專題07 圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專題07圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。內(nèi)切圓、外接圓模型常以選填題的形式考查，而內(nèi)切圓與外接圓模型結(jié)合多以綜合題的形式呈現(xiàn)，出題靈活多變，是中考的?？碱}型。本專題就圓的內(nèi)切圓和外接圓模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.內(nèi)切圓模型 2模型2.多邊形的外接圓模型 9 20大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.內(nèi)切圓模型內(nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個(gè)圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。圖1圖2圖31）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為內(nèi)心），切點(diǎn)為D、E、F，⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。證明：∵O為三角形ABC的內(nèi)心，∴OA、OB、OC分別為∠A、∠B、∠C的平分線，∵O為內(nèi)心，切點(diǎn)為D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，∴點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；∵OA、OB、OC分別為∠A、∠B、∠C的平分線，∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=，∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°-=180°-=90°+，∴即r=2）直角三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為內(nèi)心），切點(diǎn)為D、E、F，⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；證明：①②證明同模型1）的證明，∵⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為內(nèi)心），切點(diǎn)為D、E、F，∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四邊形OECF為正方形，∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=；3）四邊形的內(nèi)切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。結(jié)論：。證明：∵⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。例1．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，在中，，半徑為的是的內(nèi)切圓，連接，分別交于D，E兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．（結(jié)果用含的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)內(nèi)切圓圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，得到的大小，然后用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】∵內(nèi)切圓圓心是三條角平分線的交點(diǎn)，∴；設(shè)，，在中：，在中：，由①②得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)心的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)；解題關(guān)鍵是根據(jù)角平分線算出的度數(shù)．例2．（2023春·廣東九年級(jí)期中）如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，若∠A=70°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．125° B．120° C．130° D．115°【答案】A【分析】連接OB，OC，先利用⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，得出即O是△ABC的內(nèi)心，從而，∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)一步求出∠BOC的度數(shù)．【詳解】連接OB，OC．∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-70°）=55°，∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-55°=125°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造三角形是解答此題的關(guān)鍵．例3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在中，，，，點(diǎn)是的內(nèi)心．點(diǎn)到邊的距離為；【答案】2【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，角平分線的性質(zhì)．連接，，，過(guò)點(diǎn)分別作，，于點(diǎn)，，，根據(jù)，，可得，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接，，，過(guò)點(diǎn)分別作，，于點(diǎn)，，，在中，，，，，是的內(nèi)心，，，，，點(diǎn)到邊的距離為2；故答案為：2．例4．（2023·河南安陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若三角形的面積是24cm2，周長(zhǎng)是24cm，則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑cm．【答案】2【分析】根據(jù)三角形的面積三角形的周長(zhǎng)內(nèi)切圓的半徑，即可求解．【詳解】解：如圖所示：設(shè)三角形ABC面積為S，周長(zhǎng)為x，半徑為r,∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，∴OD＝OF＝OE＝r，∴S＝AC?r＋AB?r＋BC?r＝（AC＋AB＋BC）r＝xr．∵三角形的面積是24cm2，周長(zhǎng)是24cm，這個(gè)三角形的內(nèi)切圓的半徑是，則，解得：．故答案是：2．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓和三角形的面積，將三角形分割得出面積與半徑之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．例5．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，其中，若與相切與G點(diǎn)，與相交于M，N點(diǎn)，則的周長(zhǎng)等于．

【答案】14【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵是的內(nèi)切圓，且與相切于點(diǎn)G；

根據(jù)切線長(zhǎng)定理，設(shè)，，，；∵，∴．解得，∴的周長(zhǎng)，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長(zhǎng)定理，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形的內(nèi)切圓，與邊、均相切，且與外切，則的半徑為．

【答案】【分析】由切線的性質(zhì)得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，由銳角的正切即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)與切于，與相切于，連接，連接，，，

