專(zhuān)題11 圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型解讀與提分精練（北師大版）

專(zhuān)題11圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問(wèn)題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問(wèn)題往往以動(dòng)點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問(wèn)題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來(lái)求解。實(shí)際上，這樣的問(wèn)題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對(duì)其中的動(dòng)點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來(lái)探究最值情形。而軌跡問(wèn)題是近些年中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長(zhǎng)結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.米勒最大張角（視角）模型 1模型2.定角定高模型（探照燈模型） 8 17模型1.米勒最大張角（視角）模型已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？對(duì)米勒問(wèn)題在初中最值的考察過(guò)程中，也成為最大張角或最大視角問(wèn)題。米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大。如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問(wèn)題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長(zhǎng)度，從而使問(wèn)題順利解決。否則這類(lèi)問(wèn)題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時(shí)化力。例1．（23-24九年級(jí)上·河北滄州·期末）如圖，甲、乙、丙三名同學(xué)比賽定點(diǎn)射門(mén)，PQ是球門(mén)，且甲、乙、丙三名同學(xué)位于以點(diǎn)O為圓心的同一圓弧上，僅從射門(mén)角度考慮的話，進(jìn)球概率最大的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．三名同學(xué)一樣大例2．（24-25九年級(jí)上·廣東·期中）如圖，某雕塑位于河段上，游客在步道上由點(diǎn)出發(fā)沿方向行走．已知，，當(dāng)觀景視角最大時(shí)，游客行走的距離是多少米？

例3．（23-24九年級(jí)上·北京房山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點(diǎn)．已知點(diǎn)，，是的外接圓．（1）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（2）若最大時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．例4．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·期中）【問(wèn)題提出】當(dāng)你進(jìn)入博物館的展覽廳時(shí)，你知道站在何處觀賞最理想？【數(shù)學(xué)眼光】如圖①，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)A距離地面a米，最低處點(diǎn)B距離地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)C距離地面m米，當(dāng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓與過(guò)點(diǎn)C的水平線相切于點(diǎn)C時(shí)，視角最大，站在此處觀賞最理想．【數(shù)學(xué)思維】小明同學(xué)想這是為什么呢？如圖②，他在過(guò)點(diǎn)C的水平線上任取異于點(diǎn)C的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)D，連接，．（1）按照小明的思路完成證明過(guò)程；【問(wèn)題解決】（2）如圖③，若墻壁上的展品最高處的點(diǎn)A距地面3米，最低處的點(diǎn)B距地面米，最大視角為，求此時(shí)觀賞者站在距墻壁多遠(yuǎn)的地方最理想，并求出觀賞者的眼睛點(diǎn)C與地面的距離？（3）如圖③，設(shè)墻壁上的展品最高處的點(diǎn)A距地面a米，最低處的點(diǎn)B距地面b米，觀賞者的眼睛點(diǎn)C距地面m米，直接寫(xiě)出最佳觀賞距離的長(zhǎng)．（用含a，b，m的代數(shù)式表示）例5．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A?2,0、B4,0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在軸下方的拋物線上任取一點(diǎn)，射線、分別與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求的面積；(3)點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高AD），∠BAC為定角，則BC有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢?，所以也叫探照燈模型。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時(shí)，BC的長(zhǎng)最小；△ABC的面積最小；△ABC的周長(zhǎng)最小。證明：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOH=∠BAC=；∴BC=2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。∵OA+OH≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，H三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立），∴r+rcos≥h，即，當(dāng)取等號(hào)時(shí)r有最小值；∴，當(dāng)取等號(hào)時(shí)BC有最小值；∴，當(dāng)取等號(hào)時(shí)△ABC有最小值；∴，當(dāng)取等號(hào)時(shí)△ABC有最小值。例1．（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線l的距離是4，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且cos∠AOB=，則線段AB的長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C．3 D．4例2．（2023·陜西渭南·二模）如圖，在中，，邊上的高為4，則周長(zhǎng)的最小值為．

