2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2.1兩角差的余弦函數(shù)3.2.2兩角和與差的正弦余弦函數(shù)學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE§2兩角和與差的三角函數(shù)2．1兩角差的余弦函數(shù)2．2兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一兩角和與差的余弦公式、正弦公式[填一填][答一答]1．如何正確理解兩角和與差的正弦公式、余弦公式？提示：(1)公式中的α，β均為隨意角．(2)公式對(duì)安排律不成立．(3)和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如，sin(2π－α)＝sin2πcosα－cos2πsinα＝0×cosα－1×sinα＝－sinα.(4)運(yùn)用公式時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用．如，化簡(jiǎn)sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ，不要將sin(α＋β)和cos(α＋β)綻開，而應(yīng)采納整體思想，進(jìn)行如下變形：sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想．(5)兩角和與差的余弦公式右邊的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反；兩角和與差的正弦公式右邊的兩部分為異名三角函數(shù)的積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相同．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二協(xié)助角公式[填一填]通常把a(bǔ)sinx＋bcosx(a，b不同時(shí)為0)寫成asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)的形式，我們把這種形式稱為協(xié)助角公式，其中cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，角θ叫作協(xié)助角．[答一答]2．如何化簡(jiǎn)asinα＋bcosα(ab≠0)?提示：逆用兩角和與差的正弦公式，湊出sinαcosβ±cosαsinβ的形式來(lái)化簡(jiǎn)．a(chǎn)sinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)(eq\f(a,\r(a2＋b2))sinα＋eq\f(b,\r(a2＋b2))cosα)．∵(eq\f(a,\r(a2＋b2)))2＋(eq\f(b,\r(a2＋b2)))2＝1，∴可設(shè)cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，則tanθ＝eq\f(b,a)(θ稱為協(xié)助角)．∴asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)(sinαcosθ＋cosαsinθ)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋θ)．特殊是當(dāng)eq\f(b,a)＝±1，±eq\r(3)，±eq\f(\r(3),3)時(shí)，θ是特殊角．例如，3sinα－3eq\r(3)cosα＝eq\r(9＋27)(eq\f(3,\r(9＋27))sinα－eq\f(3\r(3),\r(9＋27))cosα)＝6(eq\f(1,2)sinα－eq\f(\r(3),2)cosα)＝6(sinαcoseq\f(π,3)－cosαsineq\f(π,3))＝6sin(α－eq\f(π,3))．1．對(duì)公式Cα±β的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)公式的左邊是和(差)角的余弦，右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的差(和)式，可用口訣“余余正正號(hào)相反”記憶公式．(2)公式的適用條件公式中的α，β不僅可以是隨意詳細(xì)的角，也可以是一個(gè)“團(tuán)體”如cos(eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2))中的“eq\f(α＋β,2)”相當(dāng)于公式中的角“α”，“eq\f(α－β,2)”相當(dāng)于公式中的角“β”．因此對(duì)公式的理解要留意結(jié)構(gòu)形式，而不要局限于詳細(xì)的角．3．留意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律對(duì)于公式Cα－β，Cα＋β，可記為“同名相乘，符號(hào)反”．對(duì)于公式Sα－β，Sα＋β，可記為“異名相乘，符號(hào)同”．類型一利用公式求值【例1】求值：(1)sin43°cos13°－sin13°sin47°；(2)cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)；(3)eq\f(\r(2),2)cos15°＋eq\f(\r(2),2)sin15°.【思路探究】(1)式子中出現(xiàn)了3個(gè)角，但留意到43°與47°可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換從而可以選擇公式求值．(2)式子中出現(xiàn)的角是“整體”的形式，要把“α－35°”看作角“α”，把“25°＋α”看作角“β”，再逆用兩角差的余弦公式．(3)先把特殊值化成角的三角函數(shù)，再逆用公式化簡(jiǎn)求值．【解】(1)解法一：sin43°cos13°－sin13°sin47°＝sin43°cos13°－sin13°cos43°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq\f(1,2).