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文檔簡介
湖南長沙長郡中學2025屆高三下學期一??荚嚁?shù)學試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.2.函數(shù)的對稱軸不可能為()A. B. C. D.3.定義在上的函數(shù)與其導函數(shù)的圖象如圖所示,設為坐標原點,、、、四點的橫坐標依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.4.已知數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,設,,則當時,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.115.已知角的終邊經(jīng)過點,則A. B.C. D.6.已知是雙曲線的左、右焦點,若點關于雙曲線漸近線的對稱點滿足(為坐標原點),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.7.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.88.已知,是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于兩點.若依次構成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.9.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.10.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.11.復數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.數(shù)學中的數(shù)形結合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論:①曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,,,,則的面積為__________.14.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值為,則實數(shù)的值是_______.15.設全集,,,則______.16.已知是等比數(shù)列,且,,則__________,的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在如圖所示的四棱錐中,四邊形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求證:平面;(2)已知二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)時,求不等式解集;(2)若的解集包含于,求a的取值范圍.19.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程;(2)設為曲線上位于第一,二象限的兩個動點,且,射線交曲線分別于,求面積的最小值,并求此時四邊形的面積.20.(12分)已知橢圓:(),點是的左頂點,點為上一點,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設過點的直線與的另一個交點為(異于點),是否存在直線,使得以為直徑的圓經(jīng)過點,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.21.(12分)已知函數(shù)(1)當時,若恒成立,求的最大值;(2)記的解集為集合A,若,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”為假命題,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù),可得,時,,單調(diào)遞增,∵,故不等式的解集等價于不等式的解集..∴.故選:B.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性解不等式,屬于中檔題.2、D【解析】
由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性,得出結論.【詳解】對于函數(shù),令,解得,當時,函數(shù)的對稱軸為,,.故選:D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性,屬于基礎題.3、B【解析】
先辨別出圖象中實線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對應的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個極值點,但其導函數(shù)圖象(實線)與軸有三個交點,不合乎題意;若實線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個極值點,則其導函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個交點,合乎題意.對函數(shù)求導得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.4、B【解析】
根據(jù)題意計算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當時,的最大值是9.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.5、D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點,所以,則,即.故選D.6、B【解析】
先利用對稱得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對稱性可得:為的中點,且,所以,因為,所以,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識,考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關鍵,屬于中檔題.7、B【解析】
利用列舉法,結合古典概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,屬于基礎題.8、D【解析】
如圖所示,設依次構成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.9、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義,結合,求出的坐標,然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準線方程為,設,則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.10、A【解析】
設圓的標準方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設圓的標準方程為,由題意得圓心為,的中點,根據(jù)中點坐標公式可得,,又,所以圓的標準方程為:,化簡整理得,所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關鍵是假設圓的標準方程,建立方程組,屬于基礎題.11、C【解析】所對應的點為(-1,-2)位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念,屬于簡單題.12、B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當且僅當時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【點睛】本題考查曲線與方程的應用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結論,考查學生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,利用余弦定理求得,再運用三角形的面積公式即可求得結果.【詳解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面積.故答案為:.【點睛】本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式,考查計算能力.14、1【解析】
把向量進行轉(zhuǎn)化,用表示,利用基本不等式可求實數(shù)的值.【詳解】,解得=1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應用,綜合了基本不等式,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).15、【解析】
先求出集合,,然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算,屬于基礎題.16、5【解析】,即的最大值為三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)由已知可得,結合,由直線與平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,,則,,兩兩互相垂直,以為坐標原點,分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標系,設,0,,由二面角的余弦值為求解,再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:因為四邊形是等腰梯形,,,所以.又,所以,因此,,又,且,,平面,所以平面.(2)取的中點,連接,,由于,因此,又平面,平面,所以.由于,,平面,所以平面,故,所以為二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因此,又,因為,所以,所以以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系,則,,,,設平面的法向量為所以,即,令,則,,則平面的法向量,,設直線與平面所成角為,則【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)代入可得對分類討論即可得不等式的解集;(2)根據(jù)不等式在上恒成立去絕對值化簡可得再去絕對值即可得關于的不等式組解不等式組即可求得的取值范圍【詳解】(1)當時,不等式可化為,①當時,不等式為,解得;②當時,不等式為,無解;③當時,不等式為,解得,綜上,原不等式的解集為.(2)因為的解集包含于,則不等式可化為,即.解得,由題意知,解得,所以實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法分類討論解絕對值不等式的應用,含參數(shù)不等式的解法.難度一般.19、(1);(2)面積的最小值為;四邊形的面積為【解析】
(1)將曲線消去參數(shù)即可得到的普通方程,將,代入曲線的極坐標方程即可;(2)由(1)得曲線的極坐標方程,設,,,利用方程可得,再利用基本不等式得,即可得,根據(jù)題意知,進而可得四邊形的面積.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))消去參數(shù)得曲線的極坐標方程為,即,所以,曲線的直角坐標方程.(2)依題意得的極坐標方程為設,,,則,,故,當且僅當(即)時取“=”,故,即面積的最小值為.此時,故所求四邊形的面積為.【點睛】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.20、(1);(2)存在,【解析】
(1)把點代入橢圓C的方程,再結合離心率,可得a,b,c的關系,可得橢圓的方程;(2)設出直線的方程,代入橢圓,運用韋達定理可求得點的坐標,再由,可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交點.【詳解】(1)由題可得∴,所以橢圓的方程(2)由題知,設,直線的斜率存在設為,則與橢圓聯(lián)立得,,∴,,∴若以為直徑的圓經(jīng)過點,則,∴,化簡得,∴,解得或因為與不重合,所以舍.所以直線的方程為.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查直線與橢圓位置關系的應用,考查了向量的數(shù)量積的運用,屬于中檔題.21、(1);(2)【解析】
(1)當時,由題意得到,令,分類討論求得函數(shù)的最小值,即可求得的最大值.(2)由時,不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,當時,由,可得,令,則只需,當時,;當時,;當時,;故當時,取得最小值,即的最大值為.(2)依題意,當時,不等式恒成立,即在上恒成立,所以,即,即,解得在上恒成立,則,所以,所示實數(shù)的
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