專題05 三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題05三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就三類雙角平分線模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角） 2模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角） 8模型3.雙角平分線模型（雙外角） 11 17模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角）雙角平分線模型1：當(dāng)這兩個(gè)角為內(nèi)角時(shí)，這夾角等于90°與第三個(gè)角的一半的和。1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BP，CP交于點(diǎn)P；結(jié)論：。證明：∵∠ABC和∠ACB的平分線BP，CP交于點(diǎn)P，∴，。∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。2）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1條件：如圖2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2∠P=∠A+∠D。證明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。3）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2條件：如圖3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：。證明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，?！唷螾=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。例1．（2023秋·安徽阜陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等，若，則．【答案】【分析】由條件可知平分和，利用三角形內(nèi)角和可求得．【詳解】解：∵點(diǎn)P到三邊的距離相等，∴平分，平分，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·山西太原·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，是內(nèi)一點(diǎn)，連接，．(1)猜想：與、、存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想．(2)若，、分別是、的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得的度數(shù)為．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，，再結(jié)合，即可得到結(jié)論；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角三等分線的定義得到，，，再代入（1）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：猜想：，證明：由題意得：，，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，、分別是、的三等分線，∴，，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角三等分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和為度是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·河南濮陽·八年級(jí)?？计谀┠Ｐ驼J(rèn)識(shí)：我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于，又知道角平分線可以把一個(gè)角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識(shí)進(jìn)行下面的探究活動(dòng)．如圖①，在中，、分別是和的角平分線．解決問題：(1)若，，則______；（直接寫出答案）(2)若，求出的度數(shù)；拓展延伸：(3)如圖②，在四邊形中，、分別是和的角平分線，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC的度數(shù)；（3）根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得∠BPC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°．∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°；故答案為：120°；（2）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB．∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+∠BAC，∵∠BAC=100°，∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°；（3）∵BP、CP分別是∠ABC和∠DCB的角平分線，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB．∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．例4．（23-24八年級(jí)·山東青島·期末）【基礎(chǔ)探究1】（1）如圖1，中，平分，平分，探求與之間的數(shù)量關(guān)系；【基礎(chǔ)探究2】（2）如圖2，中，、是的三等分線，、是的三等分線，則與之間的數(shù)量關(guān)系是______；【基礎(chǔ)探究3】（3）如圖3，中，、、是的四等分線，、、是的四等分線，則與之間的數(shù)量關(guān)系是______；【拓展與探究】（4）如圖4，中，、、……、、是的等分線，、、……、、是的等分線，請(qǐng)用一個(gè)等式表示、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是______；【探究與應(yīng)用】（5）中，、、……、是的2024等分線，、、……、是的2024等分線，若與的和是的7倍，則______．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，n等分線的定義．（1）由三角形的內(nèi)角和定理可得，由角平分線得到，，從而；（2）由三等分線可得，，從而；（3）同（2）思路即可求解；（4）同（2）（3）思路即可，，兩式相加即可解答；（5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答．【詳解】解：（1）∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴．（2）∵、是的三等分線，、是的三等分線，∴，，∴．故答案為：（3）∵、、是的四等分線，、、是的四等分線，∴，，∴．故答案為：（4）∵、、……、、是的等分線，、、……、、是的等分線，∴，，，，∴，，∴．故答案為：（5）∵、、……、是的2024等分線，、、……、是的2024等分線，∴，，，，∴，，∴，∵∴，∴，同理可得．故答案為：105模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角）雙角平分線模型2：當(dāng)這兩個(gè)角為一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角時(shí)，這夾角等于第三個(gè)角的一半。圖1圖21）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：．證明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。2）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）條件：如圖2，，∠ABC、∠ACD的平分線相交于點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)，，的平分線相交于點(diǎn)……以此類推；結(jié)論：的度數(shù)是．證明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，?！唷螾1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，平分，點(diǎn)是射線，上的點(diǎn)，連接．按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件可知平分，則可求出，根據(jù)平分求出，進(jìn)而利用即可求出答案．【詳解】由作法得平分，∴，∵平分，∴，∵，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義及作法，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)題目條件發(fā)現(xiàn)角平分線是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）問題情境：如圖1，點(diǎn)D是△ABC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝；如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝；這兩個(gè)圖中，與∠A度數(shù)的比是

