專(zhuān)題14 三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長(zhǎng)與等邊內(nèi)接等邊模型解讀與提分精練（全國(guó)）（解析版）

專(zhuān)題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長(zhǎng)與等邊內(nèi)接等邊模型等腰（等邊）三角形是中學(xué)階段非常重要三角形，具有許多獨(dú)特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學(xué)的常客，并且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學(xué)們的相關(guān)能力。本專(zhuān)題將把等腰三角形的三類(lèi)重要模型作系統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對(duì)它有個(gè)全面的了解與掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長(zhǎng)短手模型） 2模型2.等邊截等長(zhǎng)模型（定角模型） 8模型3.等邊內(nèi)接等邊 12 18模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長(zhǎng)短手模型）帽子模型，其實(shí)是等腰三角形獨(dú)特性質(zhì)的應(yīng)用，因?yàn)槟Ｐ秃芟衩弊?，學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)也增加了趣味性。條件：如圖，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，結(jié)論：①DF=FE；②。證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于H，則，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中,，∴，∴；∵，∴，∵，，∴，∴，∴．例1．（23-24八年級(jí)上·廣東中山·期末）如圖，中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿的延長(zhǎng)線移動(dòng)，并與點(diǎn)P同時(shí)停止．已知點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，連接與線段相交于點(diǎn)D(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)A，B重合時(shí)的情況)．(1)求證:；(2)求證:；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，在點(diǎn)P，Q移動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否變化?如果不變，請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)為定值5，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，準(zhǔn)確作出輔助線找出全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）利用、的移動(dòng)速度相同，得到，利用線段間的關(guān)系即可推出；（2）過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，利用等邊對(duì)等角結(jié)合已知可證，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，由（2）得，可知為等腰三角形，結(jié)合，可得出即可得出為定值．【詳解】（1）證明：、的移動(dòng)速度相同，，，；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，，，，，，，由（1）得，，在與中，，，；（3）解：為定值5，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)F，由（2）得：，為等腰三角形，，，由（2）得，，，為定值5．例2．（24-25九年級(jí)上·山西臨汾·階段練習(xí)）綜合與探究問(wèn)題情境：在中，，在射線上截取線段，在射線上截取線段，連結(jié)，所在直線交直線于點(diǎn)M．猜想判斷：（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，如圖①．若，則線段、的大小關(guān)系為_(kāi)______．深入探究：（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②．若，判斷線段、的大小關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)D在邊上（點(diǎn)D不與、重合），點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③．若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，證明即可得解；（2）過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明即可得解；（3）過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明，由相似三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，∵，，∵，，，，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，，，在和中，，∴，；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F∵，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．例3．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連PQ交AC邊于D，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，DE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意過(guò)P作BC的平行線，交AC于M；則△APM也是等邊三角形，在等邊三角形APM中，PE是AM上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知AE＝EM；易證得△PMD≌△QCD，則DM＝CD；此時(shí)發(fā)現(xiàn)DE的長(zhǎng)正好是AC的一半，由此得解．【詳解】解：過(guò)P作PM∥BC，交AC于M，∵△ABC是等邊三角形，且PM∥BC，∴△APM是等邊三角形；又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等邊三角形三線合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中，，∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠正確的構(gòu)建出等邊三角形△APM是解答此題的關(guān)鍵．例4．（2024·河南·校考一模）問(wèn)題背景：已知在中，邊AB上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A，B不重合)，同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合)，連接DE交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn)，求的值．（1）初步嘗試：如圖①，若是等邊三角形，，且點(diǎn)D?E的運(yùn)動(dòng)速度相等，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過(guò)點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)G，先證，再證，從而求得的值為_(kāi)_______；（2）類(lèi)比探究：如圖②，若中，，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如圖③，若在中，，記，且點(diǎn)D?E的運(yùn)動(dòng)速度相等，試用含m的代數(shù)式表示的值(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)解答過(guò)程)．【答案】（1）2；（2）2；（3）【詳解】解：（1）2；【解法提示】如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)G，圖①圖②圖③∵△ABC是等邊三角形，∴△AGD是等邊三角形，∴，由題意知，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴；（2）如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)G，則，∵，∴，，，∴△DGH為等邊三角形，∴，．由題意可知，．∴．∵，∴．在與中，，∴，∴．，即，∴，即；（3）．如解圖③，過(guò)點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)G，易得，，．在中，∵，，∴，，，∴，∵，∴．∴，∴．由可得．∵，∴．∴．∴，即．∴．模型2.等邊截等長(zhǎng)模型（定角模型）條件：如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)．結(jié)論：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。證明：在等邊三角形中，，，在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；．，，∴BQ=2PQ．例1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明∶∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴．例2．（2024八年級(jí)·重慶·培優(yōu)）如圖，為等邊三角形，且與相交于點(diǎn)，則（

