專題12 三角形中的重要模型之面積模型解讀與提分精練（全國）

專題12三角形中的重要模型之面積模型三角形的面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學(xué)幾何里面一個非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三角形中的等積模型（蝴蝶（風(fēng)箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.等積變換基礎(chǔ)模型 1模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型 9模型3.燕尾（定理）模型 13模型4.鳥頭定理（共角定理）模型 18模型5.金字塔與沙漏模型 23 27模型1.等積變換基礎(chǔ)模型模型1）等底等高的兩個三角形面積相等；如圖1，當//，則；反之，如果，則可知直線//。圖1圖2圖3模型2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。如圖2，當點D是BC邊上的動點時，則S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，當點D是BC邊上的動點，BE⊥AD，CF⊥AD時，則S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。證明：模型1）如圖1，過點A作AE⊥CD、過點B作BF⊥CD?！?/，∴AE=BF?！?；；∴。反之同理可證。模型2）如圖2，過點A作AH⊥BC。∵；；∴S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如圖3，過點C作CF⊥AD、過點B作BE⊥AD?！撸?；∴S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。例1．（24-25八年級上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，若點D是邊上的點，且，則與的面積之比為（）A． B． C． D．例2．（23-24八年級下·河北滄州·期中）如圖，，分別是的邊AB，CD上的點，與DE相交于點，與CE相交于點，若的面積為，的面積為，的面積為，則陰影部是的面積為．例3．（2024·上海浦東新·一模）如圖，在中為中點，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則．例4．（23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【探究】如圖1，是中邊上的中線，與的面積相等嗎？請說明理由，【應(yīng)用】如圖2，點A、B、C分別是、、的中點，且，則圖2中陰影部分的面積為；【拓展】（1）如圖3，中，延長至點F，使得，延長至點D，使得，延長至點E，使得，連接、、，如果，那么為．（2）如圖4，中，，，點D、E是、邊上的中點，、交于點F．若的面積為S，則四邊形面積為（用含S的代數(shù)式表示）；四邊形的面積存在最大值，這個值為．例5．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）規(guī)律：如圖1，直線，，為直線上的點，，為直線上的點．如果，，為三個定點，點在直線上移動，那么無論點移動到何位置，與的面積始終相等，其理由是___．應(yīng)用：（1）如圖，、、三點在同一條直線上，與都是等邊三角形，連結(jié)，．若，，求的面積．（2）如圖，已知，，，是矩形邊上的點，且，，連結(jié)交于點，連結(jié)MC交于點，連結(jié)交于點，連結(jié)，若四邊形的面積等于，求四邊形的面積．模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。1）任意四邊形的蝴蝶定理：如圖1，結(jié)論：①或；②。證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；即故；即。由基礎(chǔ)模型2）知：；即。2）梯形蝴蝶定理：如圖2，結(jié)論：①；②。證明：∵四邊形ABCD為梯形，∴AD//BC，∴易證，∴。同理可證得：。例1．（23-24八年級上·浙江·階段練習(xí)）如圖，任意四邊形中，和相交于點O，把、、、的面積分別記作、、、，則下列各式成立的是（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年級上·上海松江·期中）如圖，已知在梯形中，，，如果對角線與相交于點O，、、、的面積分別記作、、、，那么下列結(jié)論中，不正確的是（）A． B． C． D．例3．（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，梯形的兩條對角線與兩底所圍成的兩個三角形的面積分別為，則梯形的面積為．例4．（2024·山西·?？家荒＃╅喿x與探究請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：凸四邊形的性質(zhì)研究如果把某個四邊形的任何一邊向兩端延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的圖形，它有一個非常有趣的性質(zhì):任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等．例如，在圖1中，凸四邊形的對角線，相交于點，且，，，，的面積分別為，則有，證明過程如下：任務(wù)：（1）請將材料中的證明過程補充完整；（2）如圖2，任意凸四邊形的對角線相交于點，分別記，，，的面積為，求證；（3）如圖3，在四邊形中，對角線相交于點，，，，則四邊形的面積為____________．

