專(zhuān)題19 全等與相似模型之一線三等角（K字）模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專(zhuān)題19全等與相似模型之一線三等角（K字）模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類(lèi)問(wèn)題就信心更足了．本專(zhuān)題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.一線三等角模型（全等模型） 2模型2.一線三等角模型（相似模型） 11 19大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.一線三等角模型（全等模型）一線三等角模型是指三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上，這個(gè)模型在七八年級(jí)階段往往用來(lái)證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類(lèi)比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異側(cè)型兩類(lèi)。1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB+CD=BC。2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB-CD=BC。1）（同側(cè)型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。2）（異側(cè)型）證明：∵，∴∠ECD=∠ABE，∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。例1．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得線段，連接．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；【類(lèi)比探究】（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．例2．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．例3．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線和邊上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例4．（23-24八年級(jí)上·重慶綦江·期末）（1）如圖①，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，且，于點(diǎn)F，于點(diǎn)D．求證：；（2）如圖②，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，點(diǎn)E、F都在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；（3）如圖③，在中，，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，．若的面積為17，求與的面積之和．例5．（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在y軸正半軸，點(diǎn)C在x軸正半軸，交y軸于點(diǎn)E．(1)如圖1，若點(diǎn)B坐標(biāo)為，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)B坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)B作交x軸于點(diǎn)D，設(shè)的長(zhǎng)為d，請(qǐng)用含m的式子表示d；(3)如圖3，若點(diǎn)B為第三象限內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作交x軸于點(diǎn)D，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．模型2.一線三等角模型（相似模型）“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED。證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.證明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的補(bǔ)角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED?！?，∵C為AB的中點(diǎn)，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.證明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，∴△ABC∽△BFC，同理可證：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.證明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，∵∠AMB=∠NMC（對(duì)頂角相等）∴△ABM∽△NCM.同理可證：△NDE∽△NCM故：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕，如圖②．根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長(zhǎng)是（

）

A．3 B． C．2 D．1例3．（2024·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（不用證明）．

(1)【類(lèi)比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論．(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．②若圖1的中，，，并將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）．例4．（2023·浙江寧波·二模）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，P是內(nèi)部一點(diǎn)，在射線上取點(diǎn)D、E，使得．求證：；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接BD，在BD上取點(diǎn)E、F，連接，使得．若，求CE的長(zhǎng)；【拓展提高】如圖3，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接BD，在BD上取點(diǎn)E，連接CE．若，，求的正切值．

例5．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，D．若，則1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于，以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)，A與關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，連結(jié)，現(xiàn)將線段以點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：如圖，等腰直角，，，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，，連接CD，，，BC的長(zhǎng)為．5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，，，，和都是等腰直角三角形，圖中陰影部分的面積為．6．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，為了測(cè)盤(pán)凹檔的寬度，把一塊等腰直角三角板（，）放置在凹槽內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別落在凹槽內(nèi)壁上，若，測(cè)得，，則該凹槽的寬度的長(zhǎng)為．7．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，將平行四邊形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形，使點(diǎn)E落在邊上，且點(diǎn)D巧合是的中點(diǎn)，若則的值為．8．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一張正方形紙片折疊，折痕為，折疊后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)F處，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．若，，則的長(zhǎng)為．9．（2024·四川成都·一模）已知等邊的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)M在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在直線上運(yùn)動(dòng)，將沿著翻折，使點(diǎn)A落在直線上的點(diǎn)處，若，則．10．（23-24八年級(jí)下·山東濱州·期末）小明酷愛(ài)數(shù)學(xué)，勤于思考，善于反思，在學(xué)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)之后，他發(fā)現(xiàn)“全等三角形”和“軸對(duì)稱(chēng)”兩章中許多問(wèn)題有關(guān)聯(lián)，問(wèn)題解決的方法相通．于是他撰寫(xiě)了一篇數(shù)學(xué)作文．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀思考，幫助小明完成相關(guān)內(nèi)容．“一線三垂直”模型的探索與拓展【模型呈現(xiàn)】“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個(gè)等角的度數(shù)均為，且它們的頂點(diǎn)在同一條直線上，所以稱(chēng)為“一線三垂直模型”．若有—組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形．例如：如圖1，，過(guò)點(diǎn)C作任意一條直線m，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則三個(gè)直角的頂點(diǎn)都在同一條直線m上，這就是典型的“一線三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因?yàn)椋钥傻茫灸Ｐ蛻?yīng)用】問(wèn)題1：如圖2，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，求的長(zhǎng)．

問(wèn)題2：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，．若是以為腰的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【模型遷移】問(wèn)題3：如圖4，已知為等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在三邊上，且，．求證：是等邊三角形．

11．（2023·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請(qǐng)根據(jù)以下問(wèn)題，把你的感知填寫(xiě)出來(lái)：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點(diǎn)B在直線l上，分別過(guò)點(diǎn)A、C作于E，于F．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長(zhǎng)．12．（2024·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．13．（2024·浙江·?？家荒＃?）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，垂足分別為D、E．求證：．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．14．（2024·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，．⑴如圖，P為上的一點(diǎn)，滿足∠BPC=∠A，求AP的長(zhǎng)；⑵如果點(diǎn)P在邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)不重合），且滿足∠BPE=∠A，交直線于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，CQ=y，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；②寫(xiě)CE=1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)解答過(guò)程）15．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在上，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為交于．(1)求證：．(2)若為中點(diǎn)，且，求長(zhǎng)．(3)連接，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，探究與大小關(guān)系并說(shuō)明理由．16．（2023年安徽省九年級(jí)數(shù)學(xué)一模試卷）如圖，在中，，，是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)，連接(1)求證：(2)若是的中點(diǎn)，求的值．(3)若，求的值．17．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，D是邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，．求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，若，，求線段的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）在中．，，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上．若，求的長(zhǎng)．18