2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用4.2平面向量及運算的坐標(biāo)表示課后習(xí)題含解析北師大版必修第二冊

4.2平面對量及運算的坐標(biāo)表示課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標(biāo)練1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,則λ1,λ2的值分別為()A.-2,1 B.1,-2C.2,-1 D.-1,2解析因為c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).所以3=λ1+2λ2,4=2λ1+3答案D2.(2024北京房山高一期末)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,用基{a,b}表示c,則()A.c=3a-2bB.c=-3a+2bC.c=-2a+3bD.c=2a-3b解析如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1,則a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),設(shè)向量c=ma+nb,則m-2所以c=3a-2b.答案A3.已知點A(1,3),B(4,-1),則與AB同方向的單位向量是()A.35,-45C.-35,解析易得AB=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以與AB同方向的單位向量為AB|AB|=15(3,-4)答案A4.在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析設(shè)a=k1e1+k2e2,A選項,因為(3,2)=(k2,2k2),所以k2=3B選項,因為(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),所以-k1故B中的e1,e2可把a表示出來.同理,C,D選項同A選項,無解.答案B5.(2024山東臨沂高一期中)已知點A(1,2),B(3,x),向量a=(2-x,-1),AB∥a,則()A.x=3時AB與a方向相同B.x=6時AB與C.x=3時AB與a方向相反D.x=-6時AB與解析A(1,2),B(3,x),可得AB=(2,x-2),又a=(2-x,-1),AB∥a,可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2±2,當(dāng)x=2+2時,AB=(2,2)與a=(-2,-1)方向相反,當(dāng)x=2-2時,AB=(2,-2)與a=(2,-1)方向相同.答案BD6.(2024北京房山高一期末)已知點A(0,1),B(2,5),C(x,-3),則向量AB的坐標(biāo)是;若A,B,C三共點線,則實數(shù)x=.

解析因為A(0,1),B(2,5),所以AB=(2-0,5-1)=(2,4);向量AC=(x-0,-3-1)=(x,-4),因為A,B,C三點共線,所以AB∥所以2×(-4)-4x=0,解得x=-2.答案(2,4)-27.設(shè)OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O為坐標(biāo)原點,若A,B,C三點共線,則a+b2的值是.解析因為A,B,C三點共線,所以AB與AC共線,所以存在實數(shù)λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),所以a-1=-λb-λ答案1實力提升練1.若{i,j}為正交基,設(shè)a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),則向量a對應(yīng)的坐標(biāo)位于()A.第一、二象限 B.其次、三象限C.第三象限 D.第四象限解析x2+x+1=x+122+34>0,x2-x+1=x-122+34>0,所以向量a對應(yīng)的坐標(biāo)位于第四象限.答案D2.設(shè)m=(a,b),n=(c,d),規(guī)定兩向量m,n之間的一個運算“”為mn=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),pq=(-4,-3),則q等于()A.(-2,1) B.(2,1)C.(2,-1) D.(-2,-1)解析設(shè)q=(x,y),由題設(shè)中運算法則,得pq=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),即x-2y=-4,y+2答案A3.設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則向量c等于()A.(1,-1) B.(-1,1)C.(-4,6) D.(4,-6)解析因為4a,3b-2a,c對應(yīng)有向線段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).答案D4.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上隨意向量c都可以唯一地表示為c=λa+μb(λ,μ∈R),則實數(shù)m的取值范圍是()A.(-∞,0)∪(0,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)D.[-3,3)解析因為平面上隨意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面對量的一組基,即a,b為不共線的非零向量,則3m≠2m-3,即m≠-3,故選C.答案C5.如圖,經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA,OB分別交于點P,Q,設(shè)OP=mOA,OQ=nOB,m,n∈R,則1m+解析設(shè)OA=a,OB=b,由題意知OG=23×12(OA+OB)=13(a+b),PQ=OQ-OP=nb-ma,PG=OG-OP=13-ma+13b,由P,G,Q三點共線得,存在實數(shù)λ,使得PQ=λPG答案36.如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交點P的坐標(biāo).解(方法一)設(shè)OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),則AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=由AP,AC共線的條件知(4t-4)×6-4t×(-2)解得t=34,所以O(shè)P=(4t,4t)=所以點P的坐標(biāo)為(3,3).(方法二)設(shè)P(x,y),則OP=(x,y),因為OP,OB共線,OB=(4,4),所以4x-4y=0.又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP,CA所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解由①②組成的方程組,得x=3,y=3,所以點P的坐標(biāo)為(3,3).素養(yǎng)培優(yōu)練已知向量u=(x,y)與向量v=(y,2y-x)的對應(yīng)關(guān)系可用v=f(u)表示.(1)證明:對于隨意向量a,b及常數(shù)m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)設(shè)a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo);(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.(1)證明設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).則f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),又mf(a)=(my1,2my1-mx1),