）．A．等于 B．等于 C．等于 D．大小不確定【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，先證明，得到，在三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】∵等邊，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選B．例3．（23-24八年級(jí)·廣東中山·期中）如圖，在等邊中，點(diǎn)分別在邊上，且，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)8【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）證明即可得證；（2）求出，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，在和中，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴．例4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊三角形的，邊上各取一點(diǎn)，（均不與端點(diǎn)重合），且，，相交于點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，據(jù)此可判定和全等，從而得，然后根據(jù)三角形的外角定理可求出，由此可求出的度數(shù)，進(jìn)而可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判定；由和全等可得出，據(jù)此可判定和相似，進(jìn)而根據(jù)相似的性質(zhì)可對(duì)結(jié)論B進(jìn)行判定；過(guò)作于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，，然后分別用勾股定理求出，進(jìn)而再求出，最后可求出，由此可對(duì)結(jié)論C進(jìn)行判定；設(shè)，，則，，，，先由結(jié)論A正確得出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，然后在中利用勾股定理求出，最后在中再利用勾股定理可求出，之間的關(guān)系，從而可對(duì)結(jié)論D進(jìn)行判定．【詳解】解：為等邊，，，在與中，，，，，，因此結(jié)論A正確；，即：，又，，，，因此結(jié)論B正確；過(guò)作于點(diǎn)，為等邊，，，，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，，因此結(jié)論C正確；設(shè)，，則，，，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，即：，，將代入上式得：，整理得：，因此結(jié)論D不正確．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難點(diǎn)是靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算．模型3.等邊內(nèi)接等邊圖1圖21）等邊內(nèi)接等邊（截取型）條件：如圖1，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運(yùn)動(dòng)，且滿足AD=BE=CF；結(jié)論：三角形DEF也是等邊三角形。證明：∵是等邊三角形，∴，．∵，∴．在和中，∴（），∴．同理，∴，∴是等邊三角形．2）等邊內(nèi)接等邊（垂線型）條件：如圖，點(diǎn)、、分別在等邊的各邊上，且于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，結(jié)論：三角形DEF也是等邊三角形。證明：是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，例1．（2024七年級(jí)下·成都·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，過(guò)等邊三角形的頂點(diǎn)、、依次作、、的垂線、，三條垂線圍成，若，則的周長(zhǎng)為（）A．12 B．18 C．20 D．24【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，先證明是等邊三角形．得出．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，證明，得出，求出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，同理：，∴是等邊三角形．∴．在中，，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴∴，∴，∴的周長(zhǎng)為．故選：B．例2．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，已知等邊三角形，點(diǎn)，，分別為邊上的黃金分割點(diǎn)（，，），連接，，，我們稱為的“內(nèi)含黃金三角形”，若在中任意取點(diǎn)，則該點(diǎn)落在“內(nèi)含黃金三角形”中的概率是．【答案】【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)的計(jì)算，概率的計(jì)算方法，根據(jù)題意，設(shè)，可得等邊的面積，根據(jù)黃金分割點(diǎn)可得，，可證，可得，根據(jù)圖形面積可得，再根據(jù)概率的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，設(shè)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴在中，，∴，，∴，∵點(diǎn)分別是的黃金分割點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，則，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P1作于點(diǎn)，∴在中，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．例3．（23-24八年級(jí)下·廣東云浮·期中）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊三角形的各邊上，且于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先求得．得．則，再求得．即可得到結(jié)論；（2）由得到．由得到，則．由得到．即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴．∴．∴．∴是等邊三角形．（2）解：∵是等邊三角形，∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣西·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上運(yùn)動(dòng)，滿足．(1)求證：；(2)設(shè)的長(zhǎng)為x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．