，，，平分，，是等邊三角形，，，同理：，，，，∵，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識(shí)點(diǎn)推出，得到是中點(diǎn)，應(yīng)用銳角的正切即可求解．例7．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，點(diǎn)在內(nèi)，且平分，平分，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)、，若與相似，則線段的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C．5或 D．6【答案】B【分析】分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB兩種情況，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)切圓求解即可.【詳解】解：若△APQ∽△ABC，∴∠APQ=∠ABC，∴PQ∥BC，，∴∠PDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PBD=∠PDB，∴PB=PD，同理，DQ=CQ，∵，，，∴BC=，設(shè)AP=x，根據(jù)得,∴AQ=，∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，∴PQ=PD+QD=，∴，即，解得：x=，∴PQ=；若△APQ∽△ACB，則，由題意知：D為△ABC的內(nèi)心，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓交AB于M，交AC于N，可知四邊形AMDN為正方形，∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，∴AM∥DN，AN∥DM，∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，∴△MPD∽△NDQ，∴，∵AB=8，AC=6，BC=10，∴DM=DN==2，∴AM=AN=2，設(shè)PM=x，則，∴NQ=，∵，即，解得：x=或-2（舍），∴AP=+2=，∴PQ=AP×BC÷AC=×10÷6=.綜上：PQ的值為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓，角平分線的定義，有一定難度，解題的關(guān)鍵是將三角形相似分兩種情況討論.模型2.多邊形的外接圓模型外接圓：與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對(duì)一個(gè)凸多邊形來(lái)說(shuō)的，如三角形，若一個(gè)圓恰好過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)圓就叫作三角形的外接圓，此時(shí)圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）。圖1圖2圖31）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結(jié)論：①OA=OB=OC；②。證明：∵O為三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC2）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)。結(jié)論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，∴四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，連結(jié)CD．∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已證），∠BMP=∠AMC（對(duì)頂角）?！唷鰾MP≌△AMC，∴，同理：?！?，∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∴。3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。結(jié)論：①；；②。證明：連結(jié)OA、OC，設(shè)∠AOC=，∵\(yùn)t"/item/%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E5%AF%B9%E8%A7%92%E4%BA%92%E8%A1%A5/_blank"圓周角等于所對(duì)的\t"/item/%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E5%AF%B9%E8%A7%92%E4%BA%92%E8%A1%A5/_blank"圓心角的一半，∴∠ADC=，同理：∠ABC=，∴；同理：；∵，∴。例1．（2023·湖北武漢·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，則⊙O的半徑為.【答案】5cm【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定義得到△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結(jié)OB，設(shè)⊙O的半徑為r，利用勾股定理，在Rt△ABD中計(jì)算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解關(guān)于r的方程即可；【詳解】解：如圖1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結(jié)OB，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD==8，在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5，即△ABC的外接圓的半徑為5；【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓和外心，解題關(guān)鍵證明等腰三角形底邊上的高經(jīng)過(guò)三角形外接圓的圓心.例2．（2024·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，已知點(diǎn)O是的外心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則．【答案】35【分析】本題考查了三角形的內(nèi)心，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，連接，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得，進(jìn)而由圓周角定理得，再根據(jù)內(nèi)心的定義可得，據(jù)此即可求解，掌握內(nèi)心的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，故答案為：35．例3．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，．若．則外心與外心的距離是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接AC，作于F，AC與BD、DF交于點(diǎn)E、G，先證明E是的外心，G是的外心，在中，根據(jù)即可解題．【詳解】如圖，連接AC，作于F，AC與BD、DF交于點(diǎn)E、G，垂直平分BD，，是等邊三角形，是等腰直角三角形是的外心，是的外心，在中，在中，故外心與外心的距離是5故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．