解法二：sin43°cos13°－sin13°sin47°＝cos47°cos13°－sin13°sin47°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(2)原式＝cos(α－35°－25°－α)＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).(3)解法一：原式＝cos45°cos15°＋sin45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).解法二：原式＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin(45°＋15°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).規(guī)律方法解此類題的關(guān)鍵是將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，充分拆角、湊角轉(zhuǎn)化為兩角和與差的正弦、余弦公式，同時(shí)活用、逆用公式，大角要利用誘導(dǎo)公式化為小角．(1)計(jì)算：sin(36°＋α)cos(54°－α)－cos(144°－α)sin(126°＋α)＝1.(2)計(jì)算：eq\f(cos7°－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).解析：(1)原式＝sin(36°＋α)·sin(36°＋α)＋cos(36°＋α)·cos(36°＋α)＝cos[(36°＋α)－(36°＋α)]＝cos0°＝1.(2)原式＝eq\f(cos15°－8°－sin15°sin8°,cos8°)＝eq\f(cos15°cos8°,cos8°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).類型二給值求值問(wèn)題【例2】已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，cosβ＝－eq\f(5,13)，β為第三象限角，求：(1)cos(α－β)及cos(α＋β)的值；(2)sin(α＋β)的值．【思路探究】由sinα及cosβ的值及角的范圍很簡(jiǎn)單計(jì)算出cosα及sinβ，干脆代入兩角和與差的余弦公式，即可計(jì)算出cos(α－β)與cos(α＋β)的值．代入兩角和的正弦公式，即可計(jì)算出sin(α＋β)的值．【解】(1)由sinα＝eq\f(4,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4,5)2)＝－eq\f(3,5)，又由cosβ＝－eq\f(5,13)，β為第三象限角得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f(5,13)2)＝－eq\f(12,13)，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－eq\f(3,5))×(－eq\f(5,13))＋eq\f(4,5)×(－eq\f(12,13))＝－eq\f(33,65)，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－eq\f(3,5))×(－eq\f(5,13))－eq\f(4,5)×(－eq\f(12,13))＝eq\f(63,65)，(2)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(4,5)×(－eq\f(5,13))＋(－eq\f(3,5))×(－eq\f(12,13))＝eq\f(16,65).規(guī)律方法已知α，β角的某種三角函數(shù)，求α±β的余弦與正弦，先要依據(jù)平方關(guān)系求出α，β的另一種三角函數(shù)．求解過(guò)程中留意先依據(jù)角的范圍推斷所求三角函數(shù)值的符號(hào)，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的余弦公式或正弦公式中，求出和角或差角的余弦．(1)已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(3,2)π，2π)，則cos(α－eq\f(π,3))＝eq\f(3－4\r(3),10).解析：因?yàn)閏osα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(3,2)π，2π)，所以sinα＝－eq\f(4,5).所以cos(α－eq\f(π,3))＝cosαcoseq\f(π,3)＋sinαsineq\f(π,3)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋(－eq\f(4,5))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3－4\r(3),10).(2)α，β為銳角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，求cosα的值．解：因?yàn)棣粒聻殇J角，所以0<α＋β<π.又因?yàn)閏os(α＋β)＝eq\f(12,13)，所以0<α＋β<eq\f(π,2)，所以0<2α＋β<π.又因?yàn)閏os(2α＋β)＝eq\f(3,5)，所以0<2α＋β<eq\f(π,2)，所以sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，sin(2α＋β)＝eq\f(4,5)，所以cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).類型三給值求角問(wèn)題【例3】(1)已知cosα＝eq\f(3,5)，cos(α－β)＝eq\f(7\r(2),10)，且0<β<α<eq\f(π,2)，那么β＝()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)(2)若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，且0≤α<β<γ<2π，則β－α＝()A.eq\f(4π,3)或eq\f(2π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(4π,3) D．