【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)(3)當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而減小【分析】（1）由題意易得，，然后根據(jù)“”可進(jìn)行求證；（2）分別過(guò)點(diǎn)C、F作，，垂足分別為點(diǎn)H、G，根據(jù)題意可得，，然后可得，由（1）易得，則有，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：分別過(guò)點(diǎn)C、F作，，垂足分別為點(diǎn)H、G，如圖所示：

在等邊中，，，∴，∴，設(shè)的長(zhǎng)為x，則，，∴，∴，同理（1）可知，∴，∵的面積為y，∴；（3）解：由（2）可知：，∴，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；即當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（23-24九年級(jí)上·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在，上，且，，與相交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論：①，②，③．其中正確的有（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】A【分析】由是等邊三角形，求得，證明，得到，即可求得，故①正確；由，證明，即可得到，故②正確；由，，證明，即可求得，故③正確；【詳解】∵是等邊三角形，∴，，∵，，∴，且，，∴，∴，∵，∴，∵是的外角，∴，∴①正確；∵，，∴，∴，∴，∴，∴②正確；∵，，∴，∴，∴，∴，∴③正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵2．（2024廣東九年級(jí)二模）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P，Q分別是AC，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（都不與線段端點(diǎn)重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于點(diǎn)O．下列四個(gè)結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6OP；②若BC=8，BP=7，則PC=5；③AP2=OP?AQ；④若AB=3，則OC的最小值為，其中正確的是（

）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=BC，根據(jù)線段的和差得到CP=BQ，過(guò)P作PD∥BC交AQ于D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①正確；過(guò)B作BE⊥AC于E，解直角三角形得到②錯(cuò)誤；在根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到③正確；以AB為邊作等邊三角形NAB，連接CN，證明點(diǎn)N，A，O，B四點(diǎn)共圓，且圓心即為等邊三角形NAB的中心M，設(shè)CM于圓M交點(diǎn)O′，CO′即為CO的最小值，根據(jù)30度角的直角三角形即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ，如圖，過(guò)P作PD∥BC交AQ于D，∴△ADP∽△AQC，△POD∽△BOQ，∴，，∴CQ=3PD，∴BQ=6PD，∴BO=6OP；故①正確；過(guò)B作BE⊥AC于E，則CE=AC=4，∵∠C=60°，∴BE=4，∴PE==1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②錯(cuò)誤；在等邊△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，在△ABP與△CAQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ABP=∠CAQ，PB=AQ，∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，∴，∴AP2=OP?PB，∴AP2=OP?AQ．故③正確；以AB為邊作等邊三角形NAB，連接CN，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB，∵∠PBA=∠QAC，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA=60°+∠BAQ+60°+∠QAC=120°+∠BAC=180°，∴點(diǎn)N，A，O，B四點(diǎn)共圓，且圓心即為等邊三角形NAB的中心M，設(shè)CM于圓M交點(diǎn)O′，CO′即為CO的最小值，∵NA=NB，CA=CB，∴CN垂直平分AB，∴∠MAD=∠ACM=30°，∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°，在Rt△MAC中，AC=3，∴MA=AC?tan∠ACM=，CM=2AM=2，∴MO′=MA=，

即CO的最小值為，故④正確．綜上：正確的有①③④．故選：A．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，銳角三角函數(shù)，最短路徑問(wèn)題，綜合掌握以上知識(shí)并正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2024·廣西·一模）如圖，在等邊中，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接，交于點(diǎn)，在點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)．首先證明，推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是為圓心，為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，連接交于，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，陰影部分的面積的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，是等邊三角形，，，，，，，∴，又，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是為圓心，為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，連接交于，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的面積最大，則陰影部分的面積的值最小，此時(shí)點(diǎn)是等邊的中心，∴陰影部分的面積的最小值為，故選：B．4．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以下四個(gè)結(jié)論中：；；當(dāng)時(shí)，；．正確的有（

