專(zhuān)題06 三角形中的倒角模型之平行線+拐點(diǎn)模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專(zhuān)題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點(diǎn)模型近年來(lái)各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類(lèi)問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專(zhuān)題就平行線+拐點(diǎn)模型（豬蹄模型(M型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型） 2模型2.鉛筆頭模型 3模型3.牛角模型 4模型4.羊角模型 4模型5.蛇形模型（“5”字模型） 5 6模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）先說(shuō)說(shuō)這個(gè)名字的由來(lái)，為什么叫豬蹄模型呢？因?yàn)樗L(zhǎng)得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根據(jù)外形來(lái)取的，只要你喜歡，叫什么都無(wú)所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。。①注意：拐角為左右依次排列；②若出現(xiàn)不是依次排列的，應(yīng)進(jìn)行拆分。圖1圖2圖3條件：如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②條件：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．條件：如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.證明：根據(jù)圖1中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，條件：如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.證明：由圖2的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2024·山西·二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束與平行射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2024九年級(jí)下·遼寧·學(xué)業(yè)考試）如圖，，，則的度數(shù)為．例3．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°例4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛(ài)凌的勵(lì)志故事也激勵(lì)著我們青少年，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué)，但是第一次走進(jìn)滑雪場(chǎng)的你，如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺(jué)，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，，當(dāng)人腳與地面的夾角時(shí)，求出此時(shí)上身與水平線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（23-24七年級(jí)下·廣東云浮·期末）小明學(xué)習(xí)了角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，直線，直線是直線，的第三條截線，，分別是，的平分線，并且相交于點(diǎn)K．問(wèn)題解決：（1），的平分線，所夾的的度數(shù)為_(kāi)_____；問(wèn)題探究：（2）如圖2，，的平分線相交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出與之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）在圖3中作，的平分線相交于點(diǎn)K，作，的平分線相交于點(diǎn)，依此類(lèi)推，作，的平分線相交于點(diǎn)，求出的度數(shù)．

例6．（2024·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┮阎本€AB∥CD。（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫(xiě)出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）因?yàn)樗L(zhǎng)得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據(jù)外形來(lái)取的，叫什么都無(wú)所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。①注意拐角朝同一方向②若出現(xiàn)拐角不朝同一方向的，應(yīng)進(jìn)行拆分.圖1圖2圖3條件：如圖1，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；（該結(jié)論和條件互換結(jié)果任然成立）。證明：在圖2中，過(guò)P作AM的平行線PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；條件：如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°證明：在圖2中，過(guò)P1作AM的平行線P1E，過(guò)點(diǎn)P2作AM的平行線P2F，∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；條件：如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.證明：在圖3中，過(guò)各角的頂點(diǎn)依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過(guò)凸透鏡的折射后，折射光線和折射光線交主光軸于點(diǎn)P，若，，則°．例2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線和之間，連接和的平分線交于點(diǎn)Q，下列等式正確的是（）

A． B． C． D．例4．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖①所示，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．如圖②所示，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（、、），則（度）；（1）如圖③所示，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（、、、），則（度）；（2）如圖④所示，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（、、、、），則（度）；（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是（度）．

例5．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問(wèn)題的解．

(1)如圖1，，點(diǎn)E為、之間的一點(diǎn)．求證：．(2)如圖2，，點(diǎn)E、F、G、H為、之間的四點(diǎn)．則______．(3)如圖3，，則______．模型3.牛角模型因?yàn)樗L(zhǎng)得像犀牛角，故取名牛角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結(jié)論：.證明：如圖，延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；條件：如圖2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結(jié)論：.證明：如圖，延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴；例1．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）抖空竹是一種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖1是某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間，若將其抽象成圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題：在平面內(nèi)，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．例3．（2022·湖北洪山·七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點(diǎn)，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為_(kāi)_____．例4．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校校考期中）已知直線，點(diǎn)為直線，所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)，(1)問(wèn)題提出：如圖1，，．求的度數(shù)：(2)問(wèn)題遷移：如圖2，寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(3)問(wèn)題應(yīng)用：如圖3，，，，求的值．例5．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，．

(1)如圖，求證；(2)如圖，點(diǎn)在上，平分，交于點(diǎn)，探究的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，如圖交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的度數(shù)．模型4.羊角模型因長(zhǎng)像酷似山羊角，故取名羊角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；條件：如圖2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴；例1．（2024·重慶江津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，如果，，那么的度數(shù)為．