；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說明理由．【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用和表示出，再根據(jù)角平分線的定義得到，，然后整理即可．（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用和表示出，再根據(jù)角平分線的定義得到，，然后整理即可．【詳解】（1）解：如圖2，是等邊三角形，，，平分，平分．，，，；如圖3，是等腰三角形，，，，平分，平分．，，，；故答案為，，；（2）解：成立，如圖1，在中，，在中，，（1）平分，平分，，，又，，（2）由（1）（2），，．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、利用三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義解答是關(guān)鍵．例3．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）∠ACD是△的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，…，的平分線與的平分線交于點(diǎn)An．設(shè)∠A＝．則＝，∠A2021＝．【答案】【分析】據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度數(shù)，同理求出∠A2，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．【詳解】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=，∴∠A1=，同理可得：∠An=，∴∠A2021=，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的是解題的關(guān)鍵．模型3.雙角平分線模型（雙外角）雙角平分線模型3：當(dāng)這兩個(gè)角為外角時(shí)，這夾角等于90°與第三個(gè)角的一半的差。 圖1圖2圖31）兩外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線；結(jié)論：．證明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，?！唷螼=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）=180°-（180°+∠A）=90°+∠A。2）旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)條件：如圖2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：AD平分∠CAD。證明：如圖3，過點(diǎn)D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,例1．（2023.廣東八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC＝．【答案】67°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，則利用鄰補(bǔ)角定義計(jì)算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根據(jù)角平分線定義得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，后再用三角形內(nèi)角和計(jì)算∠AEC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分別平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案為：67°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．在本題解題過程中，有些角單獨(dú)計(jì)算不出來，所以把兩個(gè)角的和看作一個(gè)整體計(jì)算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整體思想是解決此題的關(guān)鍵．例2．（2023·安徽宿州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）如圖（a），平分，平分.①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).②猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（2）如圖（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請(qǐng)你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.【答案】（1）①120°；②；證明見解析；（2）不正確；【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可；②結(jié)論：∠D=90°+∠A．根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）不正確．結(jié)論：∠D=90°-∠A．根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：（1）①，，，，，；②結(jié)論：．理由：，，；（2）不正確．結(jié)論：．理由：，，，.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．例3．（2023秋·貴州遵義·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1），，是的外角，的平分線所在直線與的平分線交于點(diǎn)D，與的平分線交于點(diǎn)E．(1)若，則度；(2)若，求∠E的度數(shù)；(3)在圖（1）的條件下，沿作射線，連接，如圖（2）．求證：平分．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）由角平分線的定義得到，，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，于是得到∠，由（1）知，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到；（3）過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，于點(diǎn)K，于點(diǎn)I，由角平分線的性質(zhì)可得，，，則，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：（2）∵平分，平分，∴，，∴，∴，∵，∵，∴，∴；（3）

如圖2，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，于點(diǎn)K，于點(diǎn)I，∵平分，平分，∴，，∴，∵于點(diǎn)K，于點(diǎn)I，∴平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的角平分線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·甘肅天水·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，圖1，圖2，圖3中的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，（1）如圖1，點(diǎn)O是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，猜想∠O與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（2）請(qǐng)直接寫出結(jié)果．如圖2，若，△ABC的內(nèi)角平分線與外角平分線交于點(diǎn)O，則∠O＝________；如圖3，若，△ABC的兩個(gè)外角平分線交于點(diǎn)O，則∠O＝_________．【答案】（1），證明見解析；（2）；．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到和的三個(gè)內(nèi)角的和是，對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即可；（2）圖2中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到和，最后對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即可；圖3中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到和的三個(gè)內(nèi)角的和是，最后再結(jié)合平角的性質(zhì)對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即可．【詳解】解：（1）．證明：∵平分，平分，∴，，∴．即．（2）；．如圖2所示：∵平分，平分，∴，，∴．∵∴．即．如圖3所示：∵平分，平分，∴，，∴．∵∴．即．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，特別注意等價(jià)代換的使用．1．（2023春·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交與點(diǎn)P，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定證明，得出，即可得出答案．【詳解】解：延長，作，，，設(shè)，平分，，，平分，，，，，，，，在和中，，，．故選：C．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等；，則A． B． C． D．【解答】解：到三角形三邊距離相等，是內(nèi)心，即三條角平分線交點(diǎn)，，，都是角平分線，，，，，．故選：．3．（2023秋·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，E為BC延長線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D等于（

）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，，則，利用等式的性質(zhì)得到，然后把的度數(shù)代入計(jì)算即可．【詳解】解答：解：∵的平分線與的平分線交于點(diǎn)D，∴，，∵，即，∴，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進(jìn)行分析是解題關(guān)鍵．4．（2023春·廣東·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接OB、OC，將∠ABO、∠ACO分別記為∠1、∠2，則∠1、∠2、∠A、∠O四個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是（