）個(gè)．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，證明可知正確；先證明，則，過(guò)作，交于，證明，可得結(jié)論；由已知得是等腰直角三角形，得，計(jì)算，可作判斷；由作判斷，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴，∵，，∴∴，故正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，過(guò)作，交于，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故正確；當(dāng)時(shí)，∵，∴是等腰直角三角形，∴由()知：，∴，∴，∵不一定是的中點(diǎn)，∴與不一定相等，故不正確；由()知：，∴，故正確，綜上正確，共個(gè)，故選：．5．（2023·福建莆田·一模）如圖，和都是等邊三角形，將先向右平移得到，再繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得點(diǎn)，分別在邊和上．現(xiàn)給出以下兩個(gè)結(jié)論：①僅已知的周長(zhǎng)，就可求五邊形的周長(zhǎng)；②僅已知的面積，就可求五邊形的面積．下列說(shuō)法正確的是（）A．①正確，②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤，②正確C．①②均正確D．①②均錯(cuò)誤【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．由“”可證，，可得，，，由線段的和差關(guān)系和面積和差關(guān)系可求解．【詳解】解：，，都是等邊三角形，，，，，，，同理可證：，，，五邊形的周長(zhǎng)，僅已知的周長(zhǎng)，就可求五邊形的周長(zhǎng)；故①正確；，，，，，五邊形的面積，僅已知的面積，就可求五邊形的面積．故②正確，故選：C．6．（23-24九年級(jí)上·北京昌平·期末）如圖，是等邊三角形，D，E分別是，邊上的點(diǎn)，且，連接，相交于點(diǎn)F，則下列說(shuō)法正確的是（

）①；

②；③；④若，則A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，故①正確；∴，，∴，故②正確；∵，∴不成立，故③錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)H，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴；故④正確；綜上所述：說(shuō)法正確的有①②④；故選B．7．（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）如圖，ΔABC是等邊三角形，點(diǎn)分別在邊上，且與相交于點(diǎn)．若，則ΔABC的邊長(zhǎng)等于（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先證明△ABD△BCE，推出∠BDA=∠FDB，BE=DA=8，再證明△BDA△FDB，利用相似三角形的性質(zhì)求得BD=CE=，作EG⊥BC于G，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)即可求解【詳解】∵ΔABC是等邊三角形，，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD△BCE，∴∠BAD=∠CBE，BE=DA=1+7=8，∵∠BDA=∠FDB，∴△BDA△FDB，∴，即，∴BD=，則CE=BD=，作EG⊥BC于G，∵∠C=60，∴CG=CE，EG=CE，在Rt△BEG中，BG=，∴BC=BG+CG=，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為60°的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求解，有一定的綜合性．8．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖所示，過(guò)等邊的頂點(diǎn)A，B，C依次作的垂線三條垂線圍成，已知，則的周長(zhǎng)是．【答案】36【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半等知識(shí)，本題中為等邊三角形，通過(guò)證明，得．證明是等邊三角形，易得，，即可作答．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴，即，∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴．∴，同理：，∴為等邊三角形，∵，∴，∵，所以的周長(zhǎng)，故答案為：369．（23-24天津九年級(jí)上期中）如圖，點(diǎn)分別在正三角形的三邊上，且也是正三角形.若的邊長(zhǎng)為，的邊長(zhǎng)為，則的內(nèi)切圓半徑為．【答案】【分析】根據(jù)△ABC、△EFD都是等邊三角形，可證得△AEF≌△BDE≌△CDF，即可求得AE+AF=AE+BE=a，然后根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AH=（AE+AF-EF）=（a-b）；，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出△AEF的內(nèi)切圓半徑．【詳解】解：如圖1，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，由切線長(zhǎng)定理可得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，∴AD=AE=[（AB+AC）-（BD+CE）]=[（AB+AC）-（BF+CF）]=（AB+AC-BC），如圖2，∵△ABC，△DEF都為正三角形，∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°，∠1=∠3；在△AEF和△CFD中，，∴△AEF≌△CFD（AAS）；同理可證：△AEF≌△CFD≌△BDE；∴BE=AF，即AE+AF=AE+BE=a．設(shè)M是△AEF的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AE于H，則根據(jù)圖1的結(jié)論得：AH=（AE+AF-EF）=（a-b）；∵M(jìn)A平分∠BAC，∴∠HAM=30°；∴HM=AH?tan30°=（a-b）?=故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，圓的切線長(zhǎng)定理，根據(jù)已知得出AH的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．10．（2024·甘肅金昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)F，由勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)得，，則和是等腰直角三角形，得，，再證明，得，則，然后由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)F，則，，∵，，∴，，∴和是等腰直角三角形，∴，，∵E為的中點(diǎn)，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為a的等邊的邊上一點(diǎn)P，作于E，Q為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連交邊于D，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，根據(jù)題意可證是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一證明，根據(jù)全等三角形判定定理可證，，進(jìn)而證明，計(jì)算求值即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，

