專題24 相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型解

專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關(guān)系離不開數(shù)量的計(jì)算。相似和勾股是產(chǎn)生等式的主要依據(jù)（其他依據(jù)還有面積法，三角函數(shù)等），因此要掌握相似三角形的基本圖形，體會(huì)其各種演變和聯(lián)系。相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“A”字模型 1模型2.“X”字模型（“8”字模型） 4模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 6 10【知識(shí)儲(chǔ)備】A字型和8（X）字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過分割點(diǎn)（將線段分割的點(diǎn)）作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長(zhǎng)中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點(diǎn)在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向雙“A”字模型④內(nèi)接矩形模型圖1圖2圖3圖4①“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。證明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。②反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。證明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴△ADE∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。③同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?。證明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，同理可證：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4，△ABC的內(nèi)接矩形DEFG的邊EF在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊上，且AM⊥BC；結(jié)論：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM?。證明:∵DEFG是矩形∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，同理可證：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。例1．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖，在中，點(diǎn)、為邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、在邊上，，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．例2．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)，在上，點(diǎn)，分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的面積為．例3．（2024·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）如圖：中，，，，把邊長(zhǎng)分別為，，，…的n個(gè)正方形依次放在中；第一個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊上；第二個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．例4．（2024·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)為的對(duì)角線上一點(diǎn)，，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4例5．（23-24九年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，，垂足為，，垂足為，與相交于點(diǎn)，(1)判斷與是相似三角形嗎？請(qǐng)說明理由；(2)連接，求證：；(3)若，，，求的長(zhǎng)．模型2.“X”字模型（“8”字模型）“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型圖1圖2圖3圖4①“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。證明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。②反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。證明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（對(duì)頂角）∴△AOB∽△DOC，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。③平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：。證明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，同理可證：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。④斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4。證明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（對(duì)頂角），∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；∵∠AOB=∠DOC（對(duì)頂角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。例1．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)．連接．若，則的值為．例2.（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，與交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，．（1）求證：．（2）若，求．例3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為6，，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)分別交，于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．例4．（23-24九年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心．(1)特例感知：如圖一，已知邊長(zhǎng)為3的等邊的重心為點(diǎn)O，求與的面積；(2)性質(zhì)探究：如圖二，已知的重心為點(diǎn)O，請(qǐng)判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由；(3)性質(zhì)應(yīng)用：如圖三，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)M．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求EM的長(zhǎng)度；若，求正方形ABCD的面積

模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）①一“A”+“8”模型②兩“A”+“8”模型（反向雙“A”字模型）③四“A”+“8”模型圖1圖2圖3①一“A”+“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，?。證明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)?！逥E∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴?！?。②兩“A”+“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，?。證明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。兩式相加得到：，即，故。③四“A”+“8”模型3條件：如圖3，DE∥GF∥BC；結(jié)論：AF=AG，。證明:同②中的證法，易證：，，∴，即AF=AG，故。例1．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽·三模）如圖，已知、，與相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則值為（

）

A． B． C． D．例3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）（1）【問題背景】如圖1，，與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上．求證：；

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為來證明，請(qǐng)你按照小雅的思路完成原題的證明過程．（2）【類比探究】如圖2，，，，與相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在上，．求證：．（3）【拓展運(yùn)用】如圖3，在四邊形中，，連接，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，若，，直接寫出的長(zhǎng)．例4．（2024·江蘇泰州·三模）綜合與實(shí)踐在初中物理學(xué)中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯(lián)系．請(qǐng)耐心閱讀以下材料：【光學(xué)模型】如圖1，通過凸透鏡光心的光線，其傳播方向不變，經(jīng)過焦點(diǎn)的光線經(jīng)凸透鏡折射后平行于主光軸沿射出，與光線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作主光軸的垂線段，垂足為，即可得出物體所成的像．【模型驗(yàn)證】設(shè)焦點(diǎn)到光心的距離稱為焦距，記為；物體到光心的距離稱為物距，記為；像到光心的距離稱為像距，記為．已知，，當(dāng)時(shí)，求證：．證明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即①，∴②，∴，∴，即．請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決以下問題：(1)請(qǐng)補(bǔ)充上述證明過程中①②所缺的內(nèi)容(用含的代數(shù)式表示)；(2)若該凸透鏡的焦距為20，物體距凸透鏡的距離為30，物高為10，則物體所成的像的高度為__________；(3)如圖2，由物理學(xué)知識(shí)知“經(jīng)過點(diǎn)且平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后經(jīng)過點(diǎn)”，小明在做凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)時(shí)，不斷改變物距發(fā)現(xiàn)光線始終經(jīng)過主光軸上一定點(diǎn)．若該凸透鏡的焦距為20，物高為10，試說明這一物理現(xiàn)象．1．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在中，平分分別交，，延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，記與的面積分別為，，若，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，過作AD的平行線交AB于點(diǎn)，若，則的值是（

）A．6 B．5 C．8 D．43．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．4．（2024九年級(jí)下·廣東·專題練習(xí)）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，交于點(diǎn)N，則的長(zhǎng)為（）A．15 B．20 C．25 D．305．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，E線段上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若的面積為，則的面積為（

）

A． B． C． D．6．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，是上的點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)，若，，則的值為（

）A． B． C．2 D．1．57．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．28．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，，交于點(diǎn)．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則9．（2024·陜西西安·一模）如圖，在中，D，M是邊的三等分點(diǎn)，N，E是邊的三等分點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．若，則線段的長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．6 D．810．（2024·江蘇南京·一模）如圖，，分別垂直，垂足分別為，，連接，交于點(diǎn)，作，垂足為．設(shè)，，，若，則下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③11．（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，與交于點(diǎn)H，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C． D．12．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，，，，，點(diǎn)D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則．13．（2024·云南·中考真題）如圖，與交于點(diǎn)，且．若，則．

14．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則．

15．（23-24九年級(jí)上·河南駐馬店·期中）如圖，，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，若，則．16．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考三模）【閱讀理解】構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問題．例如：如圖，是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則易證是線段的中點(diǎn)．【經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用】請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且滿足，連接交于點(diǎn)．求證：①是的中點(diǎn)；②CG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且滿足，連接交于點(diǎn)．探究和之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；17．（2024·遼寧大連·二模）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，求證：．①如圖2，小鵬同學(xué)利用“三角形中位線的性質(zhì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，取的中點(diǎn)，連接，再通過“全等三角形的性質(zhì)”解決問題；②如圖3，小亮同學(xué)利用“三角形相似的性質(zhì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再通過“全等三角形的性質(zhì)”解決問題．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將證明三角形線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為我們熟悉的角度去理解．為了幫助同學(xué)們更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師又提出了一個(gè)問題，請(qǐng)你解答：如圖4，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，，與分別交于點(diǎn)，，求的值．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，在射線上取點(diǎn)，使，連接，在上取點(diǎn)，射線，相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．18．（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測(cè)）[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為，則與的數(shù)量關(guān)系為________；[思考說理