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文檔簡介

單調(diào)性與不等式

本節(jié)重點介紹如何利用函數(shù)的單調(diào)性證明證1由上式得拉格朗日中值定理的條件,例4.26證明當不等式,其理論基礎仍然是拉格朗日中值定理.證2先證當又因即再證當證設則于是例4.27證明當例4.28證明當證設則即即(1)式成立.證原不等式等價于練習證明不等式設例4.29設證明:其中證(1)不妨設則于是

(1)得證;(2)由(1)有再由數(shù)學歸納法,(2)得證.

(2)式稱為詹生(Jensen)不等式.特別地,取

取即即“調(diào)和平均-幾何平均-算術平均”不等式.用可得證練習證明當設則即例4.30證明楊氏不等式證1即得

其中

因此

證2即得楊氏不等式.

于是原不等式等價于

等價于

注

令

由楊氏不等式得稱為Cauchy-Schwarz(柯西-許瓦茲)不等式

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