專題06 三角形中的倒角模型之平行線+拐點模型解讀與提分精練（全國）

專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。平行線+拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點模型（豬蹄模型(M型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型） 2模型2.鉛筆頭模型 3模型3.牛角模型 4模型4.羊角模型 4模型5.蛇形模型（“5”字模型） 5 6模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）先說說這個名字的由來，為什么叫豬蹄模型呢？因為它長得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根據(jù)外形來取的，只要你喜歡，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。。①注意：拐角為左右依次排列；②若出現(xiàn)不是依次排列的，應(yīng)進行拆分。圖1圖2圖3條件：如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②條件：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.證明：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．條件：如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.證明：根據(jù)圖1中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，條件：如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.證明：由圖2的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2024·山西·二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束與平行射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2024九年級下·遼寧·學業(yè)考試）如圖，，，則的度數(shù)為．例3．（2023春·河南駐馬店·九年級專題練習）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°例4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，，當人腳與地面的夾角時，求出此時上身與水平線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（23-24七年級下·廣東云浮·期末）小明學習了角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識后，對角之間的關(guān)系進行了拓展探究．如圖，直線，直線是直線，的第三條截線，，分別是，的平分線，并且相交于點K．問題解決：（1），的平分線，所夾的的度數(shù)為______；問題探究：（2）如圖2，，的平分線相交于點，請寫出與之間的等量關(guān)系，并說明理由；拓展延伸：（3）在圖3中作，的平分線相交于點K，作，的平分線相交于點，依此類推，作，的平分線相交于點，求出的度數(shù)．

例6．（2024·上?！ぐ四昙壭？计谥校┮阎?，直線AB∥CD。（1）如圖（1），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）因為它長得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據(jù)外形來取的，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。①注意拐角朝同一方向②若出現(xiàn)拐角不朝同一方向的，應(yīng)進行拆分.圖1圖2圖3條件：如圖1，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；（該結(jié)論和條件互換結(jié)果任然成立）。證明：在圖2中，過P作AM的平行線PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；條件：如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°證明：在圖2中，過P1作AM的平行線P1E，過點P2作AM的平行線P2F，∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；條件：如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.證明：在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過凸透鏡的折射后，折射光線和折射光線交主光軸于點P，若，，則°．例2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，直線，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點E，F(xiàn)分別是直線上的兩點，點P在直線和之間，連接和的平分線交于點Q，下列等式正確的是（）

A． B． C． D．例4．（2023上·廣東廣州·八年級?？奸_學考試）如圖①所示，四邊形為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則（度）；（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則（度）；（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則（度）；（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是（度）．

例5．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問題的解．

(1)如圖1，，點E為、之間的一點．求證：．(2)如圖2，，點E、F、G、H為、之間的四點．則______．(3)如圖3，，則______．模型3.牛角模型因為它長得像犀牛角，故取名牛角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結(jié)論：.證明：如圖，延長AB交DE于點F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；條件：如圖2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結(jié)論：.證明：如圖，延長AB交DE于點F，∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴；例1．（2024·山西·模擬預(yù)測）抖空竹是一種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖1是某同學“抖空竹”的一個瞬間，若將其抽象成圖2的數(shù)學問題：在平面內(nèi)，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．例3．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．例4．（2023春·廣東深圳·九年級校?？计谥校┮阎本€，點為直線，所確定的平面內(nèi)的一點，(1)問題提出：如圖1，，．求的度數(shù)：(2)問題遷移：如圖2，寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)問題應(yīng)用：如圖3，，，，求的值．例5．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，．

(1)如圖，求證；(2)如圖，點在上，平分，交于點，探究的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，如圖交延長線于點，求的度數(shù)．模型4.羊角模型因長像酷似山羊角，故取名羊角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；條件：如圖2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴；例1．（2024·重慶江津·模擬預(yù)測）如圖，已知，如果，，那么的度數(shù)為．

例2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點分別在上，當時，．例3．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例4．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）如圖，的角平分線交的角平分線的反向延長線于點P，直線交于點N，若，則°例5．（2023七年級下·江蘇·專題練習）已知．(1)如圖1，求證：；(2)若F為直線、之間的一點，，平分交于點G，交于點C．①如圖2，若，且，求的度數(shù)；②如圖3，若點K在射線上，且滿足，若，，直接寫出的度數(shù)．模型5.蛇形模型（“5”字模型）因模型像一條彎曲的水蛇，故取名蛇形模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠BCF＝∠B，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.條件：如圖2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點，拐彎后與原來方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°例2．（23-24七年級下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點F，，則．例3．（23-24七年級下·湖北鄂州·期中）如圖，已知點，，不在同一條直線上，．(1)求證；(2)如圖2，，分別為三等分、所在直線，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，在（2）的前提下，且有，直線、交于點，，請直接寫出_________．例4．（23-24七年級下·廣東廣州·期末）如圖，，．(1)如果，求的度數(shù)；設(shè)，，直接寫出、之間的數(shù)量關(guān)系：；(2)如圖，、的角平分線交于點，當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若，點為射線上的一個動點，過點作交直線于點，連接．已知，求的度數(shù)．1．（2023·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，若，，，則的度數(shù)是（）A．115° B．130° C．140° D．150°2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．3．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，直線．若，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，若，，，，那么的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（24-25九年級上·湖北·課后作業(yè)）①如圖①，，則；②如圖②，，則；③如圖③，，則；④如圖④，直線，點在直線上，則．以上結(jié)論正確的是（

）A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④7．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，是某款嬰兒車的幾何示意圖，若，，，則的度數(shù)是°．8．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則．9．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，，為上方一點，、分別為、上的點，、的角平分線交于點，的角平分線與的延長線交于點，若，，則的度數(shù)等于．10．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，兩直線、平行，則．11．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級校考期中）問題探究：如下面四個圖形中，ABCD．（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系．（2）請你從中任選一個加以說明理由．解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．12．（2023春·湖北黃岡·七年級校考期中）如圖，已知：點A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點P，，直接寫出．13．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：，點在上，點、在上，點在、之間，連接、、，，，垂足為點．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，平分，、交于點，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，平分交于點，若，與所在直線交于點，若射線從射線的位置開始繞著點逆時針以每秒的速度進行旋轉(zhuǎn)，射線交直線于點，旋轉(zhuǎn)時間為秒，當為何值時，第一次與平行？并求此時的度數(shù)．14．（24-25八年級上·四川瀘州·開學考試）（1）如圖1，已知，，，則求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，平分，平分，則的度數(shù)．（3）如圖2，已知，平分，平分，．當點P、M在直線AC同側(cè)時，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：；（4）如圖3，已知，平分，平分．當點P、M在直線異側(cè)時，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：．15．（23-24七年級下·河北邯鄲·期中）已知，直線，點為平面上一點，連接與．(1)如圖1，點在直線之間，當，時，求的度數(shù)．(2)如圖2，點在直線之間，與的角平分線相交于點，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，點落在下方，與的角平分線相交于點，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．16．（23-24七年級下·湖北武漢·期中），點E、F分別在、上；點O在直線、之間，且(1)如圖1，①若，求的度數(shù)；②若，請你直接寫出________；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點M、N，求的值(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點M、N，且，直接寫出m的值17．（23-24七年級下·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）數(shù)學活動課上，李老師和同學們共同探究平行線的作用．李老