例3.（23-24浙江·九年級(jí)?？计谥校榱擞有履甑牡絹?lái)某市舉辦了迎新年大型燈光秀表演。其中一個(gè)鐳射燈距地面30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖：若將兩根光線(AB、AC)和光線與地面的兩交點(diǎn)的連接的線段(BC)看作一個(gè)三角形，記為△ABC，三角形面積的最小值為_(kāi)______平方米，其周長(zhǎng)最小值為_(kāi)______米。例4.（23-24·重慶·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，則△AEF面積的最小值為_(kāi)_______.例5．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）【場(chǎng)景發(fā)現(xiàn)】小明晚上經(jīng)過(guò)河邊時(shí)，發(fā)現(xiàn)探照燈的照射光線都不是垂直于河邊，而是有一個(gè)角度，為了尋找原因，小明將這一場(chǎng)景進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象化如圖所示，【模型遷移】在一個(gè)矩形院子安裝一個(gè)攝像頭，攝像頭的監(jiān)控角度為，若將攝像頭安裝在墻的處，，是攝像頭與墻壁的交點(diǎn)，如圖圖所示，陰影部分為攝像頭的盲區(qū)．

(1)假設(shè)探照燈的有效照射角度為，河寬米，米的時(shí)候照射的面積最小，最小值為；(2)若米，米，在線段是否存在點(diǎn)，當(dāng)攝像頭在點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，攝像頭的盲區(qū)不變，若存在，等于多少，攝像頭的盲區(qū)面積為多少？(3)在南北走向的馬路上，工作人員要安裝一個(gè)攝像角度為的攝像頭，正好可以監(jiān)控到整面墻面，以墻面的中點(diǎn)為為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，，馬路距離墻面的最小距離為，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的攝像頭的坐標(biāo)．例6．（2024·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題提出】（1）如圖1，是等腰直角三角形，，可得到，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，則的值是；【問(wèn)題探究】（2）如圖2，O為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上任一點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)N，若，，求四邊形面積的最大值；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，是西安市紡渭路的一部分，因燃?xì)夤艿罁屝蓿柙诿?，米的矩形平面開(kāi)挖一個(gè)的工作面，其中E、F分別在直線、直線上，且，為緩解該路段對(duì)市民正常生活和出行影響，經(jīng)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)的面積越小越好，求出的面積最小值．1．（2023·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線l的距離是4，點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且cos∠AOB=，則線段AB的長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C．3 D．42．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求的值．3．（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時(shí)，則BP=．4.（2023·山東·九年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD與BC之間的距離為2，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，且∠BEC=45°，則四邊形ABCD面積的最小值為。5．（2024九年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，邊上的高，則周長(zhǎng)的最小值為．6．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖1，在中，，，定長(zhǎng)線段的端點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，連接．設(shè)，，y與x之間的函數(shù)關(guān)系的部分圖象如圖2所示（最高點(diǎn)為），當(dāng)時(shí)，最大，則a的值為．7．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，墻壁上的展品最高點(diǎn)與地面的距離，最低點(diǎn)與地面的距離，觀賞者的眼睛E距地面，經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)水平視線與過(guò)P、Q、E三點(diǎn)的圓相切于點(diǎn)E時(shí)，視角最大，站在此處觀賞最理想，求此時(shí)點(diǎn)E到墻壁的距離．8．（2024九年級(jí)上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）某兒童游樂(lè)場(chǎng)的平面圖如圖所示，場(chǎng)所工作人員想在邊上的點(diǎn)P處安裝監(jiān)控裝置，用來(lái)監(jiān)控邊上的段，為了讓監(jiān)控效果更佳，必須要求最大，已知：，米，米，問(wèn)在邊上是否存在一點(diǎn)P，使得最大？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng)和的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）【生活問(wèn)題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線接近球門(mén)，他在哪里射門(mén)時(shí)射門(mén)角度最大？【操作感知】小米和小勒在研究球員P對(duì)球門(mén)的張角時(shí)，在上取一點(diǎn)Q，過(guò)A、B、Q三點(diǎn)作圓，發(fā)現(xiàn)直線與該圓相交或相切．如果直線與該圓相交，如圖1，那么球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小______：（填序號(hào)）①逐漸變大；②逐漸變小；③先變大后變?。虎芟茸冃『笞兇蟆静孪腧?yàn)證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線與該圓相切于點(diǎn)Q，那么球員P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)Q時(shí)最大，如圖2，試證明他們的發(fā)現(xiàn)．