模型3.燕尾（定理）模型條件：如圖，在中，E分別是上的點，在上一點。結(jié)論：S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。證明：由基礎(chǔ)模型2）知：；；故；即S1S2S3S4（S1+S3）（S2+S4）BEEC。例1．（23-24七年級下·江蘇宿遷·期末）（數(shù)學(xué)經(jīng)驗）三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分．（經(jīng)驗發(fā)展）（1）面積比和線段比的聯(lián)系：如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比，如圖1，的邊上有一點，請證明：；（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖2，的面積為1，，求的面積；（拓展延伸）（3）如圖3，的邊上有一點，為上任意一點，請利用上述結(jié)論，證明：；（遷移應(yīng)用）（4）如圖4，中，M是的三等分點，N是的中點，若的面積是1，請直接寫出四邊形的面積：．例2．（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）【問題情境】如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．因為高相同，所以，于是．據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．(1)【深入探究】如圖2，點D在的邊上，點P在上．若是的中線，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．若，則：______．(2)【拓展延伸】如圖3，分別延長四邊形的各邊，使得A，B，C，D分別為的中點，依次連接E，F(xiàn)，G，H得四邊形．直接寫出，與之間的等量關(guān)系；_______．例3．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）已知是ΔABC的邊上一點，連結(jié)，此時有結(jié)論，請解答下列問題：（1）當是邊上的中點時，的面積的面積（填“>”“<”或“=”）．（2）如圖1，點分別為邊上的點，連結(jié)交于點，若、、的面積分別為5，8，10，則的面積是（直接寫出結(jié)論）．（3）如圖2，若點分別是ΔABC的邊上的中點，且，求四邊形的面積．可以用如下方法：連結(jié)，由得，同理：，設(shè)，，則，，由題意得，，可列方程組為：，解得，可得四邊形的面積為20．解答下面問題：如圖3，是的三等分點，是的三等分點，與交于，且，請計算四邊形的面積，并說明理由．模型4.鳥頭定理（共角定理）模型共角三角形：兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形。共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比。圖1圖2（等角型）條件：如圖1，在三角形ABC中，D、E分別是AB，AC上的點，結(jié)論：。（互補型）條件：如圖2，已知∠BAC+∠DAE=180°，結(jié)論：。證明：（等角型）如圖1，分別過點E，C作EG⊥AB于點G，CF⊥AB于點F，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴。又即。（互補型）如圖2，過點C作CG⊥AB于G，過點E作EF⊥DA交DA延長線于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴，∵，，∴；例1、如圖，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上的點，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面積是16平方厘米，則ABC的面積為。例2．（2023·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解如果兩個三角形中有一組對應(yīng)角相等或互補，那么這兩個三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比，例：在圖1中，點D，E分別在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，則證明：分別過點E，C作EG⊥AB于點G，CF⊥AB于點F，得到圖2，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴又即任務(wù)：（1）如圖3，已知∠BAC+∠DAE=180°，請你參照材料的證明方法，求證：（2）在（1）的條件下，若則AE=．例3．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：？方法回顧：兩個三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當兩個三角形的底成高具有一定的關(guān)系時，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個結(jié)論，請你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．結(jié)論應(yīng)用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點，延長GA到E，連接DE交BA的延長線于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．模型5.金字塔與沙漏模型金字塔模型沙漏模型條件：如圖所示，DE//BC；結(jié)論：①；②。證明：∵DE//BC；易證：；；；∴；。例1．（2023秋·遼寧沈陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點D、E分別是邊上的點，且，面積比為，交于點F．則（

）

A． B． C． D．例2．（2023·江蘇揚州·二模）如圖，D、E分別是的邊、上的點，且，、相交于點0，若的面積與的面積的比為，則等于（

）

A． B． C． D．例3．（2023·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，與相交于點．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·北京海淀·九年級校考開學(xué)考試）如圖，是等邊三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若圖中陰影部分的面積是6，則四邊形的面積為（

）A．8 B．9 C．10 D．111．（2024·貴州·?？家荒＃┤鐖D，梯形被對角線分成4個小三角形，已知與的面積分別為和．那么梯形的面積是（

）．A．144 B．140 C．160 D．無法確定2．（24-25八年級上·山東德州·階段練習(xí)）如圖所示，中，點、、分別在三邊上，是的中點，、、交于一點，，，，則的面積是（

）A．25 B．30 C．35 D．403．（22-23七年級下·江蘇揚州·期中）如圖，四邊形中，E、F、G、H依次是，，，中點，O是四邊形內(nèi)部一點，若四邊形、四邊形、四邊形的面積分別為8、11、13，四邊形面積為（

）A．10 B．11 C．12 D．134．（24-25八年級上·四川德陽·階段練習(xí)）如圖，若的面積為a，且點A，B，C分別是的中點，則求陰影部分的面積（用含a的式子表示），（

）A． B． C． D．5．（24-25八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，是的平分線，延長至E，使，連接，的面積為10，的面積是13，則的值為（）A． B． C．3 D．26．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，若，則的面積是（

）A．4 B．3 C．2 D．17．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，AC與BD相交于點O，則的面積與的面積的比為（