以上答案都不對(duì)【思路探究】解決求角問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題目所給條件，恰當(dāng)?shù)剡x擇計(jì)算所求角的某一個(gè)三角函數(shù)值．本題第(1)問(wèn)用到的一個(gè)技巧是角的變換即β＝(β－α)＋α.【解析】(1)由0<β<α<eq\f(π,2)，得0<α－β<eq\f(π,2)，又cosα＝eq\f(3,5)，cos(α－β)＝cos(β－α)＝eq\f(7\r(2),10)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，sin(β－α)＝－sin(α－β)＝－eq\r(1－cos2α－β)＝－eq\f(\r(2),10)，則cosβ＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cosα－sin(β－α)·sinα＝eq\f(7\r(2),10)×eq\f(3,5)－(－eq\f(\r(2),10))×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(2),2)，∴β＝eq\f(π,4).(2)∵cosα＋cosβ＋cosγ＝sinα＋sinβ＋sinγ＝0，∴cosγ＝－cosα－cosβ，sinγ＝－sinα－sinβ.∵sin2γ＋cos2γ＝1，∴(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝1，整理得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝－eq\f(1,2)，∴cos(β－α)＝－eq\f(1,2).∵0≤α<β<2π，∴0<β－α<2π，∴β－α＝eq\f(2π,3)或eq\f(4π,3).同理可得cos(γ－β)＝－eq\f(1,2)，解得γ－β＝eq\f(2π,3)或eq\f(4π,3).cos(γ－α)＝－eq\f(1,2)，解得γ－α＝eq\f(2π,3)或eq\f(4π,3).∵0≤α<β<γ<2π，∴β－α＝eq\f(2π,3)，γ－β＝eq\f(2π,3)，γ－α＝eq\f(4π,3).故β－α的值為eq\f(2π,3).【答案】(1)C(2)B規(guī)律方法解決給值求角問(wèn)題的方法解決給值求角問(wèn)題要留意依據(jù)問(wèn)題給出的三角函數(shù)值及角的范圍，選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，確定所求角的恰當(dāng)范圍，利用三角函數(shù)在此范圍內(nèi)的單調(diào)性求出所求角．在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是(0，eq\f(π,2))，選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，選正弦函數(shù)較好．已知銳角α，β滿意sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α＋β的值．解：因?yàn)棣?，β均為銳角，且sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(4,5))＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－\f(1,10))＝eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝－eq\f(\r(2),2).因?yàn)?<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝eq\f(3π,4).類型四證明問(wèn)題【例4】求證：eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α).【思路探究】本題采納了兩種方法，分別從兩個(gè)方向進(jìn)行了證明，方法一是正用兩角的和、差公式，方法二是逆用兩角的和、差公式．【證明】方法1：左邊＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α)＝右邊，∴原式成立．方法2：右邊＝1－eq\f(sin2βcos2α,cos2βsin2α)＝eq\f(cos2βsin2α－sin2βcos2α,cos2βsin2α)＝eq\f(cosβsinα＋sinβcosαcosβsinα－sinβcosα,cos2βsin2α)＝eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝左邊，∴原式成立．規(guī)律方法證明三角恒等式要留意視察等式兩邊的特點(diǎn)，主要是從三角函數(shù)的名稱、表達(dá)形式上去視察，選擇不同的證明方法．一般地，三角恒等式的證明可實(shí)行三種思維方法：從左向右證，從右向左證，左右同時(shí)化到同一個(gè)式子．已知tan(α＋β)＝2tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，α＋β≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，求證：3sinβ＝sin(2α＋β)．證明：由題意，得eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(2sinα,cosα)，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.又∵sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3cos(α＋β)sinα，3sinβ＝3sin[(α＋β)－α]＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝3cos(α＋β)sinα，∴3sinβ＝sin(2α＋β)．類型五e(cuò)q\o(\s\up17(利用協(xié)助角公式asinx＋bcosx＝\r(a2＋b2)sinx),\s\do15(＋θa，b不同時(shí)為零探討三角函數(shù)的性質(zhì)))【例5】若函數(shù)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx,0≤x<eq\f(π,2).