例4．（2024·四川綿陽(yáng)·校考一模）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，O為Rt△ABC的外心，I為Rt△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D．連接OI，則cos∠OID的值為．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)作、、的垂線，分別交于點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形內(nèi)接圓的性質(zhì)求出內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)度，從而得到的長(zhǎng)度；在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度；利用，得到、的長(zhǎng)度；根據(jù)，求出的長(zhǎng)度；在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度；在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，即可求出．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作、、的垂線，分別交于點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，連接，如圖所示∵是的內(nèi)心∴又∵，，，∴四邊形是正方形設(shè)，則，∵，，∴，在中，∴+∴∴∵是的外心∴∴在中，∵是的內(nèi)心，∴∴∵，∴∴∴，∵∴在中，在中，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)接圓的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、同一個(gè)三角形面積不變性、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能夠正確作出輔助線．例5．（22-23九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，I是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交的外接圓于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點(diǎn)D是的外心．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得，再由圓周角與弧之間的關(guān)系即可得證；（2）連接，證出即可得證；（3）連接，，，證出即可得證．【詳解】（1）證明：點(diǎn)I是的內(nèi)心，平分，，，，．（2）證明：如圖，連接，點(diǎn)I是的內(nèi)心，平分，平分，，又，，，，，．（3）證明：如圖，連接，，，，．，∴點(diǎn)D是的外心．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心和外心的定義，圓的基本性質(zhì)中圓周角與弧之間的關(guān)系等，理解定義，掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.例6．（2023江蘇九年級(jí)上期末）如圖，已知的半徑為1，A、P、B、C是上的四個(gè)點(diǎn)，．(1)的形狀為_(kāi)_____；(2)試求線段、、之間的數(shù)量關(guān)系；(3)若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)的最小值．【答案】(1)等邊三角形(2)(3)【分析】（1）如圖1，連接，由得，進(jìn)而可得，可證，進(jìn)而可判斷的形狀；（2）如圖2，在線段上截取使，可證是等邊三角形，證明，，則，根據(jù)，可得結(jié)論；（3）如圖3，連接，記中點(diǎn)為，連接，證明的運(yùn)動(dòng)軌跡為繞運(yùn)動(dòng)且半徑為的圓，連接，可知與的交點(diǎn)即為在上移動(dòng)時(shí)的的最小值時(shí)的位置，過(guò)作，垂足為，根據(jù)題意求出、的值，根據(jù)，，，分別求的值，在中，由勾股定理得，求的值，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：是等邊三角形，如圖1，連接，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．（2）解：，如圖2，在線段上截取使，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴的數(shù)量關(guān)系為．（3）解：如圖3，連接，記中點(diǎn)為，連接，由題意知且，即為定長(zhǎng)，為定點(diǎn)，∴的運(yùn)動(dòng)軌跡為繞點(diǎn)運(yùn)動(dòng)且半徑為的圓，如圖3，連接，可知與的交點(diǎn)即為在上移動(dòng)時(shí)的的最小值時(shí)的位置，過(guò)作，垂足為，由題意得，，，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴在上移動(dòng)時(shí)的的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理、勾股定理、正弦、余弦等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用．例7．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）內(nèi)接于，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，已知，(1)連接，，則______（用含有的代數(shù)式表示）(2)求證：；(3)連接，若，求的最小值(4)若，為等腰三角形，直接寫出的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)的最小值(4)或時(shí)，為等腰三角形【分析】（1）連接，，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，得出，則，進(jìn)而得出，即可得出（3）因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，故點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn)．由（1）的結(jié)論，可知，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值．此時(shí)為的直徑，且為的垂直平分線，，解，得出，進(jìn)而即可求解；（4）根據(jù)，得出，分別連接，，記與相交于點(diǎn)，得出是等邊三角形，同（2）可求得，，然后分類討論即可求解．【詳解】（1）連接，，∵點(diǎn)是的內(nèi)心∴，，∴（2）解：如圖1所示，連接，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，故點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn)．由（1）的結(jié)論，可知，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值．如圖2所示，此時(shí)為的直徑，且為的垂直平分線，，∵