∵，是等邊三角形，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)與判定、全等三角形判定與性質(zhì)，掌握全等三角形判定定理是解題關(guān)鍵．12．（2023浙江中考一模）如圖，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點(diǎn)O．若BO=6，PO=2，則AP的長(zhǎng)，AO的長(zhǎng)分別為．

【答案】4，．【分析】先通過(guò)條件證明△ABP≌△ACQ，得到∠ABP=∠CAQ，可證明△APO∽△BPA，得出，則AP2=OP?BP，可求出AP，設(shè)OA=x，則AB=2x，在Rt△ABE中，由AE2+BE2=AB2，得出x的值即可得解．【詳解】解：解：∵△ABC是等邊三角形∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°，AB=AC=BC，∵在△ABP和△ACQ中，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ABP=∠CAQ，∵∠APO=∠BPA，∴△APO∽△BPA，∴，∴AP2=OP?BP，∵BO=6，PO=2，∴BP=8，∴AP2=2×8=16，∴AP=4，∵∠BAC=60°，∴∠BAQ+∠CAQ=60°，∴∠BAQ+∠ABP=60°，∵∠BOQ=∠BAQ+ABP，∴∠BOQ=60°，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OQ于點(diǎn)E，∴∠OBE=30°，

∵OB=6，∴OE=3，BE=3，∵，設(shè)OA=x，則AB=2x，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，∴(x+3)2+(3)2＝(2x)2，解得：x=或x=1-（舍去），∴AO=1+．故答案為：4，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（23-24八年級(jí)上·上海浦東新·期末）如圖，在等邊的，上各取一點(diǎn)D，E，使，，相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作直線的垂線，垂足為H．若，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】首先用證，由全等三角形的性質(zhì)可得，可證，由含30°直角三角形的性質(zhì)可得，過(guò)點(diǎn)A作于F，結(jié)合已知條件利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出，，然后根據(jù)三角形的面積相等求出，進(jìn)而求出．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，在和中，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，，∵，∴，，如圖，過(guò)點(diǎn)A作于F，

∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及含的直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)，作出輔助線，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題.14．（2023·遼寧鞍山·一模）如圖，在三角形中，，，，與相交于點(diǎn)F，若，則E到的距離為．【答案】【分析】證明出是等邊三角形，再結(jié)合條件證明，得出，接著證明出，得到，利用對(duì)頂角得到，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于于點(diǎn)，在中求解即可．【詳解】解：，，是等邊三角形，，，，，，，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于于點(diǎn)，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解．15．（23-24九年級(jí)下·河南商丘·階段練習(xí)）【問(wèn)題提出】數(shù)學(xué)課上，老師給出了這樣一道題目：如圖1，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別在，邊上，，交于點(diǎn)，且．（1）線段，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，的度數(shù)為_(kāi)_____．【類(lèi)比探究】老師繼續(xù)提出問(wèn)題，若改變的形狀，（1）中的結(jié)論是否仍然成立呢？同學(xué)們根據(jù)老師的提問(wèn)畫(huà)出圖形，如圖2，是等腰直角三角形，，點(diǎn)，分別在，邊上，，交于點(diǎn)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，想要類(lèi)比（1）中的探究過(guò)程得出結(jié)論，還需要確定線段，的數(shù)量關(guān)系．（2）請(qǐng)先將條件補(bǔ)充完整：線段，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；再根據(jù)圖2寫(xiě)出線段，的數(shù)量關(guān)系和的度數(shù)，并說(shuō)明理由．【拓展探究】（3）如圖3，是等腰直角三角形，，若點(diǎn)沿邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，直線，交于點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿邊從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（與點(diǎn)重合）時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中長(zhǎng)的最大值和最小值．【答案】（1），60°；（2）；，，理由見(jiàn)解析；（3）8，【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解；（2）證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）由題意，可知點(diǎn)在以為弦．所對(duì)圓心角為90°的上，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)取得最大值，利用勾股定理以及線段的和差即可求解．【詳解】解：（1）解：∵是等邊三角形∴，又∵，∴，∴，，∴故答案為：，60°．