【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，某球員P沿垂直于方向的路線帶球，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在上找出球員P的位置，使最大．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）10．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）足球射門(mén)時(shí)，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門(mén)AB的張角越大，射門(mén)越好．當(dāng)張角達(dá)到最大值時(shí)，我們稱(chēng)該射點(diǎn)為最佳射門(mén)點(diǎn)．通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，運(yùn)動(dòng)員帶球在直線CD上行進(jìn)時(shí)，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得（此時(shí)也有）時(shí)，恰好能使球門(mén)AB的張角達(dá)到最大值，故可以稱(chēng)點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門(mén)點(diǎn)．(1)如圖2所示，AB為球門(mén)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員帶球沿CD行進(jìn)時(shí)，，，為其中的三個(gè)射門(mén)點(diǎn)，則在這三個(gè)射門(mén)點(diǎn)中，最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)______；(2)如圖3所示，是一個(gè)矩形形狀的足球場(chǎng)，AB為球門(mén)，于點(diǎn)D，，．某球員沿CD向球門(mén)AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門(mén)點(diǎn)為點(diǎn)Q．①用含a的代數(shù)式表示DQ的長(zhǎng)度并求出的值；②已知對(duì)方守門(mén)員伸開(kāi)雙臂后，可成功防守的范圍為，若此時(shí)守門(mén)員站在張角內(nèi)，雙臂張開(kāi)MN垂直于AQ進(jìn)行防守，求MN中點(diǎn)與AB的距離至少為多少時(shí)才能確保防守成功．（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）11．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(在的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求、、的坐標(biāo)及的值；(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線交于、，若，求直線的解析式；(3)過(guò)點(diǎn)作直線，為直線上的一動(dòng)點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使的值最大？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2024九年級(jí)下·上?！?zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，是的弦，直線l上有兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在上，則、、的大小關(guān)系為_(kāi)_________＜__________＜__________；（2）如圖②，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、C．點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)且，為x軸上一條可移動(dòng)的線段，，連接，點(diǎn)P為直線l上任意一點(diǎn)，連接．求當(dāng)最小時(shí)，的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．13．（2023·廣東深圳·三模）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，就是“危險(xiǎn)角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？【解決問(wèn)題】(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【問(wèn)題探究】(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過(guò)A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接，請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題拓展】(3)一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4，他在點(diǎn)P處接到球后，沿方向帶球跑動(dòng)，球門(mén)米，米，米，，．該球員在射門(mén)角度（）最大時(shí)射門(mén)，球員在上的何處射門(mén)？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度．）

14．（2024·陜西·二模）（1）如圖1，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B，C均在直線l上，于點(diǎn)D，且，，求的最小值；（2）如圖2，某公園有一塊四邊形空地，園區(qū)管理人員計(jì)劃將該空地進(jìn)行劃分，種植不同的花卉，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，，將其分為三個(gè)區(qū)域．已知，，，若保持，試求四邊形面積的最大值．15．（2024·廣東深圳·二模）【問(wèn)題提出】(1)如圖1，在邊長(zhǎng)為的等邊中，點(diǎn)在邊上，，連接，則的面積為_(kāi)___【問(wèn)題探究】(2)如圖2，已知在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，若，求的面積；【問(wèn)題解決】(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來(lái)水搶修，需要在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開(kāi)挖一個(gè)的工作面，其中、分別在、邊上不與點(diǎn)、、重合，且，為了減少對(duì)該路段的交通擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個(gè)面積最小的若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心到弦的距離為4，若的半徑為7，則上