2024-2025學(xué)年福建省南安市高一上冊10月段考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省南安市高一上學(xué)期10月段考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下面四個命題正確的個數(shù)是（）①集合中最小的數(shù)是1；②若，則；③若，，則的最小值是；④的解集是.A.0 B.1 C.2 D.32.已知，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.103.已知、都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知集合，若集合有且僅有2個子集，則的取值是（）A.1 B. C.0，1 D.，0，15.向50名學(xué)生調(diào)查對、兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成的比贊成的多3人，其余的不贊成；另外，對，都不贊成的學(xué)生數(shù)比對，都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.則下列說法錯誤的是（）A.贊成的不贊成的有9人 B.贊成的不贊成的有11人C.對，都贊成的有21人 D.對，都不贊成的有8人6.已知全集，，，，則（）A. B. C. D.7.已知命題：“，”，命題：“，”.若命題和命題都是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.8.已知，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下面四個說法中正確的是（）A.10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是B.由2，3組成的集合可表示為或C.方程的所有解組成的集合是D.與表示同一個集合10.下列說法中正確的有（）A.“”是“”成立的充分不必要條件B.命題：，均有，則命題的否定：，使得C.已知集合滿足，則所有滿足條件的集合有4個D.設(shè)，是兩個數(shù)集，若，則，使得11.已知，，且，則下列說法中正確的是（）A.有最大值為 B.有最小值為9C.有最小值為 D.有最小值為3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值為______.13.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值是______.14.已知，，若，則的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）已知全集，，.（1）求；（2）求；（3）求.16.（本小題15分）（1）已知，，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知集合，若中有兩個元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.（本小題16分）（1）已知集合，，若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）命題：且，命題：，，若與不同時為真命題，求的取值范圍.18.（本小題16分）如圖所示，為迎接國慶節(jié)，某花卉基地計劃在三塊完全相同的矩形花卉四周（斜線部分）鋪設(shè)，寬度相同的觀賞通道.已知三塊花卉的面積均為150平方米.（1）若矩形花卉的長比寬至少多5米，求花卉寬的取值范圍；（2）若矩形花卉四周及中間觀賞通道的寬度均為2米，在（1）的條件下，求矩形花卉寬為多少時，觀賞通道的面積最小，并求其最小值.19.（本小題17分）（1）已知，，均為正實(shí)數(shù)，且滿足.證明：1）.2）.（2）已知，若，且對任意，不等式恒成立，求的最小值.

數(shù)學(xué)試卷解析1.【正確答案】C【分析】本題考查集合中元素的性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.對四個命題逐項(xiàng)驗(yàn)證，即可求出結(jié)果.解：是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1，故①正確；當(dāng)時，，且，故②錯誤；若，則的最小值是1，又，的最小值也是1，當(dāng)和都取最小值時，取最小值2，故③正確；由集合元素的互異性知④是錯誤的.故選C.2.【正確答案】A【分析】本題考查基本不等式求最值，熟練掌握配湊法，屬于基礎(chǔ)題.由配湊法，再結(jié)合不等式，求解即可.解：因?yàn)椋?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，即的最大值為4，故選：A.3.【正確答案】A【分析】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.解：若，則，若，則成立，當(dāng)時，滿足，但不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4.【正確答案】D【分析】本題考查子集的概念，解題時要認(rèn)真審題，屬于中檔題.若有且僅有兩個子集，則為單元素集，所以關(guān)于的方程恰有一個實(shí)數(shù)解，分類討論能求出實(shí)數(shù)的取值范圍.解：由題意可得，集合為單元素集，（1）當(dāng)時，，此時集合的兩個子集是，，滿足題意；（2）當(dāng)時則解得，當(dāng)時，集合的兩個子集是，，當(dāng)時，集合的兩個子集是，，均滿足題意.綜上所述，的取值為，0，1.故選D.5.【正確答案】B【分析】本題主要考查集合的實(shí)際應(yīng)用，考查Venn圖，屬于中檔題.記50名學(xué)生組成的集合為，贊成事件的學(xué)生全體為集合，贊成事件的學(xué)生全體為集合.設(shè)對事件，都贊成的學(xué)生人數(shù)為，列出方程能求出結(jié)果.解：贊成的人數(shù)為，贊成的人數(shù)為.記50名學(xué)生組成的集合為，贊成事件的學(xué)生全體為集合，贊成事件的學(xué)生全體為集合.如圖所示，設(shè)對事件，都贊成的學(xué)生人數(shù)為，則對，都不贊成的學(xué)生人數(shù)為.贊成而不贊成的人數(shù)為，贊成而不贊成的人數(shù)為.依題意，解得.所以贊成的不贊成的有9人，贊成的不贊成的有12人，對，都贊成的有21人，對，都不贊成的有8人.故選：B.6.【正確答案】B【分析】本題考查的知識點(diǎn)是集合的交集，并集，補(bǔ)集運(yùn)算，韋恩圖表示集合關(guān)系.根據(jù)已知，畫出滿足條件的韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，可得答案.解：∵全集，，，，∴滿足條件的韋恩圖如下所示：由圖可得：，故選：B7.