（2）線段，的數(shù)量關(guān)系為：；

，．

理由如下：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，即．∴．∴，，即．∴．

（3）長(zhǎng)的最小值為，最大值為．由題意，可知點(diǎn)在以為弦．所對(duì)圓心角為90°的上（，則，劣弧AB所對(duì)的圓周角是）．如解圖1所示，．∵，∴．連接．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，如解圖1所示，此時(shí)．∴．∴長(zhǎng)的最小值為．當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)取得最大值．如解圖2所示，由（2），知．∴長(zhǎng)的最大值為8．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，熟練掌握綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江杭州·二模）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，連結(jié)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，若時(shí)，①求的值；②設(shè)的面積為，四邊形的面積為，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）①證出，即點(diǎn)恰好落在以為直徑的圓上，點(diǎn)也落在以為直徑的圓上，得出．連接，則，，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；②證出．過(guò)點(diǎn)作，得出，．則．即可得出答案．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，．，．在和中，，；（2）解：①由（1）知：，．．．．、、、四點(diǎn)共圓．，，即點(diǎn)恰好落在以為直徑的圓上，點(diǎn)也落在以為直徑的圓上，，．連接，則，，．，．②如圖，連接，設(shè)．，．．，．．過(guò)點(diǎn)作，，．．，即．．．．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，圓的有關(guān)性質(zhì)等，熟練掌握有關(guān)的性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．17．（23-24九年級(jí)下·上海寶山·階段練習(xí)）如圖（1），已知是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上，且．(1)試說(shuō)明是等邊三角形的理由．(2)分別連接與相交于O點(diǎn)（如圖（2）），求的大?。?3)將繞F點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到圖（3），與平行嗎？說(shuō)明理由．【答案】(1)理由見(jiàn)解析(2)(3)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)和可證明，根據(jù)等式的性質(zhì)得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求證為正三角形；（2）根據(jù)為正三角形易得，，根據(jù)，得到，可證，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解；（3）設(shè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交于G，易證，可得，結(jié)合，得到，，即可證得．【詳解】（1）∵為正三角形，∴，∵，，∴∴∴，∴∴為正三角形；（2）∵為正三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3），理由如下：設(shè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交于點(diǎn)G，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，相似三角形的判定方法有①兩角對(duì)應(yīng)相等，②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，③三邊對(duì)應(yīng)成比例．18．（23-24八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）中，點(diǎn)D是邊中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線交邊于點(diǎn)M，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，證明是等邊三角形，得到，證明得到，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，同理，證明是等腰直角三角形，得到，證明得到，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，如圖①，∴，，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵D是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，如圖②，∴，，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵D是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴．19．（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)，滿足．(1)求證：；(2)設(shè)的長(zhǎng)為x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述的面積隨的增大如何變化．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而增大【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可得出，，，從而即可證明；（2）分別過(guò)點(diǎn)C、F作，，垂足分別為點(diǎn)H、G，根據(jù)銳角三角函數(shù)和三角形面積公式可求出；設(shè)的長(zhǎng)為x，則，，可求出，結(jié)合（1）可求出，最后根據(jù)求解即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴，．∵，∴，即，∴；（2）解：分別過(guò)點(diǎn)C、F作，，垂足分別為點(diǎn)H、G，如圖，在等邊中，，，∴，∴．設(shè)的長(zhǎng)為x，則，，∴，∴．由（1）同理可證，∴，∵的面積為y，，∴；（3）解：∵，∴，該拋物線對(duì)稱軸為，∴該拋物線開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增，即當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，的面積隨的增大而增大．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用及其性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（23-24山東八年級(jí)上期中）問(wèn)題背景：課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：①如圖（1），在正△ABC中，M、N分別是AC、AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝60°，則BM＝CN；②如圖（2），在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝90°，則BM＝CN．然后運(yùn)用類(lèi)似的思想提出了如下命題：③如圖（3），在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若∠BON＝108°，則BM＝CN．任務(wù)要求：（1）請(qǐng)你從①②③三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索；①在正n（n≥3）邊形ABCDEF…中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，試問(wèn)當(dāng)∠BON等于多少度時(shí)，結(jié)論BM＝CN成立（不要求證明）；②如圖（4），在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，∠BON＝108°時(shí)，試問(wèn)結(jié)論BM＝CN是否成立．若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）選①或②或③，證明見(jiàn)詳解；（2）①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；②當(dāng)時(shí)，還成立，證明見(jiàn)詳解．【分析】（1）命題①，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及各角之間的等量代換可得：，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性質(zhì)即可證明；命題②，根據(jù)正方形的性質(zhì)及各角之間的等量代換可得：，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性質(zhì)即可證明；命題③，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)及各角之間的等量代換可得：，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）①根據(jù)（1）中三個(gè)命題的結(jié)果，得出相應(yīng)規(guī)律，即可得解；②連接BD、CE，根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)可得：，，，，利用各角之間的關(guān)系及等量代換可得：，，繼續(xù)利用全等三角形的判定定理和性質(zhì)即可得出證明．【詳解】解：（1）如選命題①，證明：如圖所示：∵

