq\o\al(2,3)(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2))＝42種方案；②甲參賽乙不參賽或乙參賽甲不參賽均有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝18種方案；∴共有42＋18＋18＝78種參賽方案．角度3分組、安排問題例5(1)按下列要求安排6本不同的書，各有多少種不同的安排方式？將答案填在對應(yīng)橫線上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__③平均分成三份，每份2本；__15__④平均安排給甲、乙、丙三人，每人2本；__90__；⑤分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；__15__⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；__90__⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__(2)①8個相同的小球放入5個不同盒子中，每盒不空的放法共有__35__種．②15個小球完全相同，放入編號依次為1,2,3的三個不同盒子中，若每個盒子內(nèi)的小球數(shù)不少于盒子的編號，則不同放法有__55__種．[解析](1)①Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60；②Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360；③eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15；④Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90；⑤Ceq\o\al(2,6)＝15；⑥Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90；⑦Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)＝30.(2)①Ceq\o\al(4,7)＝35；②Ceq\o\al(2,11)＝55.名師點撥?解排列組合綜合問題的方法先選后排法是解答排列、組合應(yīng)用問題的根本方法，利用先選后排法解答問題只需三步即可完成．第一步：選元素，即選出符合條件的元素；其次步：進行排列，即把選出的元素按要求進行排列；第三步：計算總數(shù)，即依據(jù)分步乘法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理計算方法總數(shù)．留意：(1)勻稱分組時要除以勻稱組數(shù)的階乘；(2)相同元素的安排問題常用“隔板法”．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2024·浙江湖州期末)現(xiàn)有5個不同編號的小球，其中黑色球2個，白色球2個，紅色球1個，若將其隨機排成一列，則相同顏色的球都不相鄰的概率是__eq\f(2,5)__.(2)(角度2)(2024·陜西漢中質(zhì)檢)將5個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(B)A．36種 B．42種C．48種 D．60種(3)(2024·甘肅蘭州模擬)第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京實行，為了愛護各國元首的平安，將5個安保小組全部支配到指定三個區(qū)域內(nèi)工作，且這三個區(qū)域每個區(qū)域至少有一個安保小組，則這樣的支配方法共有(D)A．96種 B．100種C．124種 D．150種[解析](1)由題意，5個不同的小球全排列為Aeq\o\al(5,5)＝120，同一色的有2×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝48種，同二色的有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝24種狀況．故同一顏色的小球不相鄰的排列總數(shù)有120－48－24＝48種．故相同顏色的球都不相鄰的概率是eq\f(48,120)＝eq\f(2,5).(2)依據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，可分為兩種狀況探討：①甲在最左端，將剩余的4人全排列，共有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3種狀況，將剩余的3人全排列，支配好在剩余的三個位置上，此時共有3Aeq\o\al(3,3)＝18種不同的排法，由分類加法計數(shù)原理，可得共有24＋18＝42種不同的排法，故選B．(3)因為三個區(qū)域每個區(qū)域至少有一個安保小組，所以可以把5個安保小組分成三組，有兩種分組的狀況：一種是1,1,3，另一種是1,2,2.當(dāng)依據(jù)1,1,3來分時，共有N1＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，當(dāng)依據(jù)1,2,2來分時，共有N2＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，依據(jù)分類加法計數(shù)