∴在中，∴在中，∴∴故的最小值（4）解：∵

∴

∴分別連接，，記與相交于點(diǎn)，∵，∴，，∴是等邊三角形同（2）可求得，，①，如圖3所示，此時(shí)

∴而矛盾，故此種情況不成立．②，如圖4所示，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，此時(shí)，，∴，∴設(shè)，則，∵∴，解得∴，∴，∵∴，即解得，∴③，如圖5所示，此時(shí)，∵是等邊三角形，∴∴點(diǎn)，，三點(diǎn)共線∴為的直徑∴∴綜上所述，或時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的應(yīng)用，角平分線的定義，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，解直角三角形，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1．（2024·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，則∠D的度數(shù)是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°【答案】B【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得OB，OC分別是角平分線，進(jìn)而求出的大小，再利用三角形外心的性質(zhì)得出等于的一半，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，，，，，點(diǎn)O是△DBC的外心，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心和三角形外心的性質(zhì)，牢記以上知識(shí)點(diǎn)得出各角之間的關(guān)系是做出本題的關(guān)鍵．2．（2024·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)I為的內(nèi)切圓的圓心，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)D，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）．A．1 B．2 C．2.5 D．3.5【答案】B【分析】由三角形內(nèi)切圓的圓心為三條角平分線的交點(diǎn)，可知，，利用三角形外角的性質(zhì)可得，利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠，進(jìn)而可證，推出，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)I為的內(nèi)切圓的圓心，∴平分，平分，∴，，∵，，，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓、三角形外角的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等，難度一般，解題的關(guān)鍵是通過(guò)導(dǎo)角證明．5．（2023·山東棗莊·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D，中，內(nèi)切圓O和邊、、分別相切于點(diǎn)D、E、F，則以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論是（

）A．點(diǎn)O是的外心B．C．D．【答案】D【分析】首先連接如圖所示的輔助線．采用排除法，證明A、B、C選項(xiàng)，從而錯(cuò)誤的選擇D．在證明中運(yùn)用弦切角定理，直角三角形的兩直角邊所對(duì)的角互余．【詳解】解：A、∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心∴OE=OD=OF∴點(diǎn)O也是△DEF的外心∴該選項(xiàng)正確；B、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理）在Rt△BOD中，∠BOD=90°-∠OBD=90°?∠B同理∠COD=90°?∠C∴∠BOC=∠BOD+∠COD=180°?(∠C+∠B)，即∠BOC=180°?(∠C+∠B)在四邊形MOND中，OM⊥FD，ON⊥ED∴∠BOC+∠MDN=180°∴∠MDN=180°-∠BOC，即∠BOC=180°-∠EDF∴∠AFE=（∠B+∠C）故該選項(xiàng)正確；C、∵∠AFE=∠EDF（弦切角定理），∵在Rt△AFO中，∠AFE=90°-∠FAO=90°-∠A，由上面B選項(xiàng)知∠MDN=180°-∠BOC=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，故該選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形外接圓與外心、弦切角定理．同學(xué)們需注意對(duì)于選擇題目，采用排除法是一種很好的方法．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．5．（2024·四川廣元·三模）如圖，是一塊草坪，其中，陰影部分是的內(nèi)切圓，一只自由飛翔的小鳥隨機(jī)落在這塊草坪上，則小鳥落在陰影部分的概率為．

【答案】【分析】本題考查了內(nèi)切圓，勾股定理，幾何概率．熟練掌握內(nèi)切圓，勾股定理，幾何概率是解題的關(guān)鍵．如圖，記的內(nèi)切圓的圓心為，作于，于，于，設(shè)的半徑為，則，由勾股定理得，，由，可求，，，根據(jù)小鳥落在陰影部分的概率為，求解作答即可．【詳解】解：如圖，記的內(nèi)切圓的圓心為，作于，于，于，設(shè)的半徑為，

∴，由勾股定理得，，∵，∴，解得，，∴，，∴小鳥落在陰影部分的概率為，故答案為：．6．（2023·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．若，，則的值是．【答案】9【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，∴可以假設(shè)切點(diǎn)分別為E、H、G、F，∴，∴，∵，，∴，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．7．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)是，是邊的中點(diǎn)．將該正方形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．分別與，，相切，切點(diǎn)分別為，，，則的半徑為．

【答案】1【分析】如圖所示，延長(zhǎng)交于M，連接，先證明得到，設(shè)設(shè)，則，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如圖所示，連接，用等面積法求出半徑即可．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于M，連接，∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴，