，∴

，∵

，∴，在與中，，∴，∴

；如選命題②，證明：如圖所示：∵

，∴

，∵，∴，在與中，，∴，∴

；如選命題③，證明：如圖所示：∵

，∴

，∵

，∴

，在與中，，∴，∴

；（2）①根據(jù)（1）中規(guī)律可得：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；②答：當(dāng)時(shí)，成立．證明：如圖所示，連接BD、CE，在和中，，∴，∴，，，∵

，∴

，∵

，．∴

，又∵

，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定定理和性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，理解題意，結(jié)合相應(yīng)圖形證明是解題關(guān)鍵．21．（23-24九年級(jí)·四川綿陽(yáng)·期末）小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材的一個(gè)習(xí)題做如下探究：【習(xí)題回顧】：如圖，在等邊三角形的邊上各取一點(diǎn)P，Q使，AQ，BP相交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．請(qǐng)你解答該習(xí)題．【拓展延伸】：（1）如圖1，在等腰的邊上各取一點(diǎn)P，Q，使，平分，，，求的長(zhǎng)．小明的思路：過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明，…（2）如圖2，在的邊上各取一點(diǎn)P、Q，使，平分，，，求的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你解答小明提出的問(wèn)題．【答案】習(xí)題回顧：；拓展延伸（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】習(xí)題回顧：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，得到．再由三角形外角的性質(zhì)可得；拓展延伸（1）過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，由角平分線的定義推出，進(jìn)而推出，由此即可證明；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作于H，過(guò)點(diǎn)A作于T，設(shè)，則，由角平分線的性質(zhì)得到，利用等面積法求出，則；再利用等面積法求出，則，進(jìn)而求出，則，則．【詳解】解：習(xí)題回顧：∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴．∵，∴；拓展延伸：（1）過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作于H，過(guò)點(diǎn)A作于T，設(shè)，∵，∴，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（23-24八年級(jí)上·福建福州·階段練習(xí)）如圖：是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)、不重合），點(diǎn)同時(shí)以點(diǎn)相同的速度，由點(diǎn)向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

(1)若設(shè)的長(zhǎng)為，則______，______；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)不變，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系即可求解；（2）易得，由含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，解之，即可求得的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，可證得，進(jìn)而證得，于是，，據(jù)此可推出，然后可證得四邊形是平行四邊形，于是可得．【詳解】（1）解：是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，設(shè)，則,點(diǎn)，速度相同，，，故答案為：，；（2）解：，，，，，解得：，；（3）解：線段的長(zhǎng)不變，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，

，，，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，又，，點(diǎn)，速度相同，，在和中，，，，，，即：，，且，四邊形是平行四邊形，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，含度角的直角三角形，解一元一次方程，垂線的性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，合理添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和平行四邊形是解題的關(guān)鍵．23．（2023·河南開(kāi)封·一模）教材呈現(xiàn)：如下為華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第65頁(yè)的部分類(lèi)容．做一做：如圖，已知兩條線段和一個(gè)角，以長(zhǎng)的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對(duì)邊，畫(huà)一個(gè)三角形．把你畫(huà)的三角形與其他同學(xué)畫(huà)的三角形進(jìn)行比較，所畫(huà)的三角形都全等嗎?此時(shí)，符合條件的角形有多少種？(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，通過(guò)作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)（即“邊邊角”對(duì)應(yīng)