）A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D【分析】連接AO并延長，交BC于點(diǎn)D，由三角形外角的性質(zhì)可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把兩式相加即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接AO并延長，交BC于點(diǎn)D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．5.（2023.廣東七年級(jí)期中）在四邊形中，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵在四邊形中，，，∴，∵的平分線與的平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，在中，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，掌握以上知識(shí)及角度的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，是邊上的高，延長與外角的平分線交于點(diǎn)．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由三角形的角平分線的含義可判斷①，由三角形的高的含義可判斷②，證明，，，，可判斷③，由，，可得，從而可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：∵是角平分線，∴，故①符合題意；∵是邊上的高，∴，故②符合題意；∵是角平分線，平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故③不符合題意；∵，，∴，故④符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的角平分線與高的含義，三角形的外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．7．（2023·遼寧營口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，…，∠An﹣1BC的平分線與∠An﹣1CD的平分線交于點(diǎn)An．設(shè)∠A=．則：（1）∠A1=；（2）∠An=．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分線，A2B是∠A1BC的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD．又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1．∴∠A1=∠A．∵∠A=，∴∠A1=．（2）同理可得∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，···，∴∠An=．8．（2023春·成都市七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點(diǎn)E，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④，正確的是．（把所有正確的結(jié)論的序號(hào)寫在橫線上）

【答案】①④【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判斷．【詳解】∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE?∠DBE＝（∠ACD?∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?∠1）＝90°＋∠1，故②、③錯(cuò)誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正確；故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及角平分線的定義．9．（2023秋·安徽阜陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等，若，則．【答案】/68度【分析】由條件可知平分和，利用三角形內(nèi)角和可求得．【詳解】解：∵點(diǎn)P到三邊的距離相等，∴平分，平分，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)M，作的延長線得到射線，作射線，有下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③射線是的角平分線；④．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】由角平分線的定義可知．再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，即可確定，故①正確；過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，由角平分線的性質(zhì)定理可得出．即易證，得出，即說明射線是的角平分線，故③正確；利用反證法，假設(shè)，易證，即得出．由，可知，即說明不成立，故②錯(cuò)誤；由，即得出．再根據(jù)角平分線的定義即得出，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論，可判斷④正確．【詳解】解：∵為的平分線，∴．∵，∴，∴，故①正確；如圖，過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，∵為的平分線，為的平分線，∴．又∵，∴，∴，即射線是的角平分線，故③正確；假設(shè)，∴．∵為的平分線，是的角平分線，∴，，∴，即，∴，即．∵，∴，∴假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤；∵，∴．∵，∴，∴，∴④正確．綜上可知所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和的應(yīng)用等知識(shí)．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．11．（2023春·河南鄭州·七年級(jí)校考期末）如圖，已知在中，．(1)分別作，的平分線，它們交于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．(3)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)要求作出已知角的角平分線即可；（2）利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線求出，可得結(jié)論；（3）利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線求出，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：圖形如圖所示：（2），平分，平分，，．故答案為：；（3），平分，平分，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—簡單作圖，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．12．（2023·成都市·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，線段、分別平分、交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)N在延長線上，連接交于點(diǎn)，使，若，，求線段的長．

【答案】(1)(2)見解析(3)5【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平分、平分，得出，，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，即可求出結(jié)果；（2）作平分交于點(diǎn)，證明，得出，證明，得出，即可證明結(jié)論；（3）作交延長線于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明平分，根據(jù)，，得出，根據(jù)平分，，，得出，證明，證明，得出，證明，得出，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)，，得出，求出即可得出答案．【詳解】（1）解：在中，，∵∴，∵平分、平分，∴，，∴，在中，，∴．（2）解：作平分交于點(diǎn)，如圖所示：∴，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）作交延長線于點(diǎn)，作交延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴平分，∵，，∴，∵平分，，，∴，∴，∴平分，∵，∴，∴，由（1）得，∴，∵，，，∴，∵，∴，由（2）得，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵，∴，，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．13．（2023秋·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，是，平分線的交點(diǎn)．(1)；(2)若是兩條外角平分線的交點(diǎn)，則

；(3)在（2）的條件下，若是內(nèi)角和外角的平分線的交點(diǎn)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可求得，據(jù)此即可求得答案．（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可求得的值，根據(jù)角平分線的定義可求得，據(jù)此即可求得答案．（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)可求得，結(jié)合即可求得答案．【詳解】（1）∵，，∴．∵是的平分線，∴．∵是的平分線，∴．∴．∴．故答案為：．（2）∵是的外角，∴．∵是的外角，∴．∴．∵是的平分線，∴．∵是的平分線，∴．∴．∴．故答案為：．（3），理由如下：∵是的平分線，∴．∵是的外角，∴．∵是的平分線，∴．∵是的外角，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，牢記三角形的外角的性質(zhì)（三角形的一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·湖北十堰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，理解并掌握其中的規(guī)律，有助于同學(xué)們鞏固相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖1，中，分別平分，且相交于點(diǎn)“勤奮小組”的同學(xué)發(fā)現(xiàn):．證明過程如下:

證明:如圖2，連接并延長，

則(依據(jù)1)與分別平分又，(依據(jù)2)．依據(jù)1是___，依據(jù)2是__；如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，作的角平分線交于點(diǎn)試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的內(nèi)角和等于；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）連接并延長，交于點(diǎn)根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)、等量代換和三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可得；由三角形的內(nèi)角和等于可得故答案為：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；三角形的內(nèi)角和等于；（2）如圖，連接并延長，交于點(diǎn)

是的平分線，同理【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義是解決此題的關(guān)鍵．15．（2023秋·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）【情境引入】如圖1，，分別是的內(nèi)角，的平分線，說明的理由．（2）【深入探究】①如圖2，，分別是的兩個(gè)外角，的平分線，與之間的等量關(guān)系是_________；②如圖3，，分別是的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線．，交于點(diǎn)D，探究與之間的等量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】請(qǐng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在中，，分別平分，．M，N，Q分別在，，的延長線上，，分別平分，，，分別平分，．若，則的度數(shù)是________．【答案】（1）見解析；（2）①；②，見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)，分別是，的平分線，可得，再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）①根據(jù)，分別是的兩個(gè)外角，的平分線，可得．再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解；②根據(jù)，分別是的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解；（3）由（1）可得，由三角形內(nèi)角和定理，可得，再由，分別平分，，可得，再由（2）②可得，即可求解．【詳解】解：（1）∵，分別是，的平分線，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）①與之間的考量關(guān)系是：，理由如下：∵，分別是的兩個(gè)外角，的平分線，∴，．∴，，，，∴，∴．∵，∴．∴，∴．故答案為：；②與之間的等量關(guān)系是：，理由如下：∵，分別是的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，，，∴，∴，∴．（3）由（1）得：，∵，∴，∴，∴，∵，分別平分，，∴，∴，由（2）②得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，有關(guān)角平分線的證明，解題的關(guān)鍵是熟記三角形外角性質(zhì)，內(nèi)角和定理．16．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)?？计谥校?）如圖1，BO、CO分別是中和的平分線，則與的關(guān)系是______（直接寫出結(jié)論）；（2）如圖2，BO、CO分別是兩個(gè)外角和的平分線，則與的關(guān)系是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論．（3）如圖3，BO、CO分別是一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，則與的關(guān)系是______，請(qǐng)證明你的結(jié)論．（4）利用以上結(jié)論完成以下問題：如圖4，已知：，點(diǎn)A、B分別是射線OF、OD上的動(dòng)點(diǎn)，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線相交于點(diǎn)P，猜想的大小是否變化？請(qǐng)證明你的猜想．【答案】（1）；（2）．證明見解析；（3）；證明見解析；（4）的大小不會(huì)變化始終為45°，證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)BO、CO分別平分∠ABC與∠ACB求出∠1+∠2的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOC的度數(shù)；（2）由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可證2∠1+2∠2＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證2∠BOC＝180°﹣∠A，即∠BOC＝90°﹣∠A；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）利用（3）中的解題思路證得∠P的大小不會(huì)變化始終為45°．【詳解】（1）．理由如下：如圖1，∵，BO、CO分別是、的角平分線，∴，∴；答案：；（2）．證明：如圖2，∵BO平分，∴．同理可證：．∴，∵，，∴，∴；故答案是：；（3）；證明：∵CO平分，BO平分∴∵是的外角∴∵是的外角∴∴；故答案是：；（4）的大小沒有變化．證明：∵的外角的平分線與內(nèi)角的平分線相交于點(diǎn)P，∴，，∵是的外角，∴，∵是的外角，∴，∴；∵∴∴的大小不會(huì)變化始終為45°．17．（2023·天津河西·八年級(jí)期中）探究一：已知：如圖1，與分別為的兩個(gè)外角．試探究與的數(shù)量關(guān)系_____(即列出一個(gè)含有，，的等式，直接寫出答案即可)；探究二：已知：如圖2，在中，分別平分和，求：與的數(shù)量關(guān)系；探究三：若將探究2中的改為任意四邊形呢？即：如圖3，在四邊形中，分別平分和，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究與的數(shù)量關(guān)系．【答案】探究一：；探究二：；探究三：【分析】探究一：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；探究二：根據(jù)角平分線的定義可得，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出，然后同理探究二解答即可．【詳解】解：探究一：∵，，∴；故答案為：；探究二：∵分別平分和，∴，，∴；探究三：∵分別平分和，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決問題．18．（2023·山東濟(jì)南·?？寄M預(yù)測）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)AE+CD=AC，證明見解析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，證△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MK=ML，據(jù)此計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；（2）解：AE+CD=AC，證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，則在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MO