2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4.2.1對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE8-對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(15分鐘35分)1.(2024·汕頭高一檢測(cè))若a=log67，b=log76，c=loQUOTEπ，則 ()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<c<a【解析】選C.log67>log66=1，0=log71<log76<log77=1，loQUOTEπ<loQUOTE1=0.所以c<b<a.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知x=lnπ，y=log5QUOTE，z=QUOTE，則 ()A.x<y<z B.z<x<yC.z<y<x D.y<z<x【解析】選D.因?yàn)閘nπ>lne=1，log5QUOTE<log51=0，0<QUOTE<1，所以y<z<x.2.函數(shù)y=2+log5x(x≥1)的值域?yàn)?()A.(2，+∞) B.(-∞，2)C.[2，+∞) D.[3，+∞)【解析】選C.由x≥1知log5x≥0，y≥2，值域是[2，+∞).3.已知m，n∈R，函數(shù)f(x)=m+lognx的圖象如圖，則m，n的取值范圍分別是()A.m>0，0<n<1 B.m<0，0<n<1C.m>0，n>1 D.m<0，n>1【解析】選C.由圖象知函數(shù)為增函數(shù)，故n>1.又當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=m>0，故m>0.4.設(shè)函數(shù)f(x)=lgx，若f(2x)<f(2)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_______.

【解析】函數(shù)f(x)=lgx，則不等式f(2x)<f(2)可化為lg(2x)<lg2，即0<2x<2，解得0<x<1，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(0，1).答案：(0，1)5.已知函數(shù)f(x)=QUOTE直線y=a與函數(shù)f(x)的圖象恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a的取值范圍是_______.

【解析】函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，要使直線y=a與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則0<a≤1.答案：(0，1]6.已知f(x)=|log3x|.(1)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象.(2)當(dāng)0<a<2時(shí)f(a)>f(2)，利用函數(shù)圖象求出a的取值范圍.【解析】(1)如圖：(2)令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log3解得a=QUOTE或a=2.從圖象可知，當(dāng)0<a<QUOTE時(shí)，滿意f(a)>f(2)，所以a的取值范圍是QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ln(x+1)，則函數(shù)f(x)的圖象為()【解析】選D.由f(x)是R上的奇函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解除A、B.又x>0時(shí)，f(x)=ln(x+1)，解除C.2.(2024·梅州高一檢測(cè))已知a=ln3，b=log310，c=lg3，則a，b，c的大小關(guān)系為 ()A.c<b<a B.a<c<bC.b<c<a D.c<a<b【解析】選D.因?yàn)閘n3=QUOTE，lg3=QUOTE，且log310>log3e>0，所以lg3<ln3<lne2=2，又log310>log39=2，所以c<a<b.3.已知冪函數(shù)f(x)=(a2-a-1)xa+2是偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)=logm(x-a)+3(0<m<1)恒過定點(diǎn) ()A.(0，3) B.(1，3)C.(3，4) D.(3，3)【解析】選D.因?yàn)閮绾瘮?shù)是偶函數(shù)，則a+2為偶數(shù)，且a2-a-1=1，即a=2，故函數(shù)g(x)=logm(x-a)+3=logm(x-2)+3(0<m<1)，令x-2=1，求得x=3，y=3，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)(3，3).4.若點(diǎn)(a，b)在函數(shù)f(x)=lnx的圖象上，則下列點(diǎn)中，不在函數(shù)f(x)圖象上的是 ()【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)(a，b)在f(x)=lnx的圖象上，所以b=lna，所以-b=lnQUOTE，1-b=lnQUOTE，2b=2lna=lna2.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5.已知a>0，b>0，且ab=1，a≠1，則函數(shù)f(x)=ax與函數(shù)g(x)=-logbx在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是 ()【解析】選AB.因?yàn)閍>0，b>0，且ab=1，a≠1，當(dāng)a>1時(shí)，0<b<1，所以B符合；當(dāng)0<a<1時(shí)，b>1，所以A符合.6.若實(shí)數(shù)a，b滿意loga2<logb2，則下列關(guān)系中成立的是 ()A.0<b<a<1 B.0<a<1<bC.a>b>1 D.0<b<1<a【解析】選ABC.依據(jù)題意，實(shí)數(shù)a，b滿意loga2<logb2，對(duì)于A，若a，b均大于0小于1，依題意，必有0<b<a<1，故A有可能成立；對(duì)于B，若logb2>0>loga2，則有0<a<1<b，故B有可能成立；對(duì)于C，若a，b均大于1，由loga2<logb2，知必有a>b>1，故C有可能成立；對(duì)于D，當(dāng)0<b<1<a時(shí)，loga2>0，logb2<0，loga2<logb2不能成立.【光速解題】可以分別取符合答案條件的a，b特值，驗(yàn)證loga2<logb2是否成立.三、填空題(每小題5分，共10分)7.函數(shù)y=loga(2x-3)+4的圖象恒過定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_______，若點(diǎn)A在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(3)=_______.