∴，

設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，如圖所示，連接∵分別與，，相切，切點(diǎn)分別為，，，∴，∵，∴，∴，∴的半徑為，故答案為；1．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓，正方形與折疊問(wèn)題，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為的內(nèi)心．（1）若，則；（2）若，則．【答案】/100度/125度【分析】（1）如圖，證明；求出，進(jìn)而求出即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)得到平分平分，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）如圖，的內(nèi)心為點(diǎn)，，，，，，故答案為：；（2）如圖，點(diǎn)為的外心，，，點(diǎn)為的內(nèi)心，平分平分，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、三角形的內(nèi)心的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，中，，，，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，若，，則．【答案】【分析】根據(jù)已知條件證明，，利用三角形面積比解答即可．本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：令，，，在中，，可得：，，，又，，，即：，，同理可得：，，，即：，∵，，的內(nèi)切圓半徑分別記為，，，，，，；，，，．故答案為：．10．（23-24九年級(jí)·江蘇南京·自主招生）已知內(nèi)接于，為內(nèi)心，交于．證明：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．連接，要證明，只要求得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：連接，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．11．（2023·北京·?？既＃╅喿x以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在△ABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OIR2Rr.下面是該定理的證明過(guò)程（借助了第(2)問(wèn)的結(jié)論）：延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN，連接DM，AN.∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對(duì)的圓周角相等），∴△MDI∽△ANI.∴，∴IAIDIMIN①如圖②，在圖1（隱去MD，AN）的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF∵DE是⊙O的直徑，∴∠DBE=90°.∵⊙I與AB相切于點(diǎn)F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA．∵∠BAD=∠E（同弧所對(duì)圓周角相等），∴△AIF∽△EDB．∴，∴②，由（2）知：，∴又∵，∴2Rr(Rd)(Rd)，∴Rd2Rr∴dR2Rr任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：IMRd，IN（用含R，d的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（請(qǐng)利用圖1證明）（3）應(yīng)用：若△ABC的外接圓的半徑為6cm，內(nèi)切圓的半徑為2cm，則△ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm．【答案】（1）

