專題19 全等與相似模型之一線三等角（K字）模型解讀與提分精練（全國）

專題19全等與相似模型之一線三等角（K字）模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.一線三等角模型（全等模型） 2模型2.一線三等角模型（相似模型） 11 19大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！模型1.一線三等角模型（全等模型）一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異側(cè)型兩類。1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB+CD=BC。2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB-CD=BC。1）（同側(cè)型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。2）（異側(cè)型）證明：∵，∴∠ECD=∠ABE，∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。例1．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段，連接．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數(shù)量關系為________；【類比探究】（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數(shù)量關系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請直接寫出的值．例2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．例3．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型應用】（2）如圖2，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在對角線和邊上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點E在對角線上，點F在邊的延長線上，，．用等式寫出線段，，的數(shù)量關系，并說明理由．例4．（23-24八年級上·重慶綦江·期末）（1）如圖①，，射線在這個角的內(nèi)部，點B、C分別在的邊、上，且，于點F，于點D．求證：；（2）如圖②，點B、C分別在的邊、上，點E、F都在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；（3）如圖③，在中，，．點D在邊上，，點E、F在線段上，．若的面積為17，求與的面積之和．例5．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在y軸正半軸，點C在x軸正半軸，交y軸于點E．(1)如圖1，若點B坐標為，直接寫出點A的坐標，點C的坐標；(2)如圖2，若點B坐標為，過點B作交x軸于點D，設的長為d，請用含m的式子表示d；(3)如圖3，若點B為第三象限內(nèi)任意一點，過點B作交x軸于點D，判斷和的數(shù)量關系，并給出證明．模型2.一線三等角模型（相似模型）“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED。證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.證明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的補角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED?！摺?=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點型：條件：如圖1，若C為AB的中點，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED?！?，∵C為AB的中點，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.證明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，∴△ABC∽△BFC，同理可證：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.證明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，∵∠AMB=∠NMC（對頂角相等）∴△ABM∽△NCM.同理可證：△NDE∽△NCM故：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學活動課上，某位同學進行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點F處，得到折痕，如圖②．根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長是（

）

A．3 B． C．2 D．1例3．（2024·湖北武漢·校考模擬預測）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過點，過點、分別作于點，于點，則（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認為正確的結(jié)論．(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關系？并證明你的猜想．②若圖1的中，，，并將直線繞點旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點和點，請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關系（不要求寫出證明過程）．例4．（2023·浙江寧波·二模）【基礎鞏固】如圖1，P是內(nèi)部一點，在射線上取點D、E，使得．求證：；【嘗試應用】如圖2，在中，，，D是上一點，連接BD，在BD上取點E、F，連接，使得．若，求CE的長；【拓展提高】如圖3，在中，，，D是上一點，連接BD，在BD上取點E，連接CE．若，，求的正切值．

例5．（2023·河北滄州·校考二模）如圖，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．若點D是AB的中點，則C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，D．若，則1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為線段上一動點（不與點，重合），連接，作，交線段于，以下四個結(jié)論：①；②當為中點時，；③當為等腰三角形時，；④當時，．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2024·浙江溫州·模擬預測）如圖，已知點，A與關于y軸對稱，連結(jié)，現(xiàn)將線段以點為中心順時針旋轉(zhuǎn)得，點B的對應點的坐標為（）A． B． C． D．4．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：如圖，等腰直角，，，點D為外一點，，連接CD，，，BC的長為．5．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，已知，，，，和都是等腰直角三角形，圖中陰影部分的面積為．6．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，為了測盤凹檔的寬度，把一塊等腰直角三角板（，）放置在凹槽內(nèi)，三個頂點A，B，C分別落在凹槽內(nèi)壁上，若，測得，，則該凹槽的寬度的長為．7．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，將平行四邊形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形，使點E落在邊上，且點D巧合是的中點，若則的值為．8．（2024·湖北襄陽·模擬預測）如圖，將一張正方形紙片折疊，折痕為，折疊后，點B的對應點落在正方形內(nèi)部的點F處，連接并延長交于點G．若，，則的長為．9．（2024·四川成都·一模）已知等邊的邊長為5，點M在邊上運動，點N在直線上運動，將沿著翻折，使點A落在直線上的點處，若，則．10．（23-24八年級下·山東濱州·期末）小明酷愛數(shù)學，勤于思考，善于反思，在學習八年級上冊數(shù)學知識之后，他發(fā)現(xiàn)“全等三角形”和“軸對稱”兩章中許多問題有關聯(lián)，問題解決的方法相通．于是他撰寫了一篇數(shù)學作文．請你認真閱讀思考，幫助小明完成相關內(nèi)容．“一線三垂直”模型的探索與拓展【模型呈現(xiàn)】“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角的度數(shù)均為，且它們的頂點在同一條直線上，所以稱為“一線三垂直模型”．若有—組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．例如：如圖1，，過點C作任意一條直線m，于點D，于點E，則三個直角的頂點都在同一條直線m上，這就是典型的“一線三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因為，所以可得．【模型應用】問題1：如圖2，在中，，，點D為上一點，連接．過點B作于點E，過點C作交的延長線于點F．若，，求的長．

問題2：如圖3，在平面直角坐標系中，，．若是以為腰的等腰直角三角形，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．【模型遷移】問題3：如圖4，已知為等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在三邊上，且，．求證：是等邊三角形．

11．（2023·江蘇·九年級專題練習）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．【模型應用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為，則點C的坐標為________．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．12．（2024·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．13．（2024·浙江·?？家荒＃?）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過點C，過點A作，過點B作，垂足分別為D、E．求證：．（2）遷移應用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標系內(nèi)，三角板的一個銳角的頂點與坐標原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內(nèi)，已知點N的坐標為，求點M的坐標．（3）拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系內(nèi)，已知直線與y軸交于點P，與x軸交于點Q，將直線繞P點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點R．求點R的坐標．14．（2024·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，．⑴如圖，P為上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；⑵如果點P在邊上移動（點P與點不重合），且滿足∠BPE=∠A，交直線于點E，同時交直線DC于點．①當點在線段DC的延長線上時，設，CQ=y，求關于的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；②寫CE=1時，寫出AP的長（不必寫解答過程）15．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對稱點落在上，的對稱點為交于．(1)求證：．(2)若為中點，且，求長．(3)連接，若為中點，為中點，探究與大小關系并說明理由．16．（2023年安徽省九年級數(shù)學一模試卷）如圖，在中，，，是線段上的一點，連接，過點作，分別交，于點，，與過點A且垂直于的直線相交于點，連接(1)求證：(2)若是的中點，求的值．(3)若，求的值．17．（2023秋·廣東深圳·九年級?？茧A段練習）【基礎鞏固】（1）如圖1，在中，，，D是邊上一點，F(xiàn)是邊上一點，．求證：；【嘗試應用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點D是邊的中點，，若，，求線段的長．【拓展提高】（3）在中．，，以A為直角頂點作等腰直角三角形，點D在上，點E在上．若，求的長．18