【解析】因?yàn)閘oga1=0，所以當(dāng)2x-3=1，即x=2時(shí)，y=4，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，4).設(shè)冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(diǎn)A(2，4)，所以4=2α，解得α=2；所以冪函數(shù)為f(x)=x2，則f(3)=9.答案：(2，4)98.若函數(shù)f(x)=QUOTE(a>0，且a≠1)的值域是[4，+∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

【解析】因?yàn)楫?dāng)x≤2時(shí)，f(x)∈[4，+∞)，所以當(dāng)x>2時(shí)，3+logax的值域?yàn)閇4，+∞)的子集.所以QUOTE解得1<a≤2.答案：1<a≤2四、解答題(每小題10分，共20分)9.(2024·銀川高一檢測(cè))設(shè)f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0，a≠1)，且f(0)=2.(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的定義域.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，QUOTE]上的最小值.【解析】(1)由題意得，f(0)=loga3+loga3=2loga3=2，所以a=3，所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)，所以QUOTE解得-3<x<3，所以f(x)的定義域是(-3，3).(2)因?yàn)閒(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2)，且x∈(-3，3)，所以log3(9-x2)在[0，QUOTE]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=QUOTE時(shí)，f(x)在區(qū)間[0，QUOTE]上取得最小值，是log33=1.10.已知函數(shù)f(x)=(log4x)2+loQUOTE-3，x∈[1，8]，求f(x)的值域以及取得最值時(shí)x的值.【解析】令t=log4x，t∈QUOTE，又loQUOTE=-QUOTElog2x=-QUOTEloQUOTEx=-log4x，則y=t2-t-3，t∈QUOTE，函數(shù)對(duì)稱軸為t=QUOTE∈QUOTE，故當(dāng)t=QUOTE，即x=2時(shí)，f(x)min=-QUOTE.當(dāng)t=QUOTE，即x=8時(shí)，f(x)max=-QUOTE，所以f(x)的值域是QUOTE，當(dāng)x=2時(shí)，f(x)min=-QUOTE；當(dāng)x=8時(shí)，f(x)max=-QUOTE.1.(2024·運(yùn)城高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=|lnx|滿意f(a)>f(2-a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(1，3)【解析】選A.依據(jù)題意可得，f(x)=QUOTE所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在[1，+∞)上單調(diào)遞增；依據(jù)題意可知，QUOTE?0<a<2；①當(dāng)0<a<1，2-a>1時(shí)，因?yàn)閒(a)>f(2-a)，所以-lna>ln(2-a)?a(2-a)<1，解得a≠1；?0<a<1；②當(dāng)a=1時(shí)，f(a)=f(2-a)不符合題意(舍)；③當(dāng)1<a<2，0<2-a<1時(shí)，因?yàn)閒(a)>f(2-a)，所以lna>-ln(2-a)?a(2-a)>1，解得a∈?；綜上，a的取值范圍為(0，1).【補(bǔ)償訓(xùn)練】若定義運(yùn)算f(a?b)=QUOTE，則函數(shù)f(log2(1+x)?log2(1-x))的值域是 ()A.(-1，1) B.[0，1)C.[0，+∞) D.[0，1]【解析】選B.由題意得f(ab)=QUOTE，所以y=f(log2(1+x)log2(1-x))=QUOTE當(dāng)0≤x<1時(shí)，函數(shù)為y=log2(1+x)，因?yàn)閥=log2(1+x)在[0，1)為增函數(shù)，所以y∈[0，1)，當(dāng)-1<x<0時(shí)，函數(shù)為y=log2(1-x)，因?yàn)閥=log2(1-x)在(-1，0)為減函數(shù)，所以y∈(0，1)，由以上可得y∈[0，1)，所以函數(shù)f(log2(1+x)log2(1-x))的值域?yàn)閇0，1).2.(1)函數(shù)y=log2(x-1)的圖象是由y=log2x的圖象如何改變得到的？(2)在坐標(biāo)系中作出y=|log2(x-1)|的圖象.(3)設(shè)函數(shù)y=QUOTE與函數(shù)y=|log2(x-1)|的圖象的兩