專題30 解直角三角形模型之12345模型解讀與提分精練（全國）

專題30解直角三角形模型之12345模型初中幾何，直角三角形具有舉足輕重的地位，貫徹初中數(shù)學(xué)的始終，無論是一次函數(shù)、平行四邊形、特殊平行四邊形、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、相似、圓，都離不開直角三角形。今天我們要重點(diǎn)介紹的“12345”模型就是中考（選填題）解題神器，需要我們反復(fù)斷鉆研、領(lǐng)悟?，F(xiàn)在帶領(lǐng)大家領(lǐng)略一下，“12345”模型的獨(dú)特魅力。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“12345”模型及衍生模型 1 3 13模型1.“12345”模型及衍生模型（19年北京市中考）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格交點(diǎn)）。該類問題解法很多，這里我們就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形。如圖，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。上面的∠PAB和∠PBA便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，總結(jié)為“12345”模型。12345基礎(chǔ)模型模型還可變式為；變式1：；變式2：。證明：（基礎(chǔ)模型）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一點(diǎn)E使得BE=1，在DC上取一點(diǎn)F使得DF=2，根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，易證：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°圖1證明：（模型變式1）如圖，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一點(diǎn)E使得BE=a，在DC上取一點(diǎn)F使得DF=b-a，根據(jù)矩形性質(zhì)得：EC=b，CF=a，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，易證：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°模型變式2可借鑒變式1證明方法，自行證明即可。注意：下面模型中，，2，3，，均為對應(yīng)角的正切值。 （1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；（5）∠α+∠β＝90°；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；（6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；我們還可以得到上面的這些補(bǔ)充的模型，證明并不算困難，有興趣的同學(xué)可借助網(wǎng)格圖或構(gòu)造圖形自行進(jìn)行證明。我們還可以得到切記：做題不光要知道題目告訴我什么，還要根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么，而“12345”模型用來解決相關(guān)的選填題非常方便。下面所列舉的某些題，利用“12345”解題也許未必是最簡，最巧妙的，但至少可以成為一種通性通法，可在短時(shí)間內(nèi)快速破題。畢竟在考試的時(shí)候時(shí)間是非常寶貴的。例1．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長為（

）A． B．3 C． D．2例2．（2024·吉林長春·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中點(diǎn)．將△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長是（

）A． B．2 C． D．3例3．（23-24八年級下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形中，，，，E是上一點(diǎn)，且，則的長度是（

）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4例4．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，若，，則的長為．例5.（2023.成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為.例6．（23-24九年級上·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連結(jié)，若，則的值為．例7.（2023·龍華區(qū)九年級上期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，AF交對角線BD于點(diǎn)G，則FG的長是________．8．（2024九年級上·浙江·專題練習(xí)）如圖，將已知矩形紙片的邊斜著向邊對折，使點(diǎn)落在上，記為，折痕為；再將邊斜向下對折，使點(diǎn)落在邊上，記為，折痕為，，．則矩形紙片的面積為．

AADBCEFD′B′例9.（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線，過點(diǎn)C作的垂線分別交于點(diǎn)M，N，則的長為（

）

A． B． C． D．4例10.（2023.呼和浩特中考真題）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)，，且，連接，則，．1．（23-24廣東汕頭·模擬預(yù)測）如圖，正方形中，，是的中點(diǎn)．將沿對折至，延長交于點(diǎn)，則的長是（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（2024·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長為9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，若E是AB中點(diǎn)，且∠ECF=45°，則CF的長為（

）

A．12 B．3 C．3 D．33．（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，則的長度是（

）A．8 B．7.4 C．7 D．6.84．（23-24九年級上·貴州銅仁·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x＋m（m≠0）分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（3，0）．點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，若∠CPA＝45°，則m的值是．5．（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖3，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，點(diǎn)A，M，G恰好在同一直線上，若，，，則線段的長為．6．（2024·廣東·模擬預(yù)測）在正方形ABCD中，邊長為6，BE=2AE，連接DE，在AD、BC上分別存在點(diǎn)G、F，連接GF交DE于H點(diǎn)，且∠GHD=45°，求線段FG=_________．7.（2023·山東·中考模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，則DF的長為_________．AADBCEF7.（23-24九年級·江蘇無錫·期末）如圖，在正方形ABCD中，P是BC的中點(diǎn)，把△PAB沿著PA翻折得到△PAE，過C作CF⊥DE于F，若CF=2，則DF=．8.（2017無錫中考真題）在如圖的正方形方格紙上，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________．9.（2016甘肅天水中考真題）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’位置，OB=，tan∠BOC=，則點(diǎn)A’的坐標(biāo)為____________．10.（2023.廣東九年級期中）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片ABCD，折痕是DM，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長ME，DE交AB于點(diǎn)F，G，若點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，則FG＝_________cm．DDCABFMEG11．（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，且CE=2BE，過B點(diǎn)作BF⊥AE于點(diǎn)F，連接OF，則線段OF的長度為.12．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)A落在處，若的延長線恰好過點(diǎn)C，則的值為．13．（23-24九年級·天津河西·期末）正方形ABCD的邊長AB＝2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF分別與DE，BD相交于點(diǎn)M，N，則MN的長為．14．（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝－2x＋4的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，將直線AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，交x軸于點(diǎn)C，則直線BC的函數(shù)表達(dá)式為．15．（23·24·深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)A在反比例函數(shù)y的圖象上．作射線AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交y軸于C點(diǎn)，則△ABC面積為．16．（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中