）A．1：2 B． C．1：4 D．8．（23-24八年級上·天津河?xùn)|·期中）如圖，的兩條中線，相交于點，已知的面積為，的面積為，則四邊形的面積為（

）

A． B．3 C． D．9．（2024·甘肅酒泉·二模）如圖，在平行四邊形中，如果點為CD的中點，與BD相交于點，若已知，那么等于（

）A．4 B．8 C．12 D．1610．（23-24九年級·重慶·課后作業(yè)）如圖，為半圓O的直徑，弦相交于點P，如果，那么等于（

）A．16∶9 B．3∶4 C．4∶3 D．9∶1611．（22-23七年級下·江蘇南京·期末）如圖，在中，D是邊的中點，E、F分別是邊上的三等分點，連接分別交于G、H點，若的面積為90，則四邊形的面積為．

12．（2024·上海·?？家荒＃┤鐖D，梯形中，，，點在的延長線上，與相交于點，與邊相交于點．如果，那么與的面積之比等于．13．如圖1，點D在邊上，我們知道若，則；反之亦然．如圖2，是的中線，點F在邊上，相交于點O，若，則．14．（23-24九年級上·福建泉州·階段練習(xí)）已知中，是邊上的中線，點G為重心，，若的面積為12，則的面積是．15．（2024·河南鄭州·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形EFGH內(nèi)接于（矩形各頂點在三角形邊上），E，F(xiàn)在上，H，G分別在，上，且于點D，交于點N．(1)求證：(2)若，，設(shè)，則當x取何值時，矩形的面積最大？最大面積是多少？16．（23-24八年級下·湖南永州·期末）課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用閱讀理解：如圖1，已知直線，直線a，b的距離為h，則三角形的面積為．

(1)【問題探究】如圖2，若點C平移到點D，求證：；(2)【深化拓展】如圖3，記、、、，根據(jù)圖形特征，試證明：；(3)【靈活運用】如圖4，在平行四邊形中，點E是線段上的一點，與相交于點O，已知，且，求四邊形的面積．17．（23-24八年級下·山東青島·期末）問題解決：如圖1，中，為邊上的中線，則______.問題探究：（1）如圖2，分別是的中線，與相等嗎？解：中，由問題解決的結(jié)論可得，，.∴∴即.（2）圖2中，仿照（1）的方法，試說明.（3）如圖3，，，分別是的中線，則______，______，______.問題拓展：（1）如圖4，分別為四邊形的邊的中點，請直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系：______.（2）如圖5，分別為四邊形的邊的中點；請直接寫出陰影部分的面積與四邊形的面積之間的數(shù)量關(guān)系：______.18．（24-25九年級上·廣東深圳·期中）閱讀理解：兩個三角形中有一個角相等或互補，我們稱這兩個三角形是共角三角形，這個角稱為對應(yīng)角．根據(jù)上述定義，判斷下列結(jié)論，正確的打“”，錯誤的打“”．（1）三角形一條中線分成的兩個三角形是共角三角形．（_____）（2）兩個等腰三角形是共角三角形．（_____）問題提出：小明在研究圖的時發(fā)現(xiàn)，因為點，分別在和上，所以和是共角三角形，并且還發(fā)現(xiàn)．以下是小明的證明思路，請幫小明完善證明過程．證明：分別過點，作于點，于點，得到圖，，又，（_____），．，，即．延伸探究：如圖，已知，請你參照小明的證明方法，求證：．結(jié)論應(yīng)用：（1）如圖，在平行四邊形中，是邊上的點且滿足，延長到，連接交的延長線于，若，，，的面積為，則的面積是．（2）如圖，的面積為，延長的各邊，使，，，，則四邊形的面積為．19．（2023·山東青島·二模）【模型】同高的兩個三角形面積之比等于底邊長度之比．已知，如圖，中，為線段上任意一點，連接，則有：．【模型應(yīng)用】（1）如圖，任意四邊形中，、分別是、邊的中點，連接、，若四邊形的面積為，則___________．（2）如圖，在任意四邊形中，點、分別是邊、上離點和點最近的三等分點，連接、，若四邊形的面積為，則___________．（3）如圖，在任意四邊形中，點、分別是邊、上離點和點最近的等分點，連接、，若四邊形的面積為，則___________．【拓展與應(yīng)用】（4）如圖，若任意的十邊形的面積為，點、、、、、、、分別是、、、、、、、邊上離點、、、、、、、最近的四等分點，連接、、、、、、、，則圖中陰影部分的面積是___________．20．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，點D在邊上，與的面積分別記為與，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）閱讀分析：小明遇到這樣一個問題：如圖2，在中，，，射線交于點D，點E、F在上，且，試判斷、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明利用一對全等三角形，經(jīng)過推理使問題得以解決．圖2中的、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為，并說明理由．（3）類比探究：如圖3，在四邊形中，，與交于點O，點E、F在射線上，且．①全等的兩個三角形為，并說明理由．②若，的面積為3，直接寫出的面積：．21．（23-24九年級上·廣西崇左·