（2），證明見(jiàn)解析

（3）【分析】（1）根據(jù)線段的差求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，推出，進(jìn)而根據(jù)外角性質(zhì)以及圓周角定理得到，即可得證；（3）利用（1）和（2）的結(jié)論可得，進(jìn)而得出，再代入求值即可．【詳解】（1）∵IMRd∴；（2）∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心∴∵∴∴；（3）由（2）知∴∵∴∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，掌握線段的和差關(guān)系、內(nèi)心的性質(zhì)、外角的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．12．（24-25九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，的半徑為1，A，，，是上的四個(gè)點(diǎn)，．(1)判斷的形狀：；(2)試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)記的面積分別為，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)等邊三角形(2)，見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的全等的判定與性質(zhì)、解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓周角定理得到，進(jìn)而得到，最后根據(jù)等邊三角形的判定定理即可解答；（2）如圖：在上截取，連接，，得到為等邊三角形，證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)并結(jié)合圖形即可解答；（3）如圖：過(guò)點(diǎn)作，則；根據(jù)可得，進(jìn)而得到；設(shè)，則，由題意可得，最后解分式方程并檢驗(yàn)即可解答．【詳解】（1）解：是等邊三角形．理由如下：與是所對(duì)的圓周角，與是所對(duì)的圓周角，，又，，為等邊三角形．（2）解：，證明如下：如圖：在上截取，連接，，是等邊三角形，，即又，，在和中，，，，又，．（3）解：如圖：過(guò)點(diǎn)作，則，，即，設(shè)，則，由題意可得：，解得∵，∴，則（舍去），∴，檢驗(yàn)∶是原分式方程的根，．13．（2023·廣東深圳·三模）綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動(dòng)，第四只螞蟻在上的移動(dòng)，并始終保持．(1)請(qǐng)判斷的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請(qǐng)你回答這個(gè)結(jié)論：是______三角形；(2)“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵佋谏系囊苿?dòng)時(shí)，線段、、三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請(qǐng)你寫出這種數(shù)量關(guān)系：______，并加以證明；(3)“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻同時(shí)隨著螞蟻的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線段的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度一定存在最小值，請(qǐng)你求出線段的最小值是______（不寫解答過(guò)程，直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)等邊(2)；證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得對(duì)應(yīng)的圓周角為，即、，說(shuō)明為等邊三角形即可；（2）如圖，在上截取，連接，先說(shuō)明為等邊三角形可得，，，進(jìn)而證明可得，最后根據(jù)等量代換即可解答；（3）如圖：的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)圓心為，連接，過(guò)作于，過(guò)作，，根據(jù)題意可得，然后說(shuō)明是三角形的中位線，進(jìn)而得到；再根據(jù)中點(diǎn)的定義可得，利用勾股定理可得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】（1）解：，對(duì)應(yīng)的圓周角為，，，，為等邊三角形．故答案為：等邊．（2）解：如圖，在上截取，連接，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，．故答案為：．（3）解：根據(jù)題意可知，如圖：的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)圓心為，連接，過(guò)作于，過(guò)作，，，，，，是的中點(diǎn)，是三角形的中位線，為的中點(diǎn)，，又是的中點(diǎn)，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．14．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知I是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交的外接圓于點(diǎn)D，連接．(1)在圖1中：①證明：；②判斷外心的位置，并證明；(2)如圖2，若為的外接圓直徑，取中點(diǎn)O，且于點(diǎn)I，切圓O于點(diǎn)D，求的值．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②D為外心，證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）①根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可證明結(jié)論成立；②由，可證，得出，從而，可求出D為外心；（2）連接．由為的外接圓直徑可知切圓O于點(diǎn)D，根據(jù)余角的性質(zhì)可證，由（1）的結(jié)論得，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】（1）①連接．∵I是的內(nèi)心∴平分，∴，∴，∴②D為外心，證明如下：∵I是的內(nèi)心∴平分，∴，∵，∴∴，∴∴D為外心；（2）連接．∵為的外接圓直徑，O為中點(diǎn)，∴O為的外接圓圓心．∵切圓O于點(diǎn)D，∴，即，∵，∴，∵為的外接圓直徑，∴，∴，∵，，∴．∵由（1）得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)心與外心，三角形外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解直角三角形，綜合運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．15．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，為等邊三角形的外接圓，半徑為4，點(diǎn)D在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），連接．(1)求的長(zhǎng)；(2)求證：是的平分線；(3)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(4)若點(diǎn)M、N分別在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，的周長(zhǎng)有最小值t，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，t的值會(huì)發(fā)生變化，則所有t值中的最大值為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)(4)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，易得，設(shè)，三線合一求出的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，得到，即可得證；（3）過(guò)點(diǎn)作，解非直角三角形，求出得長(zhǎng)即可；（4）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，易得，得到的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，得到，進(jìn)而得到當(dāng)最大時(shí)，的長(zhǎng)最大，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，∵為等邊三角形的外接圓，半徑為4，∴，∴，設(shè)，則：，，∴，在中，由勾股定理，得：，解得：或（舍去）；∴；（2）∵等邊三角形，∴，∵，∴，∴是的平分線；（3）過(guò)點(diǎn)作，由（1）可知：，∵，∴為等腰直角三角形，∴，由（2）知：，∴，∴，∴；（4）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則：，，∴，即：，∵的周長(zhǎng)，∴當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，過(guò)點(diǎn)作，∵，，∴，，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵是的一條弦，∴當(dāng)為直徑時(shí)，最大，為，∴的最大值為，即：的最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，利用軸對(duì)稱解決線段最短問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形是解題關(guān)鍵．16．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，．

(1)在圖①中作的外接圓；在圖②中作的內(nèi)切圓．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若O、I兩點(diǎn)在同一中，當(dāng)，時(shí)，______，______．（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖③）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓得到的外接圓；作和的平分線，它們相交于點(diǎn)，作過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓得到的內(nèi)切圓；（2）如圖③，設(shè)與各邊的切點(diǎn)為、、，連接、、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則，先根據(jù)圓周角定理可判斷為的直徑，利用勾股定理可計(jì)算出得到，接著證明四邊形為正方形得到，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，從而得到，解得，然后利用勾股定理可計(jì)算出，再利用面積法求出，接著利用勾股定理求出，最后利用余弦的定義求出的余弦值．【詳解】（1）解：如圖①，為所作；