【正確答案】D【分析】本題主要考查根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題的真假求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.先考慮，均為真命題得到的取值范圍，然后根據(jù)，的真假性得到關(guān)于的不等式，即可求解出的取值范圍.解：若，，則，∴.若，，則，解得或.∵命題和命題都是真命題，∴或，∴.故選D.8.【正確答案】B【分析】本題考查利用不等式性質(zhì)求取值范圍，屬于中檔題.由題意，，利用，表示，，進(jìn)而得到的表示，由，的范圍，求出的范圍即可.解：由題意，設(shè)，從而，由于，從而.故選B9.【正確答案】AB【分析】本題考查集合的含義和集合中元素的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，直接運(yùn)用集合的含義和集合中元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.解：10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是，故A正確；由集合中元素的無序性知和表示同一集合，故B正確；方程的所有解組成的集合是，故C錯誤；由集合的表示方法知空集的表示方法為，故D錯誤.故選AB.10.【正確答案】AD【分析】本題考查充分、必要條件的概念，全稱量詞命題的否定，考查集合的相關(guān)知識，屬于中檔題.由充分、必要條件的概念結(jié)合不等式的性質(zhì)以及舉反例可判斷A選項(xiàng)；由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可判斷B選項(xiàng)；由集合間的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；由集合非空和集合與元素間的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).解：對于A，當(dāng)時，能推出，而由不能推出，如，而，所以“”是“”成立的充分不必要條件，故A正確；對于B，命題：，均有，則的否定：，使得，故B不正確；對于C，由，得集合可以為，，，共3個，故C不正確；對于D，，是兩個數(shù)集，若，即集合、存在相同的元素，則存在，，故D正確.故選：AD.11.【正確答案】ABD【分析】本題考查利用基本不等式求最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.直接利用基本不等式，可求得的最大值，判斷A；將變?yōu)?，利用基本不等式求得其最小值，判斷B；將代入，利用二次函數(shù)知識可判斷C，將代入，利用基本不等式可判斷D.解：由，，且，可知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)即，時取等號，故B正確；由，，且，可知，故，當(dāng)時，取得最小值為，故C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確，故選：ABD.12.【正確答案】【分析】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)題意，列出關(guān)于的式子，求出的值，注意檢驗(yàn).解：∵，∴或，解得或，當(dāng)時，不滿足集合的互異性，故舍棄，當(dāng)時，，符合題意，故答案為.13.【正確答案】或【分析】本題考查列舉法的定義，元素與集合的關(guān)系，交集的定義及運(yùn)算，集合元素的互異性，屬于較易題.根據(jù)即可得出或，解出，并驗(yàn)證是否滿足題意即可.解：∵；∴；∴，或；∴，或2，或，或1；①時，，，滿足題意；②時，，，不滿足，應(yīng)舍去；③時，，，滿足題意；④時，，不滿足集合的互異性，應(yīng)舍去；∴或.故或.14.【正確答案】3【分析】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于中檔題.利用基本不等式可得，令，可得，解不等式可得的取值范圍，可得最小值.解：由題意可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，令，則，解得或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故的最小值3.故答案為3.15.解：，，（1），（2）；（3）.【分析】本題主要考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，比較基礎(chǔ).根據(jù)交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算性質(zhì)，直接求解即可.16.解：（1）因?yàn)椋杂?，或，顯然，當(dāng)時，，此時不符合集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，解得，，由上可知不符合集合元素的互異性，舍去，當(dāng)時，，符合題意故.（2）由于中有兩個元素，∴關(guān)于的方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，∴，且，即，且.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【分析】本題考查元素與集合的關(guān)系.（1）因?yàn)?，所以有，或，再檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性即可得到答案；（2）由于中有兩個元素，則關(guān)于的方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根即可解答.17.解：（1）由“”是“”的充分不必要條件，得，而，顯然，于是，解得，所以的取值范圍為；（2）當(dāng)命題為真命題時，，當(dāng)命題為真命題時，，即，所以與同時為真命題時有，解得，故與不同時為真命題時，的取值范圍是.【分析】本題考查充分、必要條件，量詞命題，是中檔題.（1）由題意可得真包含于，再由兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系，列不等式組求解；（2）先得出與同時為真命題時，的取值范圍，再取補(bǔ)集即可.18.解：（1）設(shè)矩形花卉的寬為米（），則長為米，依題意，即，，即.所以花卉寬的取值范圍是.（2）依題意所有觀賞通道的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以花卉寬為10米時，觀賞通道面積最小，最小值是272平方米.【分析】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題.（1）設(shè)矩形花卉的寬為米（），依題意，解不等式即可；（2）先求出所有觀賞通道的面積的表達(dá)式，結(jié)合平均值不等式