(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；(2)推斷f(x)在[0，eq\f(π,2))上的單調(diào)性，并求f(x)的最大值．【思路探究】本題關(guān)鍵是對(duì)f(x)進(jìn)行合理化簡(jiǎn)，然后利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，求單調(diào)性及最值．【解】(1)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)·cosx＝(1＋eq\r(3)eq\f(sinx,cosx))·cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2(eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx)＝2sin(x＋eq\f(π,6))．(2)∵0≤x<eq\f(π,2)，∴f(x)在[0，eq\f(π,3)]上是單調(diào)遞增的，在(eq\f(π,3)，eq\f(π,2))上是單調(diào)遞減的．∴當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)有最大值2.規(guī)律方法協(xié)助角公式化簡(jiǎn)的步驟及應(yīng)用(1)“提”常數(shù)即提取eq\r(a2＋b2)，使asinx＋bcosx變成eq\r(a2＋b2)·(eq\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋eq\f(b,\r(a2＋b2))cosx)．(2)“定”θ值令cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，確定協(xié)助角θ的值．(3)用處多利用協(xié)助角公式我們可以進(jìn)一步探討這類函數(shù)的周期、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性等許多問(wèn)題．(1)函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx的最小正周期是2π；(2)函數(shù)f(x)＝sinx－cosx的最小值是－eq\r(2).解析：(1)f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，最小正周期是2π.(2)f(x)＝eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))，最小值是－eq\r(2).——易錯(cuò)警示——因忽視隱含條件致誤【例6】已知△ABC中，sin(A＋B)＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(2,3)，則cosA＝________.【錯(cuò)解】eq\f(4\r(5)－6,15)【正解】在△ABC中，因?yàn)閏osB＝－eq\f(2,3)<0，所以B為鈍角①，則sinB＝eq\f(\r(5),3)，所以A＋B∈(eq\f(π,2)，π)，由sin(A＋B)＝eq\f(4,5)，得cos(A＋B)＝－eq\f(3,5)，所以cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝－eq\f(3,5)×(－eq\f(2,3))＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(6＋4\r(5),15).【錯(cuò)解分析】沒(méi)有從①處挖掘出B為鈍角，從而得出cos(A＋B)＝eq\f(3,5)，導(dǎo)致cosA求解錯(cuò)誤．【答案】eq\f(6＋4\r(5),15)【防范措施】1.留意題設(shè)信息的挖掘合理挖掘題設(shè)隱含信息，可以有效削減問(wèn)題求解的錯(cuò)誤，提高解題的精確性，如本例在△ABC中由“cosB＝－eq\f(2,3)”可以得出B為鈍角．2．留意思維的嚴(yán)密性數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，每一個(gè)條件的存在都有其特殊的作用，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，不僅要遵從數(shù)學(xué)規(guī)律，而且也要合乎邏輯，如本例在已知“sin(A＋B)＝eq\f(4,5)”時(shí)，不行盲目下結(jié)論“cos(A＋B)＝eq\f(3,5)”．在△ABC中，sinA＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(12,13)，則cosC＝eq\f(56,65).解析：∵cosB＝－eq\f(12,13)，∴∠B為鈍角．∴∠A為銳角，∴sinB＝eq\f(5,13)，cosA＝eq\f(3,5)，∴cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(3,5)×(－eq\f(12,13))＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(36,65)＋eq\f(20,65)＝eq\f(56,65).一、選擇題1．sinα＝eq\f(1,2)，α是銳角，則cos(α－eq\f(π,4))＝(A)A.eq\f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq\f(\r(6)－\r(2),4)C.eq\f(1－\r(2),2) D.eq\f(\r(3)－\r(2),2)解析：∵α是銳角，且sinα＝eq\f(1,2)，∴α＝eq\f(π,6).∴cosα＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).∴cos(α－eq\f(π,4))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).2．計(jì)算sin59°·cos29°－cos59°sin29°的結(jié)果等于(C)A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)解析：原式＝sin(59°－29°)＝sin30°