如圖②，為所作；

（2）如圖③，設(shè)與各邊的切點(diǎn)為、、，連接、、，則，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則，

，為的直徑，，，，，，，四邊形為矩形，，四邊形為正方形，，，，，，解得，，，在中，，在中，，，，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．主要考查了三角形外接圓和三角形的內(nèi)切圓．17．（2023·江西新余·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形．如圖，與的三邊，，分別相切于點(diǎn)，，則叫做的外切三角形，以此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形．如圖，與四邊形的邊，，，分別相切于點(diǎn)，，，，則四邊形叫做的外切四邊形．(1)如圖，試探究圓外切四邊形的兩組對(duì)邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，猜想：______（橫線上填“”，“”或“”）；(2)利用圖證明你的猜想；(3)若圓外切四邊形的周長(zhǎng)為．相鄰的三條邊的比為．求此四邊形各邊的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)，，，【分析】（1）根據(jù)圓外切四邊形的定義猜想得出結(jié)論；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)求出第四邊，利用周長(zhǎng)建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：與四邊形的邊，，，分別相切于點(diǎn)，，，，猜想，故答案為：；（2）解：已知：四邊形的四邊，，，都于相切于，，，，求證：，證明：，和相切，，同理：，，，，即：圓外切四邊形的對(duì)邊和相等；（3）解：相鄰的三條邊的比為∶∶，設(shè)此三邊為，，，根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)得，第四邊為，圓外切四邊形的周長(zhǎng)為，，，此四邊形的四邊的長(zhǎng)為，，，．即此四邊形各邊的長(zhǎng)為：，，，．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了新定義圓的外切四邊形的性質(zhì)，四邊形的周長(zhǎng)，切線長(zhǎng)定理，理解和掌握?qǐng)A外切四邊形的定義是解本題的關(guān)鍵．18．（2024·山東九年級(jí)期中）如圖，是的切線，切點(diǎn)為A，是的直徑，連接交于E．過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)D，交于B，連接．(1)求證：是的切線；(2)求證：E為的內(nèi)心；(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)5【分析】（1）如圖所示，連接，由切線的性質(zhì)得到，由垂徑定理得到垂直平分，則，證明，得到，即可證明是的切線；（2）如圖所示，連接，由（1）得，則平分；再證明，得到平分，即可證明點(diǎn)E是三條角平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)E是的內(nèi)心；（3）由是直徑，得到，證明，解求出，則，同理可證，解即可求出．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）證明：如圖所示，連接，由（1）得，∴平分；∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，∴點(diǎn)E是三條角平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)E是的內(nèi)心；（3）解：∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴，同理可證，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)心的證明，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，E是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與的外接圓相交于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10【分析】（1）由題意可知平分，平分，則，，由圓周角定理可知，可得，進(jìn)而證明即可得；（2）連接，，，交于點(diǎn)．由，可得，可知垂直平分，由此可知，，由圓周角定理可得，進(jìn)而利用三角函數(shù)值及勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：連接．∵E是的內(nèi)心，則平分，平分，∴，．又∵，∴．∴．∵，，∴．∴．（2）解：連接，，，交于點(diǎn)．∵，∴．∵，∴垂直平分．∴，，∵，∴．由圓周角定理可得：，∴，∵，∴．∴，．∴．在中，．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，三角形的內(nèi)心，解直角三角形，熟悉相關(guān)性質(zhì)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．（2024·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的外接圓，D為與的交點(diǎn)，E為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．(1)求證：直線是的切線．(2)若D為的中點(diǎn)，，，①求的半徑；②求的內(nèi)心到點(diǎn)O的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②5【分析】（1）連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，證明，即可得到結(jié)論；（2）①連接，利用垂徑定理以及勾股定理，列方程，解方程即可求解；②作的平分線交于點(diǎn)H，連接，過(guò)點(diǎn)H