例2．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點(diǎn)分別在上，當(dāng)時(shí)，．例3．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例4．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期末）如圖，的角平分線交的角平分線的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，直線交于點(diǎn)N，若，則°例5．（2023七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知．(1)如圖1，求證：；(2)若F為直線、之間的一點(diǎn)，，平分交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)C．①如圖2，若，且，求的度數(shù)；②如圖3，若點(diǎn)K在射線上，且滿足，若，，直接寫(xiě)出的度數(shù)．模型5.蛇形模型（“5”字模型）因模型像一條彎曲的水蛇，故取名蛇形模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：在圖2中，過(guò)C作AB的平行線CF，∴∠BCF＝∠B，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.條件：如圖2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：在圖2中，過(guò)C作AB的平行線CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)，拐彎后與原來(lái)方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°例2．（23-24七年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，，的角平分線的反向延長(zhǎng)線和的角平分線交于點(diǎn)F，，則．例3．（23-24七年級(jí)下·湖北鄂州·期中）如圖，已知點(diǎn)，，不在同一條直線上，．(1)求證；(2)如圖2，，分別為三等分、所在直線，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，在（2）的前提下，且有，直線、交于點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫(xiě)出_________．例4．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·期末）如圖，，．(1)如果，求的度數(shù)；設(shè)，，直接寫(xiě)出、之間的數(shù)量關(guān)系：；(2)如圖，、的角平分線交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接．已知，求的度數(shù)．1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，若，，，則的度數(shù)是（）A．115° B．130° C．140° D．150°2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是路政工程車(chē)的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．3．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線．若，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）抖空竹是我國(guó)的傳統(tǒng)體育，也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．明代《帝京景物略》一書(shū)中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見(jiàn)抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過(guò)觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，若，，，，那么的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（24-25九年級(jí)上·湖北·課后作業(yè)）①如圖①，，則；②如圖②，，則；③如圖③，，則；④如圖④，直線，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的是（

）A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④7．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是某款嬰兒車(chē)的幾何示意圖，若，，，則的度數(shù)是°．8．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，，的角平分線的反向延長(zhǎng)線和的角平分線交于點(diǎn)，，則．9．（23-24七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，，為上方一點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，、的角平分線交于點(diǎn)，的角平分線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)等于．10．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，兩直線、平行，則．11．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級(jí)?？计谥校﹩?wèn)題探究：如下面四個(gè)圖形中，ABCD．（1）分別說(shuō)出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你從中任選一個(gè)加以說(shuō)明理由．解決問(wèn)題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．12．（2023春·湖北黃岡·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點(diǎn)P，，直接寫(xiě)出．13．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：，點(diǎn)在上，點(diǎn)、在上，點(diǎn)在、之間，連接、、，，，垂足為點(diǎn)．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，平分，、交于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，平分交于點(diǎn)，若，與所在直線交于點(diǎn)，若射線從射線的位置開(kāi)始繞著點(diǎn)逆時(shí)針以每秒的速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，射線交直線于點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，第一次與平行？并求此時(shí)的度數(shù)．14．（24-25八年級(jí)上·四川瀘州·開(kāi)學(xué)考試）（1）如圖1，已知，，，則求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，平分，平分，則的度數(shù)．（3）如圖2，已知，平分，平分，．當(dāng)點(diǎn)P、M在直線AC同側(cè)時(shí)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系：；（4）如圖3，已知，平分，平分．當(dāng)點(diǎn)P、M在直線異側(cè)時(shí)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系：．15．（23-24七年級(jí)下·河北邯鄲·期中）已知，直線，點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，連接與．(1)如圖1，點(diǎn)在直線之間，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)在直線之間，與的角平分線相交于點(diǎn)，寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，點(diǎn)落在下方，與的角平分線相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．16．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期中），點(diǎn)E、F分別在、上；點(diǎn)O在直線、之間，且(1)如圖1，①若，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)你直接寫(xiě)出________；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點(diǎn)M、N，求的值(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點(diǎn)M、N，且，直接寫(xiě)出m的值17．（23-24七年級(jí)下·遼寧大連·期末）【問(wèn)題初探】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師和同學(xué)們共同探究平行線的作用．李老